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4 等差数列


等差数列及其性质
一、 基本概念
等差数列: 等差数列的通项公式: 等差中项: 等差数列的前 n 项和公式: 等差数列的判断方法: (1)定义法: (2)中项公式法: (3)通项公式法: (4)前 n 项和公式法: 等差数列的性质: (1) am ? an ? ______ d , d ? _______ (2) 在 等 差 数 列 ?an ? 中 若 m ? n ? p ? q , 则 _________ ; 若 2m ? p ? q , 则 _________

( p, q, m, n ? N * )
(3) 若 数 列

?an?

,

?bn?

均 为 等 差 数 列 , 公 差 分 别 为 d1 , d2 则 数 列 _________,

? pan? , ?an ? q? ,?an ? bn? 也 为 等 差 数 列 , 且 公 差 分 别 为 _______,
_________. (4) 若 ?an ? 等差数列,则 am , am?k , am?2k , am?3k

也为等差数列,且公差为_____________. 也是等差数列,且公差为

(5) 等 差 数 列 的 前 n 项 和 为 Sn , 则 Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n , __________.

(6) 若等差数列 ?an ? 的项数为偶数 2 n ,则 S奇 ? S偶 ? ________ d , 若 等 差 数 列 ?an ? 的 项 数 为 奇 数

S奇 ? _________ S偶

2n ? 1

则 Sn ? S奇 ? S偶 ,

S奇 ? S偶 ? an?1 ,

S奇 ? __________. S偶
(7) 有穷数列 ?an ? 前 m 项与末 m 项的和为______ a1 ? an . (8) 等差数列 ?an ? 中,an ? m, am ? n, 则 am? n ? ______;Sn ? m, Sm ? n, 则 Sm? n ? ______;

Sm ? Sn 则 Sm? n ? _______
二、习题精练 考点 1. 等差数列的判定或证明
1. 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ? 2n2 ? 3n , 求证:数列 ?an ? 为等差数列. 2. 若数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ? 2n2 ? 3n ? 1 , 试判断数列 ?an ? 是否为等差数列.

3. 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ?

n(a1 ? an ) , 求证: 数列 ?an ? 为等差数列. 2

2 4. 设实数 a ? 0 ,且函数 f ( x) ? a ( x ? 1) ? (2 x ? ) 有最小值 ?1

1 a

(1)求实数 a 的值; (2)设数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? f (n) , 令 bn ? 数列.

a2 ? a4 ? ? a2 n , n ? 1,2,3, ,证明: 数列 ?bn? 为等差 n

5. 设数列 ?an ? 与 ?bn? 满足 bn ?

a1 ? 2a2 ? 3a 3 ? ? nan . 求证 : 数列 ?an ? 为等差数列 1? 2 ? 3 ? ? n

的充要条件是 ?bn? 为等差数列.

6. 已知数列 ?an ? , an ? N , S n ?
*

1 (an ? 2) 2 .求证: 数列 ?an? 是等差数列. 8

7. 数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 若对任意的 p, q ? N * , 都有 S p : Sq ? p : q , 求证 : 数列
2 2

?an? 是等差数列.

考点 2. 等差数列的通项公式和求和公式
8. 已知数列 ?an ? 中, , a1 ? 2, 2an?1 ? 2an ? 1, 则 a50 ? _____________. 9. 设{an}是递增等差数列,前三项的和为 12,前三项的积为 48,则它的首项是_______ 10. 等差数列 ?an ? 中, (1) a6 ? 10 , S5 ? 5 , 则 a8 =________, S8 =_________.

(2) S8 ? 48, S12 ? 168 , 则 a1 ? _________, d ? _________. (3) a1 ? 2, a2 ? a3 ? 13, 则 a4 ? a5 ? a6 ? __________. 11. 数 列

?an?

