当前位置:首页 >> 数学 >>

立足课本,研究命题——谈2014年江苏高考函数解答题


l 2 — 3 o  

I t . 学教 学 

2 0 1 4 年第 1 2 期 

立 足课 本 ,研 究命题 


谈2 0 1 4 年 江苏 高考 函数解 答题 

2 1 5 0 0 6 苏州 大学数学科 学学院研 究生  王  凯 

函 数 与 导 数 是 中 学 数 学 中最 重 要 的 主 干 

导得 (   ) =1 ~  

, 即, 当  ∈( 0 , e 一1 ) 时,  

知识, 其观 点与思想贯 穿整 个高 中数学 教学的  全过程 , 是历年全 国各 省市高考考查力度 最大  的模 块 .   2 0 1 4 年 高考 江 苏卷 数学 函数类 试题 中没 
有 涉 及 到任 何 生僻 的 知 识 和冷 门的 方 法 .但 是  在 区 分 度 较 高 的 函数 与 导 数 相 结 合 的解 答 题  中,需 要 学 生 理 解 数 学 问题 的 核 心 , 理 清 知 识  的 内部 联 系 , 才 能 透 过 现 象 看 本 质 .本 文 试 图 

^   (   ) <0 ; 当 ∈( e 一1 , + ∞) 时,   (   ) >0 . 故  (   ) 在( 0 , e —1 ) 上单调递减, 在( e —l , +o 。 ) 上单 

调 递 增 . 又 ^ ( e ) =   ( 1 ) = 0 . 从 而 , 当 号 + 去<  
a<e 时, h ( a ) <h ( e ) =0 , 即0 —1<( e 一1 ) I n   a ,   从而e 。   <a   ; 当a>e 时, h ( a ) >  ( e ) =0 ,  
即0— 1> ( e— 1 ) I n   a , e 。 一  > a e 一   ; 当a= e 时,  
e0 —1 = ne 一1

. 

分析2 0 1 4 年江苏卷 函数解答题的相关背景与相 
关题.  


解 法 二 :要 比较 e a - 1 和0 。 - 1 的 大 小 ,只 需 

比较( 0—1 ) i n e 和( e一1 ) I n 0 的大小.进一步,  


试 题 解 答  由于 0> 1 , e> 1 , 故 只 需 比较 
e — l  

题1  ( 2 0 1 4年 高 考 江 苏卷 第 1 9 题) 已知 函 

和 


a ~ l  

的 

数f ( x ) =e   +e _ 。 , 其中e 是 自然对数的底数 .  
( 1 ) 证 明: . 厂 (   ) 是 R 上偶 函数 ;  

大小. 为此考虑函数9 (   ) :  
, , m、  =

±  其 导 数 

( 2 ) 若关于  的不等式mf ( x ) ≤e - X +m一1   在( 0 , +。 。 ) 上恒成立, 求实数m的取值范围;  



旦± 

( 1 +  )  
<  

( 3 )已知正 数 a 满足 :存在 X O∈ [ 1 , 十 ∞) ,  

可 以证 明在 z> 一1 ,   ≠0 时, 有 — 

使得f ( x o ) <n ( 一   3 +3 x 0 ) 成立. 试比较e a - 1 和  
a   的大 小 , 并证 明你 的结 论 .  
解 :( 1 ) 、( 2 ) 略.  

l n ( 1+  ) , 故g   (   )<0 ,即- 9 (   ) 在( 一 1 , +。 。 ) 上 
单 调 递 减 .因 此 :当n>e 时,   >   ,即 


( 3 ) 解 法一: 容易计算对任意X   E『 1 +c o ) ,  

e a - 1> 。 e 一   ; 当n= e 时, e n 一 1 =。 e 一   ;  

,  ) -e   一e _ z >0 , 即,  ) 在[ 1 , +。 。 ) 上单调递 
增, 且f ( 1 ) =e+   .令g ( x ) =一 X 0 +3 x , 则  9   (   ) =一 3 x   +3 =一 3 ( x +1 ) ( X 一1 ) , 因此g ( x )   在[ 1 , +∞) 上单调递减, J i g ( 1 ) = 2 .若存在X o∈   [ 1 , +∞) , 使得f ( x o )<a g ( x o ) 成立, ̄ J J f ( 1 ) <  

;  
< 0< e 时,   <   , 即e n 一 1< n e _。 .  

解 法 三 :由指 数 函数 与幂 函 数 趋 于 无 穷 的  速 度 比较 可 知 , 当a 充分 大时, e 一 >a e 一 一   .因 

此 只 需 找 到 区 问 ( 号 +  , + ∞) 上 两 者 的 临 界  
点, 即使得e  1 =a e - 1 成立 的 a的取值即可.  
用 解 法 一 的方 法 可 以 证 明 , a =e ¥ H a =1 分 

a g ( 1 ) , 即 e + 言 < 2 a , 解 得 0 > 5   + E   >1 .  
要 比 较e 0 一 -   和a e 一 -   的 大 小, 只 需 比 较 

I n e a - 1 和I n a e - 1 ,即0— 1 /  ̄ N ( e一 1 ) l n a 的 大 小.   为此, 考虑 函数h ( x ) =(  —1 ) 一( e 一1 ) i n X . 求 

别 是( e 一1 , + 。 。 ) 和f 1 , e —1 ) 上唯一使得e 。 _ 。 =  

a e - 1 成立的n 的取值( 如图1 ) . 注意到1<昙+  

2 0 1 4 年第 1 2 期 


数 学敦 学 

1 2 - 3 1  

< e- l , 因此 , 当 n> e 时, e 。 一 1   a e - 1 ; 当 

n = e 时 , e a - 1 = a e - 1 ; 当 三 +   1 < 。 < e 时 ,  
ea 一 1 < ae ~
. 

可 以看 出, 上 述解法 完全套用 题 1 的解法  二 或者 说 题 1 的解 法 二 完全 套 用此 题 解 法.   所 以说 , 高 考 题 确 是 课 本 中 思 想 的延 伸 .当然 ,  
此 题还 可 用数 学 归纳法 和 作商 比较 的方 法证 
明.  

三 、高观 点下的解法分析  仔 细分 析解法 二 发现,比较e   和a   的 

大小, 其本质考虑的是函数夕 (   ) :  
估计, 即:  

±型 的  

单调 性.这 个过 程 中最 重要 的是对l n ( 1 +x ) 的 

在X>- 1 , X≠0 时, 成立不等式÷
图1  

<  

l n ( 1 +  1 <X .  
这 在 高等 数 学 中是一 个非 常重 要 的不等  式. 当然 , 此不等式可 以用初等方法证 明. 但若 

二 、课 本背景  课本 是高考命题 的基本 依据, 很 多高考题  源 自课本, 或是 课本 习题 的改编 , 或 是课 本 中   思想的延伸 . 此题也不例外 .   题2 ( 苏 教版 必修 一第 1 1 0 页 复 习题 1 6 )  

结合高等数学中的 L a g r a n g e 中值 定理  过程将 
非常简 明.  
一  

证 明: 记^ (   ) =l n ( i +  ) ,  ̄ U h ( x ) =h ( x )   ( 0 ) .由L a g r a n g e 中值定理: 存在∈∈( 0 , 1 ) ,   ) =   .  

设a 、b 、c 都 是 不等于 1 的正数 , 且a b ≠1 , 试  比较 a l o g c b 和b l o g c 。 的大 小 .  
解: 令x =a l  ̄ g  , y =b l o g  , 只 需比较 l o g c X   和l o g   Y的 大 小 . 由 于l o g c   =l o g c   b? l o g c   a=  

使得 

l o g   Y ,结合 函 数f ( x ) =l o g   z 的单 调 性 可 得:  
X= a l  ̄ g c 6= Y = b l o g c 一 一
. 

从 而  ) =  ÷  . 对   > 0 和 一 l <  < 0 分 别  
讨论得 
1 <  .  

<r 

<  ? 因此 

<l n(   +  

此课 本 习题 不 仅在 表述 形式 上 与今 年 的 

考题 类 似 , 而 且解 法 的 大致 思 想 也是 相 同 的.  

我们将在 下面的相关题研究 ( 题5 ) 中再 次 
使用 此 不 等 式 .  


在直接 比较两数 大小遇 到 困难时, 都是通过 取  对数 , 结合对数函数的单调性解 决 问题 .   与此 类 似 的 问题 在 苏教 版教 材 中屡 见不 
鲜:  

般 地, 结合g ( x ) 的单 调性 , 我 们 可 以 比 

较a 6 一  和 b 。 一  的 大 小 ( 0> l , b> 1 ) :当 a>b  
时, a 6 一  < b “ _。 .  

题3 ( 苏教版 选修 2 — 2 第1 0 3 页 复 习题 l 4 )  
试 比较 f n+ 1 ) n S N n n +   的大 小 .  

再 看 解 法 三,此 中 的 关 键 在 于 指 数 函 

解: 只需 比较 l n ( n+ 1 )  和 l n n n + 1 , 即n?   l n ( n+1 1 和( n +1 ) l n n的大小. 进一步, 只需比  

数Y=e x 与幂 函数Y=   (  > 0 ) 趋于无 穷的“ 速  度 陕慢 .我们称之 为指数 函数 的数 量级 问题 .  


e-1  

从极 限的角度看: l i m 

=0 , 即当0 充分 

较 
=  

n 十

上  

和  的大小. 为此考虑函数九 (   )  
n 

大 时, 一 定有e 0 一 一 1 >a e 一 1 .因此只要确 定区间 



求导得  , (   ) =  

. 50 <  <e 时,  

( 兰 +  , + ∞ ) 上 唯 一 使 得 e n _ 1   a e - 1 成 立 的  
a 的取值 即可 . 此方法是理解 了问题 的核心, 透  过现象看 到了本质, 将题 目的结果 “ 看” 了出来.   但 这需 要对指 数 函数 的数量 级有 充分 的认识,   对 中学生来说 有一定 的困难 . 不 过这个 问题在  苏教版教材 中是有体现的:  

^   (   ) >0 , 函数^ (   ) 单调增加; 当X >e 时, 九   (   )   <0 , 函数 h ( x ) 单调 减少 .因此, 当n≥ 3 时,  
<  
n + l   n 

, 即( n+ 1 ) 亿 <n 佗 + 1 .当 礼 :1  

或 佗= 2 时, ( 佗+ 1 )  > n 佗 +   .  

1 2 — 3 2  

数 学教 学 


2 0 1 4 年第 1 2 期 

题4  f 苏教版必修 一第三章 复习题s )  ̄ J l 用 
计 算 器 分 别 计 算 当  = 1 , 2 , 3 , … , 1 0时 ,函 数 


l n 8> 0 , 9 ( 3 ) =I n 6 4 一I n 8 1 <0 .故存在 唯 



的  ∈( e —l , 3 ) , 使得l 9 ( t ) :l n ( t +1 )   一 I n  +  
0 . 从而 , 存在 唯一的t ∈f e 一1 , 3 ) , 使得  蚪1  

2   ,   =l o g 2  , 及  =z 。的值 , 并 分 析 判 断 



当  无 限 增 大 时, 这 三 个 函 数 中 哪 个 函 数 增 长 



(   +1 )   . 进一步, 当   ∈( 0 , t ) 时, (  +1 )  >  
十   ; 当  ∈(   , +。 。 ) 时, (  + 1 ) z<   + 1 .  



的更快些 ?   解:通过 图像观 察 容易 得 到,   无 限增 大  时, 指数 函数 =2   增长 最快, 其 次是幂 函数  2 最 后 是 对 数 函数 =l o g 2  .   四 、相 关 题 研 究  从 题 3的 结 论 出发 , 能 否 作 一 些 联 想 和 推 
 

注:用数 学软件Ma t l a b 可求 出实数 t 的值 

大致为 t= 2 . 2 9 3 2 …; 此题 源 自文[ 1 】 , 但 原书 
中的证 明有误( 其 中的实数  —e ) , 此处 已更正.  
题1 解 法 二 和 题 4的 证 明过 程 中 构 造 了 辅 



广 ?  

助函数9 (   ) :  

± 型 和^ (   ) 一  


利 用 函 

题 5 计算可 以发现:   ( 1 )当 =1 . 1 或2 . 2 时, (  + 1 )  >x x + l ;   ( 2 ) 当 =2 . 9 或3 . 2 时, (  + 1 )  <x z +   ;   问能否找到实数 t , 使得对任 意  ∈( 0 , t ) ,  

数 单 调 性 比较 大 小 .特 别 值 得 一 提 的 是 , 此 类  函 数 的 相 关 性 质 成 为 不 少 高 考 试 题 的 命 题 背 

景. 比如 , 2 0 1 3 年高考江苏卷第 2 0 题:  

(  +1 )  >   +   ; 对任意 ∈( t , +o 。 ) , ( z+1 )  
<x x + l 恒 成 立 ?进 一 步 , 试 比较 0 6 和6 o的 大 

小( 0 >6 >0 ) .   解:类似 于题 3 的解 法, 只 需 比较 l n ( z+   1 )    ̄ D l n z   +   , 即 I n ( z +1 ) 和(  +1 ) i n  的大/ J 、 ,  
进 一 步, 只 需 比 较  和  的 大 小 . 为 

题6 ( 2 0 1 3 年 高考江苏卷第 2 0 题) 设f ( x )   i n  一0   , 9 ( X ) =e   一n   , 0∈R. 若夕 (   ) 在  ( 一1 , + ∞) 上单调递增, 求, (   ) 的零点个数.  


解 :由9 (   ) 的单调性易得0 ≤二 . 函数f ( x )  
e 

1   T 1  

的 零 点 个 数 即 为方 程 0 =  
1 n , n 

的解 的个 数 , 也 即 

y =a 与h ( x ) =  


的图像 的交 点个 数.   (   ) =  

此考虑 函数h ( x ) =  

.当0 <  <e 时,  (   ) >  

当 ∈ ( 0 , e ) 时, h p (   ) >0 ,  (   ) 在( 0 , e )  

0 , 函数 ^ (   ) 单调递增 ; 当  > e 时, 九   ( z ) <0 ,   函数 h ( x ) 单调递减.  
因此 , 当0 <  , 且 +l < e , 即0<  <e 一1 时,  

是增 函数; 当   ∈( e , + o 。 ) 时,  (   ) <0 ,  (   ) 在  ( e , + 。 。 ) 是减函数.因此 当  =e 时, 函数^ (   ) 有 

(  +1 ) x >x z +   ; 当 >e 时, (   +1 )   <  + 1 .  

最大值二 ,  (   ) 的 值域为( 一 。 。 ,  ) ; 当   + o O  
时, h ( x ) 一0 ;当  一 0 时,  (   )   一 。 。 .函数  h ( X ) 的图像 分别 以   轴,  轴 为渐 近 线. 画 出示 

结合 函数h ( X ) =  
>6 >e 时,  
e 时,   >  

的单调 性可 得:当 n  

<  

, 即0 b <b n ; 当0 <6<n<  

意图( 见图 2 ) 即得:当  ∈( 一 o o , 0 】 U{ 妄 } 时,  
,   1 、  

, 即0 6> b n .  

. 厂 (   ) 有一个零点; 当 0 ∈( 0 ,  ) 时 , . 厂 (   ) 有两个  
零 点.  

但当e 一1< z< e 时, 还 未 曾 比较 (  +1 )   和  +   的大 小, 即: 未找到 题述 中的实数 t .下  面证 明题 中实数 的存在性.  

令y ( x ) =  +   一(  +1 )   , 贝 0 . 厂 ( 2 ) <0 , f ( 3 )   >0 . 故. 厂 (   ) 在( 2 , 3 ) 上存在零点. 进一步, 在区  间( e ~1 , 3 ) 上考虑 函数夕 (   ) =  l n ( z +1 ) 一(  +  

1  
e  … 。  

h  )  
、 一  



:  

一  

0  / 1   e  

x 一  

1 ) I n z . 由 于 当   ∈ ( e 一 1 , 3 ) 时 , i n ( 1 +   ) < 素 .   于 是 : 9 / (   ) = i n (   + 1 ) +   {   — l n x m 一 山  =  

图2  

I n (   +   ) 一   一  < 一   < 0 .  
即9 ( z ) 在区间( e 一1 , 3 ) 上单调. 又9 ( 2 ) : l n   9  

参 考 文 献 

[ 1 ] 虞涛.从课本到高考——数学研究性  学习 [ M] . 上海: 华东师 范大学 出版社 , 2 0 0 9 .  


赞助商链接
相关文章:
立足课本习题,加强变式练习,增强课堂实效
立足课本习题,加强变式练习,增强课堂实效_初三数学_...教师应进一步引导学生把由以上两题的解答过程与变式...得到如下两个命题: ①如图 8,在正三角形 ABC 中...
立足课本 加强变式
立足课本 加强变式_教学案例/设计_教学研究_教育专区...体验解决问题方法的多样性,发展多角度思考问 题多...让学生谈一谈本节学习的体会和收获,教师聆听学生的...
高考物理二轮复习 立足教材巧用变式题提升解题能力教案
立足教材巧用变式题提升解题能力 问题引入: (人教版物理选修 3-2 第四章第五节 P21 课后习题 3)设图中的磁感应强度 B=1T,平行导轨宽 l=1m,金属棒 PQ ...
立足课本,跳出课堂——浅谈中学语文教学中的拓展延伸
立足课本,跳出课堂——浅谈中学语文教学中的拓展延伸_教学案例/设计_教学研究_教育专区。立足课本,跳出课堂——浅谈中学语文教学中的拓展延伸三塘中心学校——王显优...
2012高考物理二轮复习 立足教材巧用变式题提升解题能力...
2012高考物理二轮复习 立足教材巧用变式题提升解题能力教案_高考_高中教育_教育专区。立足教材巧用变式题提升解题能力 问题引入: (人教版物理选修 3-2 第四章第...
立足教材 真情演绎——浅谈多途径提升语文课堂教学的有...
立足教材 真情演绎——浅谈多途径提升语文课堂教学的有效性_教学案例/设计_教学研究_教育专区。立足教材 真情演绎——浅谈多途径提升语文课堂教学的有效性 语文课堂...
更多相关文章: