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WWW.4561.COM:重庆--数学归纳法及应用举例(邹安宇)

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《数学归纳法及应用举例》第一课说课方案
重庆市第二十九中学校 邹安宇

一、说教材
(一)教材分析
本课是数学归纳法的第一节课。前面学生已经通过数列一章内容和其它相关内容的学习, 初步掌握了由有限多个特殊事例得出一般结论的推理方法,即不完全归纳法。不完全归纳法 它是研究数学问题,猜想或发现数学规律的重要手段。但是,由有限多个特殊事例得出的结 论不一定正确,这种推理方法不能作为一种论证方法。因此,在不完全归纳法的基础上,必 须进一步学习严谨的科学的论证方法─数学归纳法。数学归纳法安排在数列之后极限之前, 是促进学生从有限思维发展到无限思维的一个重要环节。并且,本节内容是培养学生严密的 推理能力、训练学生的抽象思维能力、体验数学内在美的好素材。

(二)教学目标
学生通过数列等相关知识的学习。已基本掌握了不完全归纳法,已经有一定的观察、归 纳、猜想能力。通过近几年教学方法的改革和素质教育的实施,学生已基本习惯于对已给问 题的主动探究,但主动提出问题和置疑的习惯还未形成。能主动提出问题和敢于置疑是学生 具有独立人格和创新能力的重要标志。如何让学生主动置疑和提出问题?本课也想在这方面 作一些尝试。 根据教学内容特点和教学大纲、根据学生以上实际、根据学生终身发展需要而制订以下 教学目标。 1.知识目标 (1)了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确。 (2)初步理解数学归纳法原理。 (3)理解和记住用数学归纳法证明数学命题的两个步骤。 (4)初步会用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的恒等式。 2.能力目标 (1)通过对数学归纳法的学习、应用,培养学生观察、归纳、猜想、分析能力和严 密的逻辑推理能力。 (2)让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程,培养学生的创 新能力。 3.情感目标 (1)通过对数学归纳法原理的探究,培养学生严谨的、实事求是的科学态度和不怕 困难,勇于探索的精神。 (2)让学生通过对数学归纳法原理的理解,感受数学内在美的振憾力,从而使学生 喜欢数学。 (3)学生通过置疑与探究,培养学生独立的人格与敢于创新精神。

(三)教学重难点
根据教学大纲要求、本节课内容特点和学生现有知识水平,确定如下教学重难点:

1.重 点
(1)初步理解数学归纳法的原理。 (2)明确用数学归纳法证明命题的两个步骤。 (3)初步会用数学归纳法证明简单的与正整数数学恒等式。

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2.难 点
(1)对数学归纳法原理的理解,即理解数学归纳法证题的严密性与有效性。 (2)假设的利用,即如何利用假设证明当 n=k+1 时结论正确。

二、说教法
本课采用交往式的教学方法。交往教学法的特点是:在教师的组织启发下,师生之间、 学生之间共同探讨,平等交流;既强调独立思考,又提倡团结合作;既重视教师的组织引导, 又强调学生的主体性、主动性、平等性、开放性、合作性。这种教学方法的优点是学生心态 开放,主体性和主动性凸现,独立的个性得到张扬,因而创造性得到解放。

三、说学法
本课以问题为中心,以解决问题为主线展开,学生主要采用“探究式学习法”进行学习。 本课学生的学习主要采用下面的模式进行: 观察情景 提出问题 分析问题 猜想与置疑(结论或解决问题的途径) 论证 应用。 探究学习法的好处是学生主动参与知识的发生、发展过程。学生在探究问题过程中学习, 在探究问题的过程中激发学生的好奇心和创新精神;在探究过程中学习科学研究的方法;在探 究过程中形成坚韧不拔的精神。学生掌握了这种学习方法后,对学生终身学习,终身发展都 有积极意义,这就是让学生学会学习。

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四、说教学过程
主干层次为:创设情景(提出问题); 探索解决问题的方法(建立数学模型); 方法尝试(感性认识); 理解升华(理性认识); 方法应用(解决问题); 课堂小结(反馈与提高) 。 教学过程设计以问题为中心,以探究解决问题的方法为主线展开。这种安排强调过程, 符合学生的认知规律,使数学教学过程成为学生对书本知识的再创造、再发现的过程,从而 培养学生的创新意识。 具体过程安排如下:

(一)创设问题情景
1.情景创设 情景一:生活中的实际例子(摸出球的颜色问题) 情景二:已知数列 ?a5? 的通项公式 an ? (n2 ? 5n ? 5)2 ,学生分别计算 a1 、 a2 、 a3 、 a4 的值, 猜想 an 的值,计算 a5 的值。请学生创设一个由有限多个特殊事例得出一般结论的 数学公式。 情景三(学生自己创设) :学生共同回顾等差数列 ?a5? 通项公式推导过程:
a1 ? a1 a2 ? a1 ? d a3 ? a1 ? 2d a4 ? a3 ? 3d ????? an ? a1 ? (n ? 1)d 2.学生观察、分析以上三个情景,提出与分析问题,得出结论。
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3.结论:这些用有限多个特殊事例得出的结论,有的正确,有的不正确。因此不能 作为论证的方法。 下面教师用教学语言讲述: 等差数列的通项公式也是由有限个特殊事例归纳出来的,也可能不正确,一但错误,我 们已建立的数列大厦必将倒塌,必须对其进行抢救性证明,如何证明这类有关正整数的命题 呢?

(二)探索解决问题的方法
1. 多媒体演示多米诺骨牌游戏。 师生共同探讨多米诺骨牌全部依次倒下的条件: (1)第一块要倒下; (2)当前面一块倒下时,后面一块必须倒下; 当满足这两个条件后,多米诺骨牌全部都倒下。 2.学生类比多米诺骨牌依顺序倒下的原理,探究出证明有关正整数命题的方法(建立数 学模型) 。 (1)n 取第一个值 n0 (例如 n0 ? 1 )时命题成立; (2)假设 n=k(k ? N * , k ? n0 )命题成立,利用它证明 n=k+1 时命题也成立。 满足这两个条件后,命题对一切 n ? N * 均成立。

(三)方法尝试
师生共同用探究出的方法尝试证明等差数列通项公式。 其中假设 n=k 时等式成立, 证明 n=k+1 时等式成立的证明目标和如何利用假设主要由学 生完成。

(四)理解升华
1.置疑 对上面的证明方法,充分让学生置疑、提问。 2.论证(说理) 师生共同探讨数学归纳法的原理,理解他的严密性、合理性。从而由感性认识上升为理 性认识。 本阶段用逻辑推理的形式展开研究:当一个命题满足上面(1)(2)两个条件时 、 ? n=1时命题成立 ? ? 因为有(2)正确(这时k=1) ? ?

?

n ? k ? 1, 即n=2时命题成立 ? ? 因为有(2)正确(这时k=2)?

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n ? k ? 2, 即n ? 3 时命题成立 ? ? 因为有(2)正确(这时k=3) ?

n ? k ? 1 ? 4 时命题成立 ? n ? 5 时命题成立 ? ……即对一切 n ? N * ,命题均成立。 让学生对以上逻辑推理进行充分置疑师生共同探讨数学归纳法的合理性。 思考:根据以上逻辑推理。 ① 条件(1) ,条件(2)分别起什么作用? ② 条件(1) ,条件(2)为什么缺一不可?
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3.方法总结: 学生总结用数学归纳法证明命题的两个步骤: (1)n 取初始值 n0 (例如 n0 ? 1 )时命题成立; (2)假设 n ? k (K ? N * , K ? n0 ) 时命题成立,利用它证明 n ? k ? 1 时命题也成立。

(五)数学归纳法的应用
例 1 用数学归纳法证明: 1 ? 3 ? 5?? ? (2n ?1) ? n2 本例主要由学生完成,教师适时作必要引导。这样处理有利于培养学生用所学知识解决问题 的能力。 教师主要引导学生参与讨论的内容是: 1 当 n ? k ? 1 时,证明的目标是什么? 2 当 n ? k ? 1 时,能否这样证明: 1 ? 3 ? 5 ? ?? (2k ? 1) ? ? 2(k ? 1) ? 1?

? 1 ? 3 ? 5 ? ?? (2k ? 1) ? (2k ? 1) 1 ? (2k ? 1) (k ? 1) 2 ? (k ? 1)2 ? n ? k ? 1 时,等式成立 根据时间,练习 1—2 个题目 (根据学生学习情况而定,充分体现学生学习的主动性,自主性) 备选题目是: 1 用数学归纳法证明:1. 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n(n ? 1) 2 2.首项是 a1 ,公比为 q 的等比数列的通项公式是 a1 ? a1qn?1 ?

(六)小结(师生共同完成)
1 数学归纳法是科学的证明方法;利用它可以证明一些关于正整数 n 的命题。 2 数学归纳法证明命题的两个步骤。 3 用数学归纳法证明命题的两步骤缺一不可。 4 证明 n=k+1 命题成立时,一定要利用假设。 5 证明 n=k+1 命题成立时,首先要明确证明的目标。

(七)布置作业
高中数学第三册(选修Ⅱ)习题 2.1 第 1、第 2 两题。

五、说板书
数学归纳法 证明: an ? a1 ? (n ?1)d 探究数学归纳法原理 证明: 1 ? 3 ? 5 ? ??(2n ?1) ? n2

说 明 : 学 生 课 堂 练 习 在 展 示 平 台 上 展 示 。 an ? a1 ? (n ?1)d 的 推 导 过 程 和 对

an ? (n2 ? 5n ? 5)2 的探究在副板书上进行。 小结与作业在多媒体上显示:

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