为 公 差 为 正 数 的 等 差 数 列 , 若 a1 ? a2 ? a3 ? 15, a1a2a3 ? 80, 则

a11 ? a12 ? a13 ? _____.
12. 数列 ?an ? 为等差数列, a1 ? 2, a2 ? a3 ? 13 , 则 a4 ? a5 ? a6 ? _________. 13. 数列 ?an ? 中 , a1 ? 15,3an?1 ? 3an ? 2(n ? N * ) , 则该数列中乘积为负数的相邻两项是 ________. 14. 已 知 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 Sn ? n( n? 40), 则 该 数 列 中 乘 积 为 负 数 的 相 邻 两 项 是 ________. 15. 已知数列 ?an ? 中, a3 ? 2, a7 ? 1 , 数列 ?

? 1 ? ? 为等差数列, 则 an =_______. ? an ? 1 ?

16. 等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S10 ? 21, S21 ? 10 , 则 S31 ? ________. 17. 等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 Sm ? n, Sn ? m , 则 Sm?n ? ________. 18. 等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 Sm : Sn ? m2 : n2 (m ? n) , 则 an : am ? _________. 19. 数列 ?an ? 为等差数列 , Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和 , 已知 S7 ? 7 , S15 ? 75 , Tn 为数列

? Sn ? ? ? 的前 n 项和, 求 Tn . ?n?

考点 3. 等差数列的性质
20. 等差数列 ?an ? 中 am ? p, an ? q(m ? n) ,则 ak ? _______________. 21. 在 3 与 27 之间插入 7 个数,使这 9 个数成等差数列,这个等差数列的公差为_______. 22. 数列 ?an ? 为等差数列,若 a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7 ? 450 , 则 a2 ? a8 ? ____________. 23. 有穷数列 ?an ? 为等差数列,若前四项之和为 21, 末四项之和为 67, 且各项之和为 286, 则 项数为_________. 24. 数列 ?an ? 为等差数列且各项为正 , 若 a3a5 ? a3a8 ? a5a10 ? a8a10 ? 64 , 则前 12 之和为

______. 25. 数列 ?an ? 为等差数列且公差 d ? 0 , 则 a15a18与a16a17 的大小关系为________. 26. 数列 ?an ? 为等差数列,若 a1 ? a4 ? a10 ? a16 ? a19 ? 150, 则 a18 ? 2a14 ? ________.
2 27. 各项均不为零的等差数列 ?an ? 中, an?1 ? an ? an?1 ? 0(n ? 2) ,则 S2n?1 ? 4n ? ________.

28. Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和, 若 S7 ? 35 , 则 a4 ? ________. 29. Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和, 若 a3 ? a7 ? a10 ? 8, a11 ? a14 ? 4, 则 S13 ? ________. 30. 等差数列 ?an ? 中,若 a1 ? 3a8 ? a15 ? 120, 则 3a9 ? a11 ? _________. 31. 等差数列 ?an ? 中,若 a15 ? 8, a60 ? 20, 则 a75 ? _________. 32. 等差数列 ?an ? 中,若 S5 ? 5, S10 ? 15, 则 a16 ? a17 ? a18 ? a19 ? a20 ? __________. 33. 等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 Sm ? 30, S2m ? 100, 则 S3m ? __________. 34. 等差数列 ?an ? 中,若 a1 ? a4 ? a7 ? 39, a2 ? a5 ? a8 ? 33, 则 a3 ? a6 ? a9 ? ___________. 35. 等差数列 ?an ? 的项数为奇数 , 若奇数项和为 80, 偶数项和为 75, 则数列的中间项为 ______,项数为_______. 36. 等差数列 ?an ? 共有 10 项,其中奇数项和为 15,偶数项和为 30,则 a6 ? _____, d ? _____. 37. 项数为 2n ? 1 的等差数列其奇数项和与偶数项和之比为___________. 38. 项数为 200 的等差数列中 , 偶数项的和为 7500, 奇数项的和为 7300, 则中间两项为 _________

1 , S100 ? 145, a1 ? a3 ? a5 ? ? a99 ? ________. 2 1 40. 数列 ?an ? 为等差数列,公差 d ? , a1 ? a3 ? a5 ? ? a99 ? 60 , 则 S100 ? ________. 2
39. 数列 ?an ? 为等差数列,公差 d ? 41. 7 个实数排成一列,奇数项成等差数列,偶数项成等比数列,且奇数项和与偶数项积的差为 42,首尾两项及中间项的和为 27,求中间项.

