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吉林省吉林市2014-2015学年高一上学期期末考试 数学(Ⅰ) Word版含答案


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吉林市普通高中 2014-2015 学年度高一年级学业水平监测

数 学
本试卷分为第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 120 分,考试时间 100 分钟.

第Ⅰ卷(选择题,共 48 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项符合题目要求。 ) 1. 设全集 U ? {0,1,2,3,4}, A ? {0,3,4}, B ? {1,3} , 则 (?U A) A. C.

B?

{2} {1,3}

B. D.

{1,2,3} {0,1,2,3,4}

2. 已知直线 m、 n 与平面 α、 β, 给出下列三个命题: ①若 m∥α, n∥α, 则 m∥n; ②若 m∥α, n⊥α,则 n⊥m;③若 m⊥α,m∥β,则 α⊥β 。 其中正确命题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3

3. 函数 f ( x ) ? ( ) x ? 1 的定义域、值域分别是 A.定义域是 R ,值域是 R C.定义域是 (0, ??) ,值域是 R B.定义域是 R ,值域是 (0, ??) D.定义域是 R ,值域是 ( ?1, ??)

1 2

4. 在直角坐标系中,直线 3x ? y ? 3 ? 0 的倾斜角是 A.30°
4

B.60°

C. 120°

D.150°

5. 函数 y ? x 3 的大致图像是 A.
y

B.
y

C.
y

D.
y

O

x

O

x

O

x

O

x

6. 已知直线 l1: x ? 2 y ? 1 ? 0 与 l2: 2 x ? ky ? 3 ? 0 平行,则 k 的值是

1 1 B. ? C. ?4 4 4 7. 圆 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 4 过点 P (1, 3) 的切线方程是
A.

D. 4

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A. x ? 3 y ? 2 ? 0 C. x ? 3 y ? 4 ? 0

B. x ? 3 y ? 4 ? 0 D. x ? 3 y ? 2 ? 0
D1 A1 B1 C1

8. 如图,ABCD-A1B1C1D1 为正方体,异面直线 AD 与 CB1 所成的角是 A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 9. 数
A

D B

C

M a , M b , M c , M d 四个物体沿同一方向同时开始运动,假设其经过的路程与时间 x 的函
1

关系式分别是 f1 ? x ? ? x 2 , f 2 ? x ? ? x 2 , f3 ? x ? ? log 2 x , f 4 ? x ? ? 2 x ,如果运动的时间足 够 长,则运动在最前面的物体一定是 A.

Ma

B.

Mb

C.

Mc

D.

Md

10. 直线 3x ? y ? 2 ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? 4 交于 A, B 两点,则 | AB |? A.

1

B.

2 3

C.

2 2

D.

2

11. 下表中与数 x 对应的 lg x 值有且只有一个是错误的,则错误的是 x
lg x

3
2a ? b

5

6
1? a ? b ? c

8
3 ? 3a ? 3c

9
4 a ? 2b

12
3 ? b ? 2c

27
6a ? 3b

a?c

A. C.

lg 6 ? 1 ? a ? b ? c lg12 ? 3 ? b ? 2c

B. D.

lg8 ? 3 ? 3a ? 3c lg 27 ? 6a ? 3b

12. 已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上, △ABC 是边长为 1 的等边三角形, SC 为球 O 的直径,若三棱锥 S-ABC 的体积为

2 ,则球 O 的表面积是 6
3?
D.

A.

4?

B.

3 ? 4

C.

4 ? 3

第Ⅱ卷(非选择题,共 72 分)
二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 3 分,共 18 分) 13. 给出两条平行直线 L1 : 3x ? 4 y ? 1 ? 0, L2 : 3x ? 4 y ? 2 ? 0 ,则 这两条直线间的距离是 14.已知某几何体的三视图如图所示,其正视图与侧视图都是边
正视图 侧视图

俯视图

14 题图

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长为 2 的等边三角形,则该几何体的体积等于

.

15. 给出四个区间: ① (0,1) ;② (1,2) ;③ (2,3) ;④ (3,4) , 则函数 f ( x) ? 2 x ? x ? 4 的零点所在的区间是这四个区间中 的哪一个: (只填序号)
C1 B1 F A1

16. 如图,正三棱柱 ABC-A1B1C1 的各棱长均为 2,E,F 分别是 AB,A1C1 的中点,则 EF 的长是 .

