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高中数学苏教版选修2-1课件:第3章 空间向量与立体几何3.1.1+2


阶 段 一

阶 段 三

3.1 3.1.1
阶 段 二

空间向量及其运算 空间向量及其线性运算

3.1.2

共面向量定理

学 业 分 层 测 评

1.了解空间向量与平面向量的联系与区别,理解空间向量的线性运 算及其性质,理解共线向量定理.(重点) 2.体会共面向量定理的推导过程,掌握共面向量定理,会用共面向 量定理判定向量共面,会用共面向量定理证明线面平行问题.(难点) 3.掌握向量共线与共面和直线共线与共面的区别与联系.(易混点)

[ 基础· 初探] 教材整理 1 空间向量及其线性运算

阅读教材 P81 的部分,完成下列问题. 1.空间向量

大小 又有______ 方向 的量叫做空间向量. 在空间,把既有______

2.空间向量的线性运算 空间向量的 线性运算 定义(或法则) 设 a 和 b 是空间两个向量, 过一点 O 作 a 和 b 的____________ 相等向量 → → 平行四边形法则 .平行四 OA和OB,根据平面向量加法的_________________ → 边形 OACB 的对角线 OC 对应的向量OC就是 a 与 b 的和, 记 作 a+b

加法

减法

与平面向量类似, a 与 b 的差定义为___________ 记作 a-b, a+(-b) , 其中-b 是 b 的相反向量

λa , 空间向量 a 与一个实数 λ 的乘积是一个______ 记作___ 满 向量 ,
足:
|λ||a| 空间向量的 大小:|λa|=______.

数乘

相同 ; 方向:当 λ>0 时,λa 与 a 方向______ 相反 ; 当 λ<0 时,λa 与 a 方向______
当 λ=0 时,λa=__ 0

1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)同平面向量一样,任意两个空间向量都不能比较大小.( ) )

(2)空间向量的数乘运算中, λ 只决定向量的大小, 不决定向量的方向. (

(3)将空间的所有单位向量的起点平移到同一个点,则它们的终点构成一个 圆.( ) )

(4)若|a|=|b|,则 a=b 或 a=-b.(

→ → → → (5)已知四边形 ABCD,O 是空间任意一点,且AO+OB=DO+OC,则四边 形 ABCD 是平行四边形.( )
【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)√

→ → → 2.在长方体 ABCDA1B1C1D1 中,向量表达式DD1-AB+BC化简后的结果 是________.
【解析】 → → → → → → 如图所示,DD1-AB+BC=DD1+(BA+BC)

→ → → =DD1+BD=BD1. → 【答案】 BD1

教材整理 2

共线向量

阅读教材 P82 例 1 上面的部分,完成下列问题. 1.共线向量

互相平行或重合 ,那么这些 如果表示空间向量的有向线段所在的直线__________________
向量叫做共线向量或平行向量.
a∥b ,规定零向量与任意向量______ 向量 a 与 b 平行,记作_______ 共线 .

2.共线向量定理 对空间任意两个向量 a,b(a≠0),b 与 a 共线的充要条件是存在实数 λ,使
b=λa _______.

教材整理 3

共面向量

阅读教材 P84 的部分,完成下列问题. 1.共面向量

同一平面 内的向量叫做共面向量. 能平移到__________
2.共面向量定理 如果两个向量 a,b 不共线,那么向量 p 与向量 a,b 共面的充要条件是存

p=xa+yb 在有序实数组(x,y),使得____________.

有下列命题: ①平行于同一直线的向量是共线向量; ②平行于同一平面的向量是共面向量; ③平行向量一定是共面向量; ④共面向量一定是平行向量. 其中正确的命题有________.

【解析】

“ 共面向量一定是平行向量 ” 不正确,即共面向量不一定共

线.①②③均正确. 【答案】 ①②③

[ 质疑· 手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1:_______________________________________________________ 解惑:________________________________________________________ 疑问 2:_______________________________________________________ 解惑:________________________________________________________ 疑问 3:_______________________________________________________ 解惑:________________________________________________________

[ 小组合作型]
空间向量及有关概念

下列四个命题: (1)所有的单位向量都相等; (2)方向相反的两个向量是相反向量; (3)若 a,b 满足|a|>|b|,且 a,b 同向,则 a>b; (4)零向量没有方向. 其中不正确的命题的序号为________.

【精彩点拨】 根据空间向量的概念进行逐一判断,得出结论.

【自主解答】 对于(1):单位向量是指长度等于 1 个单位长度的向量,而 其方向不一定相同,它不符合相等向量的定义,故(1)错;对于(2):长度相等且 方向相反的两个向量是相反向量,故(2)错;对于(3):向量是不能比较大小的, 故不正确;对于(4):零向量有方向,只是没有确定的方向,故(4)错.
【答案】 (1)(2)(3)(4)

1.因为空间任何两个向量都可以平移到同一平面上,故空 间的两个向量间的关系都可以转化为平面向量来解决. 2. 对于有关向量基本概念的考查, 可以从概念的特征入手, 也可以通过举出反例而排除或否定相关命题.

[ 再练一题] 1.下列命题中正确的个数是________. (1)如果 a,b 是两个单位向量,则|a|=|b|; (2)两个空间向量相等,则它们的起点相同,终点也相同; (3)同向且等长的有向线段表示同一向量; (4)空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内. 【解析】 (1)(3)(4)正确,(2)不正确.
【答案】 3

空间向量的线性运算 → → → → 化简:(AB-CD)-(AC-BD). 【精彩点拨】 根据算式中的字母规律,可转化为加法运算,也可转化为

减法运算. 【自主解答】 法一:将减法转化为加法进行化简.
→ → → → ∵AB-CD=AB+DC, → → → → → → → → ∴(AB-CD)-(AC-BD)=AB+DC-AC+BD → → → → → → → → =AB+DC+CA+BD=AB+BD+DC+CA → → =AD+DA=0.

→ → → → → → 法二:利用AB-AC=CB,DC-DB=BC化简. → → → → → → → → (AB-CD)-(AC-BD)=AB-CD-AC+BD → → → → =(AB-AC)+(DC-DB) → → =CB+BC=0. → → → → → → 法三:∵AB=OB-OA,CD=OD-OC, → → → → → → AC=OC-OA,BD=OD-OB, → → → → ∴(AB-CD)-(AC-BD) → → → → → → → → =(OB-OA-OD+OC)-(OC-OA-OD+OB) → → → → → → → → =OB-OA-OD+OC-OC+OA+OD-OB=0.

1.计算两个空间向量的和或差时,与平面向量完全相同.运 算中掌握好三角形法则和平行四边形法则是关键. 2.计算三个或多个空间向量的和或差时,要注意以下几点: (1)三角形法则和平行四边形法则; (2)正确使用运算律; (3)有限个向量顺次首尾相连, 则从第一个向量的起点指向最 后一个向量的终点的向量,即表示这有限个向量的和向量.

[ 再练一题] → 2. 如图 311 所示, 在四棱锥 PABCD 中, 底面 ABCD 是正方形, 若PA=a, → → → PB=b,PC=c,则PD=________(用向量 a,b,c 表示).

图 311

→ → → → → → → → → → → 【解析】 PD=BD-BP=BA+BC-BP=PA-PB+PC-PB-BP=a-b+ c-b+b=a-b+c.
【答案】 a-b+c

共线向量定理及其应用

(2016· 石家庄高二检测)如图 312,已知 M, N 分别为四面体 ABCD 的面 BCD 与面 ACD 的重心,且 G 为 AM 上一点,且 GM∶GA=1∶3.求证:B,G,N 三 点共线. 【精彩点拨】
要证明 B,G,N 三点共线,可证

→ → → → 明BN∥BG,即证明存在实数 λ,使BN=λBG.

图 312

【自主解答】

→ → → 设AB=a,AC=b,AD=c,

1 → → → → 3→ 则BG=BA+AG=BA+4AM=-a+4(a+b+c) 3 1 1 1 1 4→ → → → → 1 → → =-4a+4b+4c,BN=BA+AN=BA+3(AC+AD)=-a+3b+3c=3BG. → → ∴BN∥BG,即 B,G,N 三点共线.

判定或证明三点?如 P,A,B?是否共线: → → ?1?考察是否存在实数 λ,使PA=λPB; → → → ?2?考察对空间任意一点 O,是否有OP=OA+tAB; → → → ?3?考察对空间任意一点 O,是否有OP=xOA+yOB?x+y=1?.

[ 再练一题] 3.在例 3 中,若把条件“GM∶GA=1∶3”换为“GM∶GA=1∶1”.把 → → “N 是面 ACD 的重心”换为“AN=λAE”,增加条件“B,G,N 三点共线”, 其余不变,试求 λ 的值. → → → → → → → 2 1 → → 【解】 设AB=a,AC=b,AD=c,∴AM=AB+BM=AB+3×2(BC+BD)

→ 1 → → → → 1 =AB+3(AC-AB+AD-AB)=3(a+b+c). 1 5 1 1 → → → → 1→ ∴BG=BA+AG=BA+2AM=-a+6(a+b+c)=-6a+6b+6c.

1 1 → → → → → → 1 → → BN=BA+AN=BA+λAE=BA+2λ(AC+AD)=-a+2λb+2λc. → → ∵B,G,N 三点共线,故存在实数 k,使BG=kBN,
? 1 1 ? 5 1 1 即-6a+6b+6c=k?-a+2λb+2λc?, ? ?

? 5 ?-6=-k, 故? ?1=1λk, ?6 2 5 2 解得 k=6,λ=5.

共面向量定理及其应用

如图 313 所示,已知 E,F,G,H 分别是空间 四边形 ABCD 的边 AB,BC,CD,DA 的中点. (1)用向量法证明 E,F,G,H 四点共面; (2)用向量法证明 BD∥平面 EFGH. 【精彩点拨】 (1)要证 E,F,G,H 四点共面,根据共
图 313 → → → 面向量定理的推论,只要能找到实数 x,y,使EG=xEF+yEH即可.
→ → → (2)要证 BD∥平面 EFGH,只需证向量BD与向量FH,EG共面即可.

【自主解答】 (1)如图所示,连结 BG,EG,则 → → → → 1 → → EG=EB+BG=EB+2(BC+BD) → → → → → =EB+BF+EH=EF+EH. 由共面向量定理知 E,F,G,H 四点共面. → → → (2)设AB=a,AC=b,AD=c, → → → 则BD=AD-AB=c-a. 1 1 1 → → → a 1 EG=EA+AG=-2+2(c+b)=-2a+2b+2c,

1 1 1 1 1 → → → HF=HA+AF=-2c+2(a+b)=2a+2b-2c. → → → 假设存在 x,y,使BD=xEG+yHF. 即 c-a
? 1 1 1 ? ?1 1 1 ? =x?-2a+2b+2c?+y?2a+2b-2c? ? ? ? ? ?y x ? ?x y ? ?x y ? =?2-2?a+?2+2?b+?2-2?c. ? ? ? ? ? ?

∵a,b,c 不共线.

? ?y-x =-1, ?2 2 ?x y ∴?2+2=0, ? ?x y - =1, ? ?2 2 → → → ∴BD=EG-HF.

? ?x=1, 解得? ? ?y=-1.

→ → → ∴BD,EG,HF是共面向量, ∵BD 不在平面 EFGH 内. ∴BD∥平面 EFGH.

1. 空间一点 P 位于平面 MAB 内的充要条件是存在实数对 → → → x, y, 使MP=xMA+yMB.满足这个关系式的点 P 都在平面 MAB 内;反之,平面 MAB 内的任一点 P 都满足这个关系式,这个 充要条件常用来证明四点共面.在许多情况下,可以用“若存 → → 在有序实数组(x,y,z)使得对于空间任意一点 O,有OP=xOA → → +yOB+zOC, 且 x+y+z=1 成立, 则 P, A, B,C 四点共面” 作为判定空间中四个点共面的依据.

2.用共面向量定理证明线面平行的关键 (1)在直线上取一向量; (2)在平面内找出两个不共线的向量,并用这两个不共线的 向量表示直线上的向量; (3)说明直线不在面内,三个条件缺一不可.

[ 再练一题] 4.对于空间某一点 O,空间四个点 A,B,C,D(无三点共线)分别对应着 → → → → 向量 a=OA,b=OB,c=OC,d=OD,且存在非零实数 α,β,γ,δ,使 αa+βb +γc+δd=0(α+β+γ+δ=0).求证:A,B,C,D 四点共面.
【证明】 因为存在非零实数 α,β,γ,δ 使 αa+βb+γc+δd=0(α+β+γ +δ=0)成立,则 δ=-(α+β+γ),代入得 αa+βb+γc-(α+β+γ)d=0,即 α(a -d)+β(b-d)+γ(c-d)=0, α→ β→ → → → → 即 αDA+βDB+γDC=0,∴DC=- γ DA- γ DB, → → → ∴DC与DA,DB共面,即 A,B,C,D 四点共面.

[ 探究共研型]
共线、共面向量的特征

探究 1 如何理解共线向量及共线向量定理? 【提示】 (1)用共线向量定理证明两直线平行是常用方法,但是要注意,
向量平行与直线平行是有区别的,直线平行不包括共线的情形,如果应用共线 向量定理判断 a,b 所在的直线平行,还需说明 a(或 b)上有一点不在 b(或 a)上. (2)用共线向量定理证明三点共线也是常用方法, 在利用该定理证明(或判断) → → → → 三点 A,B,C 共线时,只需证明存在实数 λ,使AB=λBC或AB=λAC即可. → → → (3)对于空间任意一点 O,若有OB=λOA+(1-λ)OC成立,则 A,B,C 三点 共线.

探究 2 如何理解共面向量定理?

【提示】

(1)共面向量定理给出了平面向量的表示式,说明两个不共线的

向量能确定一个平面,它是判定三个向量是否共面的依据. (2)共面向量定理的推论是判定空间四点共面的依据.
探究 3 若两向量共线或共面,则这两向量所在的直线有何位置关系?

【提示】

两向量共线,这两向量所在的直线重合或平行,两向量共面,

这两向量所在的直线共面或异面.

如图 314 所示,平行六面体 ABCDA1B1C1D1 1 2 中,E,F 分别在 B1B 和 D1D 上,且 BE=3BB1,DF=3DD1. → → → 证明:AC1与AE,AF共面.
【精彩点拨】 → 表示出AC1即可. → → 由共面向量定理,只要用AE,AF线性

图 314

【自主解答】

→ → → → ∵AC1=AB+AD+AA1

→ → 1→ 2→ =AB+AD+3AA1+3AA1
?→ 1 → ? ? → 2→? ? ? ? =?AB+ AA1?+?AD+ AA1? ? 3 3 ? ? ? ?

→ → → → =AB+BE+AD+DF → → =AE+AF, → → → ∴AC1与AE,AF共面.

[ 再练一题] 5.如图 315,正方体 ABCDA1B1C1D1 中,E,F 分 → → → 别为 BB1 和 A1D1 的中点.证明:向量A1B,B1C,EF是共 面向量. 【证明】

→ → → → 法一:EF=EB+BA1+A1F

1→ → 1 → =2B1B-A1B+2A1D1 1 → → → =2(B1B+BC)-A1B 1→ → =2B1C-A1B. → → → 由向量共面的充要条件知,A1B,B1C,EF是共面向量.

图 315

1 法二:连结 A1D,BD,取 A1D 中点 G,连结 FG,BG,则有 FG 綊2DD1, 1 BE 綊2DD1, ∴FG 綊 BE, ∴四边形 BEFG 为平行四边形, ∴EF∥BG.

BG?平面 A1BD,EF?平面 A1BD, ∴EF∥共面 A1BD. 同理,B1C∥A1D,∴B1C∥平面 A1BD, → → → ∴A1B,B1C,EF都与平面 A1BD 平行. → → → ∴A1B,B1C,EF是共面向量.

[ 构建· 体系]

→ → → → 1. 已知空间四边形 ABCD, 连结 AC, BD, 则AB+BC+CD+DA=________. → → → → → → → → → 【解析】 AB+BC+CD+DA=AC+CD+DA=AD+DA=0.
【答案】 0

→ → → 2.已知正方体 ABCDA′B′C′D′中,设AB=a,AD=b,AA′=c,点 1 → E 是 A′C′的中点,点 F 是 AE 的三等分点,且 AF=2EF,则AF=________(用 a,b,c 表示).
? 1 → 1 → 1?? → → 【解析】 由条件 AF=2EF 知,EF=2AF,所以AF=3AE=3??AA′+A′E???

1? 1 ?? → → ?? 1 → 1→ 1 → 1 1 1 → ? ? → ? 1 → = 3 ?AA′+ A′C′? = 3 AA′ + 6 ??AD+AB?? = 3 AA′ + 6 AB + 6 AD = 6 a + 6 b 2 ? ? 1 +3c.

1 1 1 【答案】 6a+6b+3c

3.a=λb(λ 是实数)是 a 与 b 共线的______条件(填“充分不必要”、“必要 不充分”、“充要”和“既不充分也不必要”). 【解析】 a=λb?a∥b,但当 b=0,a≠0 时, 则 a∥b,a≠λb.
【答案】 充分不必要

→ → 4.设 e1,e2 是空间中两个不共线的向量,已知AB=2e1+ke2,CB=e1+3e2, → CD=2e1-e2, 且 A, B, D 三点共线, 则 k 的值是________. 【导学号: 09390070】 → → 【解析】 ∵CB=e1+3e2,CD=2e1-e2,
→ → → ∴BD=CD-CB=(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2. ∵A,B,D 三点共线, → → ∴AB=λBD,

∴2e1+ke2=λ(e1-4e2)=λe1-4λe2. ∵e1,e2 是空间两个不共线的向量,
? ?2=λ, ∴? ? ?k=-4λ,

∴k=-8.

【答案】 -8

→ 5.已知?ABCD,从平面 AC 外一点 O,引向量OE → → → → → → → =kOA,OF=kOB,OG=kOC,OH=kOD. 求证:(1)四点 E,F,G,H 共面; (2)平面 AC∥平面 EG. 【证明】 (1)四边形 ABCD 是平行四边形,
→ → → ∴AC=AB+AD. → → → → → → → ∵EG=OG-OE=k· OC-k· OA=k(OC-OA) → → → =kAC=k(AB+AD)

图 316

→ → → → =k(OB-OA+OD-OA) → → → → =OF-OE+OH-OE → → =EF+EH,∴E,F,G,H 共面. → → → → → → → → (2)∵EF=OF-OE=k(OB-OA)=k· AB,又∵EG=k· AC,∴EF∥AB,EG∥ AC,所以平面 AC∥平面 EG.

我还有这些不足: (1) __________________________________________________ (2) _________________________________________________ 我的课下提升方案: (1) (2) _________________________________________________ _________________________________________________


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