当前位置:首页 >> 数学 >>

【步步高】2014届高三数学大一轮复习 8.5直线、平面垂直的判定与性质教案 理 新人教A版


§8.5
2014 高考会这样考

直线、平面垂直的判定与性质

1.考查垂直关系的命题的判定;2.考查线线、线面、面面垂直关系的

判定和性质;3.考查平行和垂直的综合问题;4.考查空间想象能力,逻辑思维能力和转化思 想. 复习备考要这样做 1.熟记、 理解线面垂直关系的判定与性质定理; 2.解题中规范使用数学

语言,严格证题过程;3.重视转化思想的应用,解题中要以寻找线线垂直作为突破.

1. 直线与平面垂直 (1)判定直线和平面垂直的方法 ①定义法. ②利用判定定理:一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线和此平面垂 直. ③推论:如果在两条平行直线中,有一条垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直这个 平面. (2)直线和平面垂直的性质 ①直线垂直于平面,则垂直于平面内任意直线. ②垂直于同一个平面的两条直线平行. ③垂直于同一条直线的两平面平行. 2. 斜线和平面所成的角 斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫斜线和平面所成的角. 3. 平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的判定方法 ①定义法. ②利用判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直. (2)平面与平面垂直的性质 两平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面. 4. 二面角的有关概念 (1)二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. (2)二面角的平面角:二面角棱上的一点,在两个半平面内分别作与棱垂直的射线,则两

1

射线所成的角叫做二面角的平面角. [难点正本 疑点清源] 1. 两个平面垂直的性质定理 两个平面垂直的性质定理,即如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的 直线垂直于另一个平面是作点到平面距离的依据,要过平面外一点 P 作平面的垂线,通 常是先作(找)一个过点 P 并且和 α 垂直的平面 β , 设 β ∩α =l, 在 β 内作直线 a⊥l, 则 a⊥α . 2. 两平面垂直的判定 (1)两个平面所成的二面角是直角;(2)一个平面经过另一平面的垂线.

1. 一平面垂直于另一平面的一条平行线,则这两个平面的位置关系是__________. 答案 垂直 解析 由线面平行的性质定理知,该面必有一直线与已知直线平行,再根据“两平行线 中一条垂直于一平面,另一条也垂直于该平面”得出结论. 2. △ABC 中,∠ABC=90°,PA⊥平面 ABC,则图中直角三角形的个数是 ________. 答案 4 3. α 、 β 是两个不同的平面, m、 n 是平面 α 及 β 之外的两条不同的直线,给出四个论断: ①m⊥n;②α ⊥β ;③n⊥β ;④m⊥α ,以其中三个论断作为条件,剩余的一个论断作 为结论,写出你认为正确的一个命题____________________________. 答案 可填①③④? ②与②③④? ①中的一个 4. 设 a, b, c 是三条不同的直线, α , β 是两个不同的平面, 则 a⊥b 的一个充分条件是( A.a⊥c,b⊥c C.a⊥α ,b∥α 答案 C 解析 对于选项 C,在平面 α 内作 c∥b,因为 a⊥α ,所以 a⊥c,故 a⊥b;A,B 选项 中,直线 a,b 可能是平行直线,也可能是异面直线;D 选项中一定有 a∥b. 5. (2011·辽宁)如图, 四棱锥 S-ABCD 的底面为正方形, SD⊥底面 ABCD, 则下列结论中不正 确的是 .. A.AC⊥SB B.AB∥平面 SCD C.SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角 D.AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角 ( ) B.α ⊥β ,a? α ,b? β D.a⊥α ,b⊥α )

2

答案 D 解析 易证 AC⊥平面 SBD,因而 AC⊥SB,A 正确;AB∥DC,DC? 平面 SCD,故 AB∥平面

SCD,B 正确;由于 SA,SC 与平面 SBD 的相对位置一样,因而所成的角相同.

题型一 直线与平面垂直的判定与性质 例1 如图所示,在四棱锥 P—ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AB⊥AD,

AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E 是 PC 的中点.
证明:(1)CD⊥AE; (2)PD⊥平面 ABE. 思维启迪:第(1)问通过 DC⊥平面 PAC 证明;也可通过 AE⊥平面 PCD 得到结论;第(2)问利用线面垂直的判定定理证明直线 PD 与平面 ABE 内的两条相交直线 垂直. 证明 (1)在四棱锥 P—ABCD 中, ∵PA⊥底面 ABCD,CD? 平面 ABCD, ∴PA⊥CD.∵AC⊥CD,PA∩AC=A, ∴CD⊥平面 PAC. 而 AE? 平面 PAC,∴CD⊥AE. (2)由 PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得 AC=PA. ∵E 是 PC 的中点,∴AE⊥PC. 由(1),知 AE⊥CD,且 PC∩CD=C, ∴AE⊥平面 PCD. 而 PD? 平面 PCD,∴AE⊥PD. ∵PA⊥底面 ABCD,∴PA⊥AB. 又∵AB⊥AD 且 PA∩AD=A, ∴AB⊥平面 PAD,而 PD? 平面 PAD, ∴AB⊥PD.又∵AB∩AE=A, ∴PD⊥平面 ABE. 探究提高 破解此类问题的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与性质,注意平面图 形中的一些线线垂直关系的灵活利用,这是证明空间垂直关系的基础.由于“线线垂 直”、“线面垂直”、“面面垂直”之间可以相互转化,因此整个证明过程围绕着线面 垂直这个核心而展开,这是化解空间垂直关系难点的技巧所在.

3

(2012·陕西)(1)如图所示,证明命题“a 是平面 π 内 的一条直线,b 是 π 外的一条直线(b 不垂直于 π ),c 是直线 b 在 π 上的投影,若 a⊥b,则 a⊥c”为真; (2)写出上述命题的逆命题,并判断其真假(不需证明). (1)证明 方法一 如图,过直线 b 上任一点作平面 π 的垂线 n,设 直线 a,b,c,n 的方向向量分别是 a,b,c,n,则 b,c,n 共面. 根据平面向量基本定理,存在实数 λ ,μ 使得 c=λ b+μ n, 则 a·c=a·(λ b+μ n)=λ (a·b)+μ (a·n). 因为 a⊥b,所以 a·b=0. 又因为 a? π ,n⊥π ,所以 a·n=0. 故 a·c=0,从而 a⊥c. 方法二 如图,记 c∩b=A,P 为直线 b 上异于点 A 的任意一点,过

P 作 PO⊥π ,垂足为 O,则 O∈c.
因为 PO⊥π ,a? π , 所以直线 PO⊥a. 又 a⊥b,b? 平面 PAO,PO∩b=P, 所以 a⊥平面 PAO. 又 c? 平面 PAO,所以 a⊥c. (2)解 逆命题为 a 是平面 π 内的一条直线,

b 是 π 外的一条直线(b 不垂直于 π ), c 是直线 b 在 π 上的投影,若 a⊥c,则 a⊥b.
逆命题为真命题. 题型二 平面与平面垂直的判定与性质 例2 (2012·江苏)如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,A1B1=A1C1,D,

E 分别是棱 BC,CC1 上的点(点 D 不同于点 C),且 AD⊥DE,F 为 B1C1 的中点.
求证:(1)平面 ADE⊥平面 BCC1B1; (2)直线 A1F∥平面 ADE. 思维启迪: (1)证明两个平面垂直, 关键是在一个平面内找到另一个平面的一条直线; (2) 两个平面垂直的性质是证明的突破点. 证明 (1)因为 ABC-A1B1C1 是直三棱柱, 所以 CC1⊥平面 ABC. 又 AD? 平面 ABC,所以 CC1⊥AD. 又因为 AD⊥DE,CC1,DE? 平面 BCC1B1,CC1∩DE=E,
4

所以 AD⊥平面 BCC1B1.又 AD? 平面 ADE, 所以平面 ADE⊥平面 BCC1B1. (2)因为 A1B1=A1C1,F 为 B1C1 的中点, 所以 A1F⊥B1C1. 因为 CC1⊥平面 A1B1C1,且 A1F? 平面 A1B1C1, 所以 CC1⊥A1F. 又因为 CC1,B1C1? 平面 BCC1B1,CC1∩B1C1=C1, 所以 A1F⊥平面 BCC1B1. 由(1)知 AD⊥平面 BCC1B1,所以 A1F∥AD. 又 AD? 平面 ADE,A1F?平面 ADE, 所以 A1F∥平面 ADE. 探究提高 面面垂直的关键是线面垂直,线面垂直的证明方法主要有判定定理法、平行 线法(若两条平行线中一条垂直于这个平面,则另一条也垂直于这个平面)、面面垂直性 质定理法,本题就是用的面面垂直性质定理法,这种方法是证明线面垂直、作线面角、 二面角的一种核心方法. (2011·江苏)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,平面 PAD⊥平 面 ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E,F 分别是 AP,AD 的中点. 求证:(1)直线 EF∥平面 PCD; (2)平面 BEF⊥平面 PAD. 证明 (1)如图,在△PAD 中, 因为 E,F 分别为 AP,AD 的中点,所以 EF∥PD. 又因为 EF?平面 PCD,

PD? 平面 PCD,
所以直线 EF∥平面 PCD. (2)连接 BD.因为 AB=AD,∠BAD=60°,所以△ABD 为正三角形. 因为 F 是 AD 的中点,所以 BF⊥AD. 因为平面 PAD⊥平面 ABCD,BF? 平面 ABCD, 平面 PAD∩平面 ABCD=AD,所以 BF⊥平面 PAD. 又因为 BF? 平面 BEF,所以平面 BEF⊥平面 PAD.