17. 在平面直角坐标系中,圆 C 的方程为 x 2 ? y 2 ? 8 x ? 12 ? 0 , 若直线 y ? kx ? 2 上至少存在一点,使得以该点为圆心,2 为
C

B E

半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的取值范围是

16 题图

A

18. 已知函数 f ( x) ? ( ) x 的图象与函数 y ? g ( x ) 的图象关于直线 y ? x 对称,令

1 2

h( x) ? g (1 ? x 2 ) ,则关于 h( x) 有下列命题:① h( x) 的图象关于原点对称;② h( x) 为
偶函数;③ h( x) 的最小值为 0; ④ h( x) 在(0,1)上为增函数. 其中正确命题的序号 是: .

三、解答题(本大题共 5 小题,共 54 分,解答题应根据要求写出必要的文字说明,证明过 程或演算步骤) 19. (本题满分 10 分) 已知在平面直角坐标系中,△ ABC 三个顶点坐标分别为 A(1,3), B (5,1),C (? 1,? 1) (I)求 BC 边的中线 AD 所在的直线方程; (II)求 AC 边的高 BH 所在的直线方程

20. (本题满分10分) 已知 AB ⊥平面 ACD , DE ⊥平面 ACD ,△ ACD 为等边三角形,
B E

AD ? DE ? 2 AB , F 为 CD 的中点.
求证: (I) AF ∥平面 BCE . (II)平面 BCE ⊥平面 CDE .
C F D A

21. (本题满分 10 分) 已知函数 y ? f ( x ) 在 (0, ??) 上为增函数,且 f ( x ) ? 0( x ? 0) ,试判断 F ( x ) ?

1 在 f ( x)

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(0, ??) 上的单调性并给出证明过程.

22. (本题满分 12 分) 如图,长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AD ? AA1 ? 1, AB ? 2 , 点 E 是棱 AB 上一点 (I) 当点 E 在 AB 上移动时,三棱锥 D ? D1CE 的体积是否变化?若变化,说明理由; 若不变,求这个三棱锥的体积 (II) 当点 E 在 AB 上移动时,是否始终有 D1E ? A1D ,证明你的结论 (III)若 E 是 AB 的中点,求二面角 D1 ? EC ? D 的正切值
A1 D D1 B1 C C1

A

E

B

23. (本题满分 12 分) 已知圆 M 的半径为 3, 圆心在 x 轴正半轴上,直线 3x ? 4 y ? 9 ? 0 与圆 M 相切 (I) 求圆 M 的标准方程 (II)过点 N (0, ?3) 的直线 L 与圆 M 交于不同的两点 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ,而且满足

x12 ? x2 2 ?

21 x1 x2 ,求直线 L 的方程 2
命题、校对: 孙长青

吉林市普通高中 2014-2015 学年度高一年级学业水平监测 数学(Ⅰ)参考答案与评分标准
一、选择题 1 B 2 C 3 D 4 B 5 A 6 C 7 D 8 B 9 D 10 B 11 C 12 A

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 3 分,共 18 分) 13.

3 ; 5

14.

3? ; 15. ② ; 16. 3

5 ; 17. k ? ?

3 ; 18. ②③④ 4

19. (本题满分 10 分) 解: (1)BC 中点 D 的坐标为 (2,0) , ------------------------------------------2 分

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所以直线 AD 方程为: (2)因为 k AC ?

y ? 3 x ?1 , 3x ? y ? 6 ? 0 ? 0 ? 3 2 ?1

-----------------------5 分 ----------------------------8 分

3 ? ( ?1) 1 ? 2 , BH ? AC ,所以 k BH ? ? 1 ? ( ?1) 2

所以直线 BH 方程为: y ? 1 ? ? ( x ? 5) , x ? 2 y ? 7 ? 0 20. (本题满分10分)

1 2

-------------------------10 分

证明:(1)取 CE 的中点 G,连接 FG,BG.因为 F 为 CD 的中点,所以 GF∥DE 且 GF= DE. 分 因为 AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD,所以 AB∥DE,所以 GF∥AB. 又因为 AB= DE,所以 GF=AB. 分 所以四边形 GFAB 为平行四边形,则 AF∥BG.因为 AF?平面 BCE,BG ? 平面 BCE, 所以 AF∥平面 BCE. 分

----2

--------------------------------------------------2

--------------------------------------------------5

(2)因为△ACD 为等边三角形,F 为 CD 的中点,所以 AF⊥CD,因为 DE⊥平面 ACD,AF ? 平面 ACD, 所以 DE⊥AF.又 CD∩DE=D,故 AF⊥平面 CDE. 分 因为 BG∥AF,所以 BG⊥平面 CDE.因为 BG ? 平面 BCE, 所以平面 BCE⊥平面 CDE. 分 21. (本题满分 10 分) 解:F(x)在(0,+∞)上为减函数. 证明:任取 x1 , x2 ∈(0,+∞),且 x1 < x2 ∴F( x2 )-F( x1 )= -------------------------------------------2 分 -------------------------------------------10 ------------------------8

f ? x1 ? ? f ? x2 ? 1 1 . ---------------------------------------------4 分 ? ? f ? x2 ? f ? x1 ? f ? x2 ? f ? x1 ?

∵y=f(x)在(0,+∞)上为增函数,且 x1 < x2 ∴f( x1 )<f( x2 ) ∴f( x1 )-f( x2 )<0. ----------7 分 而 f( x1 )<0,f( x2 )<0,∴f( x1 )f( x2 )>0. -----------------------------------------------------------------9 分 ∴F( x2 )-F( x1 )<0,即 F( x1 )>F( x2 ) 22. (本题满分 12 分) ∴F(x)在(0,+∞)上为减函数. -----------------10 分

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解: (I)三棱锥 D ? D1CE 的体积不变, S?DCE ? 所以 VD ? D1CE ? VD1 ? DCE

1 1 DC ? AD ? ? 2 ? 1 ? 1, DD1 ? 1 2 2 1 1 1 ---------------------------------------------4 分 ? S?DCE ? DD1 ? ? 1 ? 1 ? 3 3 3

(II)当点 E 在 AB 上移动时,始终有 D1E ? A1D , 证明:连结 AD1 ,四边形 ADD1 A1 是正方形,所以 A1D ? AD1 , 因为 AE ? 平面ADD1A1 , A1D ? 平面ADD1 A1 ,? A1D ? AB ,

AB

AD1 ? A, AB ? 平面AD1E , AD1 ? 平面AD1E ,? A1D ? 平面AD1E
------------------------------------------------------------- 8 分

D1E ? 平面AD1E ,? D1E ? A1D

(III)因为 E 为 AB 中点,所以 DE=EC= 2 ,而 CD=2, 所以 DE 2 +EC 2 ? DC 2 所以 DE ? EC ,双因为 DD1 ? 平面ABCD,CE ? 平面ABCD,所以 D1D ? EC

DD1

DE ? D, DD1 ? 平面D1DE , DE ? 平面D1DE ,?CE ? 平面D1DE

D1E ? 平面D1DE ,?CE ? D1E ??D1ED 是二面角 D1 ? EC ? D 的平面角
tan ?D1ED ?
分 23. 解(I)设圆心为 M ( a ,0)( a ? 0) ,

2 D1D 1 2 , ??D1ED 是二面角 D1 ? EC ? D 的正切值为 ? ? DE 2 2 2

-----12

| 3a ? 9 | 32 ? ( ?4) 2

? 3, a ? 2, ?8

因为 a ? 0 ,所以 a ? 2 ,所以圆的方程为: ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 9

----------------------------------4 分

(II)当直线 L 的斜率不存在时,直线 L: x ? 0 ,与圆 M 交于 A(0, 5), B(0, ? 5) 此时 x1 ? x1 ? 0 ,满足 x12 ? x2 2 ?

21 x1 x2 ,所以 x ? 0 符合题意 -------------------------6 分 2

当直线 L 的斜率存在时,设直线 L: y ? kx ? 3

? y ? kx ? 3 消去 y,得 ( x ? 2) 2 ? ( kx ? 3) 2 ? 9, ? 2 2 ?( x ? 2) ? y ? 9
整理得: (1 ? k 2 ) x 2 ? (4 ? 6k ) x ? 4 ? 0 所以 x1 ? x2 ? -----------(1)

4 ? 6k 4 , x1 x2 ? 2 1? k 1? k2

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21 25 4 ? 6k 2 25 4 x1 x2 得: ( x1 ? x2 ) 2 ? x1 x2 ,( ) ? ? 2 2 1? k 2 1? k2 2 17 整理得:7k 2 ? 24k ? 17 ? 0,? k ? 1, -----------------------10 分 7
由已知 x12 ? x2 2 ? 把 k 值代入到方程(1)中的判别式 ? ? (4 ? 6k ) 2 ? 16(1 ? k 2 ) ? 48k ? 20k 2 中, 判别式的值都为正数,所以 k ? 1,

17 17 ,所以直线 L 为: y ? x ? 3, y ? x ? 3, 7 7
------------------------------12 分

即 x ? y ? 3 ? 0,17 x ? 7 y ? 21 ? 0 综上:直线 L 为: x ? y ? 3 ? 0,17 x ? 7 y ? 21 ? 0 , x ? 0


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