42. 数 列 ?an ? , ?bn? 均 为 等 差 数 列 , 且 a1 ? 25, b1 ? 75, a2 ? b2 ? 40, 若 cn ? an ? bn , 则

c37 ? _______.
43. 数列 ?an ? , ?bn? 均为等差数列,且

a1 ? a2 ? a3 ? b1 ? b2 ? b3 ?

? an 7n ? 2 a ? , 则 5 ? ________. ? bn n?3 b5

44. Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和, 若

S3 1 S ? , 则 6 ? ___________. S6 3 S12

考点 4. 等差数列前 n 项和的最值问题
45. 等差数列数列 ?an ? 中,首项为 25 , 公差为 ?2 , 则此数列前几项和最大,最大值为多少?

46. 等差数列数列 ?an ? 中,首项为 ?30 , 公差为 5 , 则此数列前几项和最小,最小值为多少?

47. 等差数列数列 ?an ? 中, 7a5 ? 5a9 ? 0, 且 a9 ? a5 ,试求此数列前几项和最小.

48. 等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 a3 ? 12, S12 ? 0, S13 ? 0. (1) 求公差 d 的取值范围; (2) 指出 S1, S2 ,

S12 中哪一个值最大,并说明理由.

49. 等差数列数列 ?an ? 中, a1 ? 25, S17 ? S9 , 求此数列前多少项和最大, 并求此最大值.

50. 等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且公差 d ? 0 , S5 ? S8 , (1) 求 S13 的值; (2) 求此数列前多少项和最小.

51. Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和 , 若 a10 ? 0, a11 ? 0且 a10 ? a11 , , 则下列结论正确的是 ( )

A. S1, S2 , 零 C. S1, S2 , 于零

, S10 都小于零, S11, S12 ,

都大于零 , B. S1, S2 ,

, S5 都小于零, S6 , S7 ,

都大于

, S20 都小于零, S21, S22 ,

都大于零 D. S1, S2 ,

, S19 都小于零, S20 , S21,

都大

等差数列的综合练习
52. 设等差数列 ?an ? 的首项 a1 和公差 d 均为整数, 前 n 项和为 Sn ,

(1) 若 S14 ? 98 a11 ? 0, 求数列 ?an ? 的通项公式; (2) 若 a1 ? 6, a11 ? 0 , S14 ? 77 , 求所有可能的数列 ?an ? 的通项公式.

53. 数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 12n ? n2 求数列 an 的前 n 项和 Tn .

? ?

54. 数列 ?an ? 中 a1 ? 1, an?1 ? 1 ? (1) 求证:数列 ?bn? 为等差数列;

1 2 , bn ? (n ? N ? ) . 4an 2an ? 1

(2) 求证:在数列 ?an ? 中,对任意的 n ? N ? 都有 an?1 ? an ; (3) 设 cn ?

? 2?

bn

,问数列 ?cn? 中是否存在三项使它们构成等差数列? 若存在,求出则三项;

若不存在,说明理由.

55. 已知公差大于零的等差数列 ?an ? 的前项和为 Sn ,且满足 a3a4 ? 117 , a2 ? a5 ? 22 (1) 求数列 ?an ? 的通项公式; (2) 若数列 ?bn? 是等差数列,且 bn ? (3) 求 f (n) ?

Sn ,求非零常数 c ; n?c

bn (n ? N ? ) 的最大值. (n ? 36) bn?1


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