5

题型三 线面、面面垂直的综合应用 例3 如图所示,在四棱锥 P—ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,

AB∥DC,△PAD 是等边三角形,已知 BD=2AD=8,AB=2DC=4 5.
(1)设 M 是 PC 上的一点,求证:平面 MBD⊥平面 PAD; (2)求四棱锥 P—ABCD 的体积. 思维启迪:(1)因为两平面垂直与 M 点位置无关,所以在平面 MBD 内一 定有一条直线垂直于平面 PAD,考虑证明 BD⊥平面 PAD. (2)四棱锥底面为一梯形,高为 P 到面 ABCD 的距离. (1)证明 在△ABD 中,∵AD=4,BD=8,AB=4 5, ∴AD +BD =AB .∴AD⊥BD. 又∵面 PAD⊥面 ABCD,面 PAD∩面 ABCD=AD,
2 2 2

BD? 面 ABCD,∴BD⊥面 PAD.
又 BD? 面 BDM, ∴面 MBD⊥面 PAD. (2)解 过 P 作 PO⊥AD, ∵面 PAD⊥面 ABCD, ∴PO⊥面 ABCD, 即 PO 为四棱锥 P—ABCD 的高. 又△PAD 是边长为 4 的等边三角形, ∴PO=2 3. 在底面四边形 ABCD 中,AB∥DC,AB=2DC, ∴四边形 ABCD 为梯形. 4×8 8 5 在 Rt△ADB 中,斜边 AB 边上的高为 = , 5 4 5 此即为梯形的高. 2 5+4 5 8 5 ∴S 四边形 ABCD= × =24. 2 5 1 ∴VP—ABCD= ×24×2 3=16 3. 3 探究提高 当两个平面垂直时,常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线,把面面 垂直转化为线面垂直,进而可以证明线线垂直.

6

如图所示,已知长方体 ABCD—A1B1C1D1 的底面 ABCD 为正 方形,E 为线段 AD1 的中点,F 为线段 BD1 的中点, (1)求证:EF∥平面 ABCD; (2)设 M 为线段 C1C 的中点, 当 并说明理由. (1)证明 ∵E 为线段 AD1 的中点,F 为线段 BD1 的中点,∴EF∥AB.∵EF?平面 ABCD,AB ? 平面 ABCD, ∴EF∥平面 ABCD. (2)解 当

D1D 的比值为多少时, DF⊥平面 D1MB? AD

D 1D = 2时,DF⊥平面 D1MB. AD

∵ABCD 是正方形,∴AC⊥BD. ∵D1D⊥平面 ABC,∴D1D⊥AC. ∴AC⊥平面 BB1D1D,∴AC⊥DF. ∵F,M 分别是 BD1,CC1 的中点,∴FM∥AC.∴DF⊥FM. ∵D1D= 2AD,∴D1D=BD.∴矩形 D1DBB1 为正方形. ∵F 为 BD1 的中点,∴DF⊥BD1. ∵FM∩BD1=F,∴DF⊥平面 D1MB. 题型四 线面角、二面角的求法 例4 如图,在四棱锥 P—ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD, ∠ABC=60°,PA=AB=BC,E 是 PC 的中点. (1)求 PB 和平面 PAD 所成的角的大小; (2)证明 AE⊥平面 PCD; (3)求二面角 A—PD—C 的正弦值. 思维启迪:(1)先找出 PB 和平面 PAD 所成的角,线面角的定义要能灵活运用;(2)可以利 用线面垂直根据二面角的定义作角. (1)解 在四棱锥 P—ABCD 中, 因 PA⊥底面 ABCD,AB? 平面 ABCD, 故 PA⊥AB.又 AB⊥AD,PA∩AD=A, 从而 AB⊥平面 PAD, 故 PB 在平面 PAD 内的射影为 PA, 从而∠APB 为 PB 和平面 PAD 所成的角. 在 Rt△PAB 中,AB=PA,故∠APB=45°. 所以 PB 和平面 PAD 所成的角的大小为 45°.

7

(2)证明 在四棱锥 P—ABCD 中, 因 PA⊥底面 ABCD,CD? 平面 ABCD, 故 CD⊥PA.由条件 CD⊥AC,PA∩AC=A, ∴CD⊥平面 PAC. 又 AE? 平面 PAC,∴AE⊥CD. 由 PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得 AC=PA. ∵E 是 PC 的中点,∴AE⊥PC. 又 PC∩CD=C,综上得 AE⊥平面 PCD. (3)解 过点 E 作 EM⊥PD,垂足为 M,连接 AM,如图所示. 由(2)知,AE⊥平面 PCD,AM 在平面 PCD 内的射影是 EM, 则 AM⊥PD. 因此∠AME 是二面角 A—PD—C 的平面角. 由已知,可得∠CAD=30°. 设 AC=a,可得

