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2.3等差数列前n项和_图文

§2.3.1

等差数列的前n项和

a1 ? a2 ? a3 ? ....... ? an ?



1 ? 2 ? 3 ? ??100 ? ?

1 ? 100 ? 2 ? 99 ? ? ? 50 ? 51
共50个101

高斯求和的本质是什么? 这种求和方法有没有缺点?

100 于是所求的和是 101 ? ? 5050 2

探究:
猜猜看有多少宝石??? 泰姬陵座落于印度古都阿格,
是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰 罕为纪念其爱妃所建,她宏伟壮 观,纯白大理石砌建而成的主体 建筑叫人心醉神迷,成为世界七 大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰, 图案之细致令人叫绝。

传说陵寝中有一个三角形图案, 以相同大小的圆宝石镶饰而成, 共有100层(见左图),奢靡之程 度,可见一斑。 你知道这个图案一共花了多少宝 石吗?

问题1:图案中,第1层到第21层一共有 多少颗宝石?

这是求奇数个项的和的问 题,能不能直接用高斯的办 法呢求和呢?

问题1:图案中,第1层到第21层一 共有多少颗宝石?

3

1 2

21 20 19

获得算法:

S 21
21 1

(1 ? 21) ? 21 ? 2

问题2:求1到n这n个正整数之和。 即 Sn ? 1 ? 2 ? 3 ? ?? (n ?1) ? n
? Sn ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? (n ? 1) ? n ?1 S n ? n ? (n ? 1) ? (n ? 2) ? ? ? 2 ? 2 S n ? (1 ? n) ? (1 ? n) ? ? ? (1 ? n) ???????????
n

n(n ? 1) Sn ? 2

(倒序相加)

等差数列 ?an ? 前n项和:

n(a1 ? an ) sn ? 2 n(n ? 1) sn ? na1 ? d 2

例1.求和: (1 ) (2 )
101 ? 100 ? 99 ? 98 ? 97



2 ? 4 ? 6 ? 8 ? ? ? 2n (结果用 n 表示)

(3) 2 ? 4 ? 6 ? 8 ? ? ? (2n ? 4) (结果用

n 表示)

解例1:
(1)由公式得:
(101 ? 97) ? 5 S? ? 495 2

(2)原式可写成:
2 ? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n) n ? (1 ? n) ? 2? ? n ? (1 ? n) 2

(3)同理有
? 2?

2 ? ?1 ? 2 ? 3 ? ? ? (n ? 2) ? n? ? ?1 ? ? n ? 2 ? ? ? 2 ? n ? (n ? 3)

例题2: 已知一个等差数列 ?an ? 前10项的和是310,前20项的和是 1220. 由这些条件能确定这个等差数列的前n项和公式吗?

解:由题意可知

将它们代入公式 Sn ? na1 ? n(n ? 1) d 2 10a1 ? 45d ? 310, 得到: 20a1 ? 190d ? 1220 解这个关于 a1 与d的方程组,得到:
a1 ? 4

S10 ? 310

S20 ? 1220

d ?6

所以:S ? 4n ? n( n ? 1) ? 6 ? 3n 2 ? n n

2

巩固练习:
(2004.全国)等差数列?an ? 的前n项和记为 Sn 已知 a10 ? 30 a20 ? 50
(1)求通项 an (2)令 Sn ? 242 ,求n 书本P45 练习1(1)

课堂小结:

学了什么

?

1.经历了等差数列前n项和公式推倒的过程,

将高斯算法进行推广。
2.学习了等差数列的前n项和公式:

n(a1 ? an ) S ? na ? n(n ? 1) d 与 n Sn ? 1 2 2

作业:
P46 2(1)(4)


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