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2.1.2指数函数图像和性质


指数函数的定义: 函数
y ? a ( a ? 0 且 a ? 1)
x

叫做指数函数,其中x是自变量 函数定义域是R
? 值域是(0, )

在同一坐标系下作出下列函数的图象图象的关系, 解:列出函数数据表,作出图像 x -3
x
x

-2
1 4

-1
1 2

0 1

1 2
1 2

2 4
1 4

3 8
1 8

2

1 8

?1? ? ? ?2?

8
1 27
x

4
1 9

2
1 3

1
1 1

3

x

3
1 3

9
1 9

27
1 27

?1? ? ? ?3?

27

9

3

y

?1? y ? ? ? ?2?

x

?1? y ? ? ? ?3?

x

y ? 3

x

y ? 2

x

1

0

1

x

y

y

y

?1? y ? ? ? ?2?

x

y ? a
( a ? 1)

x

?1? y ? ? ? ?3?

x

y ? 3

x

y ? 2

x

y ? a

x

(0 ? a ? 1)

1

1
0
x

1

0

1

0 x

x

y

?1? y ? ? ? ?2?

x

?1? y ? ? ? ?3?

x

y ? 3

x

y ? 2

x

y=1 1

0

1

x

a>1

6

0<a<1
6

5

5

4

4

3

3


1
-4 -2

2

2

1

1

1

-4

-2

0
-1

2

4

6

0
-1

2

4

6

1.定义域:R



2.值域:(0,+∞) 3.过点(0,1),即x=0时,y=1

4.x>0时,y>1 x<0时,0<y<1 质 5.在 R上是增函数

x>0时,0<y<1 x<0时, y>1 在R上是减函数

比较下列各题中两个值的大小: ① 1 . 7 2 .5 , 1 . 7 3 解 :利用函数单调性,
1 .7
2 .5

与 1. 7 3

的底数是1.7,它们可以看成函数 y= 1. 7 x 当x=2.5和3时的函数值;
5



因为1.7>1,所以函数y= 1 . 7 在R上是增函数, 而2.5<3,所以,

4.5

x
4 3.5

3

f ? x ? = 1.7
2.5 2 1.5

x

1 . 7 < 1. 7

2 .5

3
-2 -1

1

0.5

1

2

3

4

5

6

-0.5



0 .8

? 0 .1

, 0 .8

? 0 .2

解:利用函数单调性

0 .8

? 0 .1

与 0 .8

? 0 .2

的底数是0.8,它们可以看成函数 y= 0 . 8 x 当x=-0.1和-0.2时的函数值; 因为0<0.8<1,所以函数y= 0 . 8 x
1.8

在R是减函数,

1.6

f ? x ? = 0.8

x
1.4 1.2

而-0.1>-0.2,所以,
0 .8
? 0 .1

1

< 0 . 8 ? 0 .2
-1.5 -1 -0.5

0.8

0.6

0.4

0.2

0.5

1

-0.2



1 .7 ,
0 .3

0 .9

3 .1

3.2

3

2.8

2.6

2.4

解 :根据指数函数的性质, 由图像得,
1 .7
0 .3

2.2

2

1.8

f ? x ? = 1.7

x

1.6

1.4

1.2

1

0.8

?1



0 .9

3 .1

?1
-2 -1.5 -1 -0.5

0.6

0.4

0.2

0.5 -0.2

1

1.5

2

2.5

从而有
1 .7
0 .3

-0.4

> 0 .9

3 .1

3.2

3

2.8

2.6

2.4

2.2

或者
1 .7
0 .3

2

1.8

f ? x ? = 0.9

x

1.6

1.4

1.2

1

>

1 .7

0

>

0 .9

0

>

0 .9

3 .1

0.8

0.6

0.4

0.2

-0.5 -0.2

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

-0.4

练习: 1、已知下列不等式,试比较m、n的大小:
( ) 3 2
m

? ( ) 3

2

n

? m?n ? m?n

1 .1

m

? 1 .1

n

2、比较下列各数的大小:

1 , 0 . 4 ? 2 .5 , 2 ? 0 . 2
0

?

0 .4

? 2 .5

?

1 ? 2
0

? 0 .2

比较指数型值常常 借助于指数函数的图像 或直接利用函数的单调性 或选取适当的中介值(常用的特殊值是0和1),再利用单调性比较大小

a>1

6

0<a<1
6

5

5

4

4

3

3


1
-4 -2

2

2

1

1

1

-4

-2

0
-1

2

4

6

0
-1

2

4

6

1.定义域:R



2.值域:(0,+∞) 3.过点(0,1),即x=0时,y=1

4.x>0时,y>1 x<0时,0<y<1 质 5.在 R上是增函数

x>0时,0<y<1 x<0时, y>1 在R上是减函数


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