PA=a,AD=

2 3 21 2 a,PD= a,AE= a. 3 3 2

在 Rt△ADP 中,∵AM⊥PD,∴AM·PD=PA·AD,

则 AM=

PA·AD = PD



2 3 a 3 2 7 = a. 7 21 a 3

在 Rt△AEM 中,sin∠AME=

AE 14 = . AM 4
14 . 4

所以二面角 A—PD—C 的正弦值为

探究提高 (1)求直线与平面所成的角的一般步骤: ①找直线与平面所成的角,即通过找直线在平面上的射影来完成; ②计算,要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解. (2)作二面角的平面角可以通过垂线法进行, 在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂 线,再过垂足作二面角的棱的垂线,两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直,由此可得 二面角的平面角. 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,BB1 与平面 ACD1 所成角的余弦值为 ( A. 2 3 B. 3 3 C. 2 3 D. 6 3 )

答案 D

8

解析 如图,连接 BD 交 AC 于 O,连接 D1O,由于 BB1∥DD1,∴DD1 与 平面 ACD1 所成的角就是 BB1 与平面 ACD1 所成的角.易知∠DD1O 即为 所求.设正方体的棱长为 1, 则 DD1=1,DO= ∴cos ∠DD1O= 2 6 ,D1O= , 2 2

DD1 2 6 = = . D1O 6 3
6 . 3

∴BB1 与平面 ACD1 所成角的余弦值为

解答过程要规范

典例:(12 分)如图所示,M,N,K 分别是正方体 ABCD—A1B1C1D1 的 棱 AB,CD,C1D1 的中点. 求证:(1)AN∥平面 A1MK; (2)平面 A1B1C⊥平面 A1MK. 审题视角 (1)要证线面平行,需证线线平行.(2)要证面面垂直, 需证线面垂直,要证线面垂直,需证线线垂直. 规范解答 证明 (1)如图所示,连接 NK. 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, ∵四边形 AA1D1D,DD1C1C 都为正方形, ∴AA1∥DD1,AA1=DD1,C1D1∥CD,C1D1=CD.[2 分] ∵N,K 分别为 CD,C1D1 的中点, ∴DN∥D1K,DN=D1K, ∴四边形 DD1KN 为平行四边形.[3 分] ∴KN∥DD1,KN=DD1, ∴AA1∥KN,AA1=KN. ∴四边形 AA1KN 为平行四边形.∴AN∥A1K.[4 分] ∵A1K? 平面 A1MK,AN?平面 A1MK, ∴AN∥平面 A1MK.[6 分] (2)如图所示,连接 BC1.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,

AB∥C1D1,AB=C1D1.
∵M,K 分别为 AB,C1D1 的中点,∴BM∥C1K,BM=C1K.

9

∴四边形 BC1KM 为平行四边形.∴MK∥BC1.[8 分] 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,A1B1⊥平面 BB1C1C,

BC1? 平面 BB1C1C,∴A1B1⊥BC1.
∵MK∥BC1,∴A1B1⊥MK. ∵四边形 BB1C1C 为正方形,∴BC1⊥B1C.[10 分] ∴MK⊥B1C.∵A1B1? 平面 A1B1C,B1C? 平面 A1B1C,A1B1∩B1C=B1,∴MK⊥平面 A1B1C.又∵MK ? 平面 A1MK, ∴平面 A1MK⊥平面 A1B1C.[12 分] 温馨提醒 (1)步骤规范是答题得满分的最后保证, 包括使用定理的严谨性, 书写过程的 流畅性. (2)本题证明常犯错误: ①定理应用不严谨.如:要证 AN∥平面 A1MK,必须强调 AN?平面 A1MK. ②解题过程不完整, 缺少关键步骤, 如第(1)问中, 应先证四边形 ANKA1 为平行四边形. 第 (2)问中,缺少必要的条件,使思维不严谨,过程不流畅.

方法与技巧 1. 证明线面垂直的方法 (1)线面垂直的定义:a 与 α 内任何直线都垂直? a⊥α ; (2)判定定理 1:

m、n? α ,m∩n=A? ? l⊥m,l⊥n

?? l⊥α ; ? ?

(3)判定定理 2:a∥b,a⊥α ? b⊥α ; (4)面面平行的性质:α ∥β ,a⊥α ? a⊥β ; (5)面面垂直的性质:α ⊥β ,α ∩β =l,a? α ,a⊥l? a⊥β . 2. 证明线线垂直的方法 (1)定义:两条直线所成的角为 90°; (2)平面几何中证明线线垂直的方法; (3)线面垂直的性质:a⊥α ,b? α ? a⊥b; (4)线面垂直的性质:a⊥α ,b∥α ? a⊥b. 3. 证明面面垂直的方法 (1)利用定义:两个平面相交,所成的二面角是直二面角; (2)判定定理:a? α ,a⊥β ? α ⊥β . 4. 转化思想:垂直关系的转化

10

在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线, 若这样的直线图中不存在, 则可通过作辅助线来解决. 失误与防范 1.在解决直线与平面垂直的问题过程中,要注意直线与平面垂直定义、判定定理和性质定理 的联合交替使用,即注意线线垂直和线面垂直的互相转化. 2.面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一个平面的一条垂线,通常是 先找这个平面的一个垂面,在这个垂面中,作交线的垂线即可.

A 组 专项基础训练 (时间:35 分钟,满分:57 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1. 设 l,m 是两条不同的直线,α 是一个平面,则下列命题正确的是 A.若 l⊥m,m? α ,则 l⊥α B.若 l⊥α ,l∥m,则 m⊥α C.若 l∥α ,m? α ,则 l∥m D.若 l∥α ,m∥α ,则 l∥m 答案 B 解析 若 l⊥m,m? α ,则 l 与 α 可能平行、相交或 l? α ;若 l⊥α ,l∥m,则 m⊥α ; 若 l∥α ,m? α ,则 l 与 m 可能平行或异面;若 l∥α ,m∥α ,则 l 与 m 可能平行、相 交或异面,故只有 B 选项正确. 2. 已知平面 α 与平面 β 相交,直线 m⊥α ,则 A.β 内必存在直线与 m 平行,且存在直线与 m 垂直 B.β 内不一定存在直线与 m 平行,不一定存在直线与 m 垂直 C.β 内不一定存在直线与 m 平行,但必存在直线与 m 垂直 D.β 内必存在直线与 m 平行,不一定存在直线与 m 垂直 答案 C 解析 如图,在平面 β 内的直线若与 α ,β 的交线 a 平行,则有 m 与 之垂直.但却不一定在 β 内有与 m 平行的直线,只有当 α ⊥β 时才 ( ) ( )

11

存在. 3. 已知 m 是平面 α 的一条斜线,点 A?α ,l 为过点 A 的一条动直线,那么下列情形可能出 现的是 ( )

A.l∥m,l⊥α C.l⊥m,l∥α 答案 C

B.l⊥m,l⊥α D.l∥m,l∥α

解析 设 m 在平面 α 内的射影为 n,当 l⊥n 且与 α 无公共点时,l⊥m,l∥α . 4. 正方体 ABCD—A′B′C′D′中,E 为 A′C′的中点,则直线 CE 垂直于( A.A′C′ 答案 B 解析 连接 B′D′, ∵B′D′⊥A′C′,B′D′⊥CC′,且 A′C′∩CC′=C′, ∴B′D′⊥平面 CC′E. 而 CE? 平面 CC′E, ∴B′D′⊥CE. 又∵BD∥B′D′,∴BD⊥CE. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 5. 如图,∠BAC=90°,PC⊥平面 ABC,则在△ABC,△PAC 的边所在 的直线中:与 PC 垂直的直线有______________;与 AP 垂直的直 线有________. 答案 AB,BC,AC AB 解析 ∵PC⊥平面 ABC,∴PC 垂直于直线 AB,BC,AC; ∵AB⊥AC,AB⊥PC,∴AB⊥平面 PAC, ∴AB⊥PC.与 AP 垂直的直线是 AB. 6. 如图,PA⊥圆 O 所在的平面,AB 是圆 O 的直径,C 是圆 O 上的一点,E、 B.BD C.A′D′ D.AA′ )

F 分别是点 A 在 PB、PC 上的正投影,给出下列结论:
①AF⊥PB;②EF⊥PB; ③AF⊥BC;④AE⊥平面 PBC. 其中正确结论的序号是________. 答案 ①②③ 解析 由题意知 PA⊥平面 ABC,∴PA⊥BC. 又 AC⊥BC,PA∩AC=A,∴BC⊥平面 PAC.
12

∴BC⊥AF.∵AF⊥PC,BC∩PC=C, ∴AF⊥平面 PBC,∴AF⊥PB,AF⊥BC. 又 AE⊥PB,AE∩AF=A,∴PB⊥平面 AEF. ∴PB⊥EF.故①②③正确. 7. 已知平面 α ,β 和直线 m,给出条件:①m∥α ;②m⊥α ;③m? α ;④α ∥β .当满足 条件________时,有 m⊥β .(填所选条件的序号) 答案 ②④ 解析 若 m⊥α ,α ∥β ,则 m⊥β . 三、解答题(共 22 分) 8. (10 分)如图所示,在斜三棱柱 A1B1C1—ABC 中,底面是等腰三角形,

A1B1=A1C1,侧面 BB1C1C⊥底面 A1B1C1.
(1)若 D 是 BC 的中点,求证:AD⊥CC1; (2)过侧面 BB1C1C 的对角线 BC1 的平面交侧棱于 M,若 AM=MA1, 求 证:截面 MBC1⊥侧面 BB1C1C. 证明 (1)∵AB=AC,D 是 BC 的中点,∴AD⊥BC. ∵底面 ABC⊥侧面 BB1C1C, ∴AD⊥侧面 BB1C1C,∴AD⊥CC1. (2)如图,延长 B1A1 与 BM 的延长线交于点 N,连接 C1N. 1 ∵AM=MA1,∴MA1 綊 BB1, 2 ∴NA1=A1B1. ∵A1B1=A1C1, ∴A1C1=A1N=A1B1, ∴NC1⊥C1B1. ∵底面 NB1C1⊥侧面 BB1C1C,∴C1N⊥侧面 BB1C1C, ∴截面 C1NB⊥侧面 BB1C1C, 即截面 MBC1⊥侧面 BB1C1C. 9. (12 分)如图,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别是 CD、A1D1 的中点. (1)求证:AB1⊥BF; (2)求证:AE⊥BF; (3)棱 CC1 上是否存在点 P,使 BF⊥平面 AEP?若存在,确定点 P 的位置,若不存在,说 明理由. (1)证明 连接 A1B,则 AB1⊥A1B,

13

又∵AB1⊥A1F,且 A1B∩A1F=A1,

∴AB1⊥平面 A1BF.又 BF? 平面 A1BF,∴AB1⊥BF. (2)证明 取 AD 中点 G,连接 FG,BG,则 FG⊥AE, 又∵△BAG≌△ADE, ∴∠ABG=∠DAE. ∴AE⊥BG.又∵BG∩FG=G, ∴AE⊥平面 BFG. 又 BF? 平面 BFG,∴AE⊥BF. (3)解 存在.取 CC1 中点 P,即为所求.连接 EP,AP,C1D, ∵EP∥C1D,C1D∥AB1,∴EP∥AB1. 由(1)知 AB1⊥BF,∴BF⊥EP. 又由(2)知 AE⊥BF,且 AE∩EP=E, ∴BF⊥平面 AEP. B 组 专项能力提升 (时间:25 分钟,满分:43 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 15 分) 1. 已知 l,m 是不同的两条直线,α ,β 是不重合的两个平面,则下列命题中为真命题的 是( ) A.若 l⊥α ,α ⊥β ,则 l∥β B.若 l∥α ,α ⊥β ,则 l∥β C.若 l⊥m,α ∥β ,m? β ,则 l⊥α D.若 l⊥α ,α ∥β ,m? β ,则 l⊥m 答案 D 解析 ∵l⊥α ,α ∥β ,∴l⊥β .又∵m? β ,∴l⊥m. 2. (2012·浙江)已知矩形 ABCD,AB=1,BC= 2,将△ABD 沿矩形的对角线 BD 所在的直线 进行翻折,在翻折过程中 A.存在某个位置,使得直线 AC 与直线 BD 垂直 B.存在某个位置,使得直线 AB 与直线 CD 垂直 C.存在某个位置,使得直线 AD 与直线 BC 垂直 D.对任意位置,三对直线“AC 与 BD”,“AB 与 CD”,“AD 与 BC”均不垂直
14

(

)

答案 B 解析 找出图形在翻折过程中变化的量与不变的量.

对于选项 A,过点 A 作 AE⊥BD,垂足为 E,过点 C 作 CF⊥BD,垂足为 F, 在图(1)中,由边 AB,BC 不相等可知点 E,F 不重合. 在图(2)中,连接 CE,若直线 AC 与直线 BD 垂直, 又∵AC∩AE=A,∴BD⊥面 ACE, ∴BD⊥CE,与点 E,F 不重合相矛盾,故 A 错误. 对于选项 B,若 AB⊥CD, 又∵AB⊥AD,AD∩CD=D, ∴AB⊥面 ADC, ∴AB⊥AC,由 AB<BC 可知存在这样的等腰直角三角形,使得直线 AB 与直线 CD 垂直,故 B 正确. 对于选项 C,若 AD⊥BC, 又∵DC⊥BC,AD∩DC=D,∴BC⊥面 ADC, ∴BC⊥AC.已知 BC= 2,AB=1,BC>AB, ∴不存在这样的直角三角形.∴C 错误. 由上可知 D 错误,故选 B. 3. 已知三棱锥 S-ABC 中,底面 ABC 为边长等于 2 的等边三角形,SA 垂直于底面 ABC,SA =3,那么直线 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值为 A. 3 4 B. 5 4 C. 7 4 D. 3 4 ( )

答案 D 解析 如图所示,过点 A 作 AD⊥BC 于点 D,连接 SD;作 AG⊥SD 于点 G,连接 GB. ∵SA⊥底面 ABC,△ABC 为等边三角形, ∴BC⊥SA,BC⊥AD. ∴BC⊥平面 SAD. 又 AG? 平面 SAD,∴AG⊥BC. 又 AG⊥SD,∴AG⊥平面 SBC. ∴∠ABG 即为直线 AB 与平面 SBC 所成的角. ∵AB=2,SA=3,∴AD= 3,SD=2 3.
15

在 Rt△SAD 中,AG=

SA·AD 3 = , SD 2

3 AG 2 3 ∴sin∠ABG= = = . AB 2 4 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 4. 已知 P 为△ABC 所在平面外一点,且 PA、PB、PC 两两垂直,则下列命题: ①PA⊥BC;②PB⊥AC;③PC⊥AB;④AB⊥BC. 其中正确的个数是________. 答案 3 解析 如图所示.∵PA⊥PC、PA⊥PB,PC∩PB=P, ∴PA⊥平面 PBC. 又∵BC? 平面 PBC, ∴PA⊥BC. 同理 PB⊥AC、PC⊥AB.但 AB 不一定垂直于 BC. 5. 在正四棱锥 P—ABCD 中,PA= 3 AB,M 是 BC 的中点,G 是△PAD 的重心,则在平面 PAD 2

中经过 G 点且与直线 PM 垂直的直线有________条. 答案 无数 解析 设正四棱锥的底面边长为 a,(如图)则侧棱长为 由 PM⊥BC, ∴PM= 2 ? 3 ?2 ?a?2 ? a? -?2? = 2 a. ?2 ? ? ? 2 a,MN=AB=a, 2 3 a. 2

连接 PG 并延长与 AD 相交于 N 点,则 PN= ∴PM +PN =MN ,∴PM⊥PN, 又 PM⊥AD,PN∩AD=N,∴PM⊥面 PAD,
2 2 2

∴在平面 PAD 中经过 G 点的任意一条直线都与 PM 垂直. 6. 已知 a、b、l 表示三条不同的直线,α 、β 、γ 表示三个不同的平面,有下列四个命题: ①若 α ∩β =a,β ∩γ =b,且 a∥b,则 α ∥γ ; ②若 a、b 相交,且都在 α 、β 外,a∥α ,a∥β ,b∥α ,b∥β ,则 α ∥β ; ③若 α ⊥β ,α ∩β =a,b? β ,a⊥b,则 b⊥α ; ④若 a? α ,b? α ,l⊥a,l⊥b,l?α ,则 l⊥α . 其中正确命题的序号是________. 答案 ②③
16

17

解析 ①在正方体 A1B1C1D1—ABCD 中,可令平面 A1B1CD 为 α ,平面

DCC1D1 为 β ,平面 A1B1C1D1 为 γ ,又平面 A1B1CD∩平面 DCC1D1=CD,
平面 A1B1C1D1∩平面 DCC1D1=C1D1, 则 CD 与 C1D1 所在的直线分别表示 a,

b,因为 CD∥C1D1,但平面 A1B1CD 与平面 A1B1C1D1 不平行,即 α 与 γ
不平行,故①错误.②因为 a、b 相交,假设其确定的平面为 γ ,根据 a∥α ,b∥α , 可得 γ ∥α .同理可得 γ ∥β ,因此 α ∥β ,②正确.③由两平面垂直,在一个平面内 垂直于交线的直线和另一个平面垂直,易知③正确.④当 a∥b 时,l 垂直于平面 α 内 两条不相交直线,不可得出 l⊥α ,④错误. 三、解答题 7. (13 分)如图,在三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AA1⊥BC,∠A1AC=60°,

A1A=AC=BC=1,A1B= 2.
(1)求证:平面 A1BC⊥平面 ACC1A1; (2)如果 D 为 AB 中点,求证:BC1∥平面 A1CD. 证明 (1)因为∠A1AC=60°,A1A=AC=1, 所以△A1AC 为等边三角形.所以 A1C=1. 因为 BC=1,A1B= 2,所以 A1C +BC =A1B . 所以∠A1CB=90°,即 A1C⊥BC. 因为 BC⊥A1A,BC⊥A1C,AA1∩A1C=A1, 所以 BC⊥平面 ACC1A1. 因为 BC? 平面 A1BC, 所以平面 A1BC⊥平面 ACC1A1. (2)连接 AC1 交 A1C 于点 O,连接 OD. 因为 ACC1A1 为平行四边形, 所以 O 为 AC1 的中点. 因为 D 为 AB 的中点, 所以 OD∥BC1. 因为 OD? 平面 A1CD,BC1?平面 A1CD, 所以 BC1∥平面 A1CD.
2 2 2

18


相关文章:
【步步高】2014届高三数学大一轮复习 8.5直线、平面垂....doc
【步步高】2014届高三数学大一轮复习 8.5直线平面垂直的判定与性质教案 新人教A版 - §8.5 2014 高考会这样考 直线、平面垂直的判定与性质 1.考查垂直关系...
...8.5直线、平面垂直的判定与性质教案 理 新人教A版.doc
高三数学大一轮复习 8.5直线平面垂直的判定与性质教案 新人教A版_高三数学_数学_高中教育_教育专区。§8.5 2014 高考会这样考 直线、平面垂直的判定与性质 ...
【步步高】2014届高三数学大一轮复习 8.4直线、平面平....doc
【步步高】2014届高三数学大一轮复习 8.4直线平面平行的判定与性质教案 新人教A版 - §8.4 2014 高考会这样考 或探索空间的平行关系. 复习备考要这样做 ...
...8.4直线、平面垂直的判定与性质教师用书 理 苏教版.doc
【步步高】高考数学大一轮复习 8.4直线平面垂直的判定与性质教师用书 苏教版_高一数学_数学_高中教育_教育专区。【步步高】高考数学大一轮复习 8.4直线、平面...
高考数学(理)一轮复习题库:8.5直线、平面垂直的判定与性质.doc
高考数学()一轮复习题库:8.5直线平面垂直的判定与性质 - 1.直线与平面
...大一轮复习(Word版题库含解析)8.5 直线、平面垂直的判定与性质....doc
2014届高考数学大一轮复习(Word版题库含解析)8.5 直线平面垂直的判定与性质_数学_高中教育_教育专区。8.5 直线平面垂直的判定与性质一、选择题 1.设 l,m ...
2014届高三数学一轮复习专讲专练 :8.5 直线、平面垂直....doc
2014届高三数学轮复习专讲专练 :8.5 直线平面垂直的判定性质_数学_高中...【步步高】2014届高三数... 18页 1下载券 2014届高三数学()一轮... ...
2014届高三数学(理)一轮专题复习课件 直线、平面垂直的....ppt
2014届高三数学()一专题复习课件 直线、平面垂直的判定性质 - §8.5 直线平面垂直的判定性质 [高考调研 明确考向] 考纲解读 考情分析 ?以立体几何的...
...(人教新课标文科)配套文档 8.4 直线、平面垂直的判定与性质_....doc
2016步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套文档 8.4 直线平面垂直的判定与性质_数学_高中教育_教育专区。§ 8.4 直线平面垂直的判定与性质 1...
高考数学大一轮复习8.4直线、平面垂直的判定与性质教师....doc
高考数学大一轮复习8.4直线平面垂直的判定与性质教师用书苏教版【含答案】 - §8.4 直线平面垂直的判定与性质 1.直线与平面垂直 图形 条件 结论 a⊥b,b...
高三一轮复习教案31直线、平面垂直的判定与性质学生版.doc
高三轮复习教案31直线平面垂直的判定与性质学生版 - 直线平面垂直的判定与性质 2014 高考会这样考 1.考查垂直关系的命题的判定;2.考查线线、线面、面面...
2018届高三文科数学一轮复习 直线与平面垂直的判定及其....ppt
2018届高三文科数学一轮复习 直线与平面垂直的判定及其性质_高三数学_数学_高中教育_教育专区。直线与平面垂直的判定及其性质 淮北一中数学组 1.直线与平面垂直 (1...
高三数学第一轮复习直线、平面垂直的判定与性质导学案理.doc
高三数学第一轮复习直线平面垂直的判定与性质导学案 - 课题:直线平面垂直的判定与性质 编制人: 审核: 下科行政: 学习目标:1、以立体几何的定义、公理和...
...数学一轮复习学案 直线与平面垂直的判定与性质.doc
2018届高三理科数学一轮复习学案 直线与平面垂直的判定与性质_高三数学_数学_高中教育_教育专区。第四节 直线与平面垂直的判定与性质 本节主要包括 2 个知识点:1...
...几何第五节直线平面垂直的判定与性质教师用书理.doc
2018高考数学大一轮复习第七章立体几何第五节直线平面垂直的判定与性质教师用书 - 第五节 考纲要求 直线平面垂直的判定与性质 ☆☆☆2017 考纲考题考情☆...
...8.5直线平面垂直的判定与性质教师用书文新人教版.doc
2018 版高考数学大一轮复习 第八章 立体几何 8.5 直线平面垂直 的判定与性质教师用书 文 新人教版 1.直线与平面垂直 (1)定义 如果直线 l 与平面 α 内的...
2016届高三数学一轮复习(知识点归纳与总结):直线、平面....doc
2016届高三数学轮复习(知识点归纳与总结):直线平面垂直判定及其性质_数学
2018届高三数学一轮复习 直线、平面垂直的判定与性质_图文.ppt
2018届高三数学轮复习 直线平面垂直的判定与性质_高三数学_数学_高中教育_教育专区。第四节 直线平面垂直的判定与 性质 本节主要包括2个知识点: 1.直线、...
...理大一轮复习训练8.4直线、平面垂直的判定与性质(含....doc
新高考苏教版数学理大一轮复习训练8.4直线平面垂直的判定与性质(含答案解析) - 8.4 直线平面垂直的判定与性质 一、填空题 1.如图,AB 是圆 O 的直径,PA ...
...4直线平面垂直的判定与性质教师用书理苏教版.doc
高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量8_4直线平面垂直的判定与性质教师用书苏教版 - 第八章 立体几何与空间向量 8.4 直线平面垂直的判定与性质教师 ...
更多相关文章: