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人教版新课标高中数学选修1-1精品系列 3.3.2函数的极值与导数 课件_图文

3.3.2 函数的极值与导数 1 2 了解函数极大(小)值的概念,了解函数在某点取得极值 的必要条件和充分条件,会求二次多项式函数的极大值和极 小值.重点是:求函数极值的方法及求二次多项式函数的单 调区间以及函数的极值.难点是:函数在某点取得极值的必 要条件和充分条件. 3 1.设函数 f(x)在点 x0 及其附近有定义,如果对 x0 附近的 f?x?≤f?x0? ,则称 f(x0) 是函数 f(x) 的一个 所有点,都有 ___________ 极大值 ,记作___________ y 极大值=f?x0? ;如果对 x0 附近的所有点都 ___________ f?x?≥f?x0? ,则称 f(x0)是函数 f(x)的一个___________ 极小值 , 有___________ y 极小值=f?x0? 极大值与极小值统称为___________. 极值 记作___________. 4 2.当函数 f(x)在点 x0 处连续时,判断 f(x0)是否存在极 大(小)值的方法是: f′?x?>0 , 右 侧 (1) 如 果 在 x0 附 近 的 左 侧 ___________ f′?x?<0 ,那么 f(x0)是极___________ 大 ___________ 值; f′?x?<0 , 右 侧 (2) 如 果 在 x0 附 近 的 左 侧 ___________ f′?x?>0 ,那么 f(x0)是极___________ ___________ 值; 小 (3) 如 果 f′(x) 在 点 x0 的 左 右 两 侧 符 号 不 变 , 则 不是 函数 f(x)的极值. f(x0)_______ 5 3. 一般情况下, 我们可以通过如下步骤求出函数 y=f(x) 的极值点: f′?x? ; (1)求出导数___________ f′?x?=0 ; (2)解方程_____________ 6 (3)对于方程 f′(x)=0 的每一个解 x0,分析 f′(x)在 x0 极值 : 左、右两侧的符号(即 f(x)的单调性),确定________ ①若 f′(x)在 x0 两侧的符号“左正右负”,则 x0 为 极大值点 ________; ②若 f′(x)在 x0 两侧的符号“左负右正”,则 x0 为 极小值点 ________; 不是 极值点: ③若 f′(x)在 x0 两侧的符号相同, 则 x0________ 7 思考探究 导数值为 0 的点一定是函数的极值点吗? 提示:不一定.可导函数的极值点一定是导数为零的 点,导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件,其充分 3 2 条件是该点两侧的导数异号. 例如, y= x , y′= 3x = 0 时,x=0, 但因 3x2≥0,∴y=x3 单调递增,即 x=0 使 y′=0, 但 x=0 却不是极值点. 8 1.关于函数的极值,下列说法正确的是( ) A.导数为零的点一定是函数的极值点 B.函数的极小值一定小于它的极大值 C. f(x)在定义域内最多只能有一个极大值和一个极小值 D.若 f(x)在(a,b)内有极值,则 f(x)在(a,b)内不是单 调函数 解析:根据极值的定义判断. 答案:D 9 2.函数 f(x)=ax3+bx 在 x=1 处有极值-2,则 a,b 的值分别为( ) A.1,-3 B.1,3 C.-1,3 D.-1,-3 解析:∵f′(x)=3ax2+b,∴f′(1)=3a+b=0.① 又当 x=1 时有极值-2,∴a+b=-2.② ? ?a=1, 联立①②解得? ? ?b=-3. 答案:A 10 3.对于函数 f(x)=x3-3x2,给出下列命题: (1)f(x)是增函数,无极值; (2)f(x)是减函数,无极值; (3)f(x)的递增区间为(-∞,0)和(2,+∞),递减区间为 (0,2); (4)f(0)=0 是极大值,f(2)=-4 是极小值. 其中正确的有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 11 解析:f′(x)=3x2-6x.令 f′(x)=3x2-6x>0,得 x>2 或 x<0;令 f′(x)=3x2-6x<0,得 0<x<2.∴函数 f(x)在区间(- ∞,0)和(2,+∞)上单调递增,在区间(0,2)上单调递减,当 x=0 和 x=2 时,函数分别取得极大值 0 和极小值-4. 答案:B 12 -1 处取得极大 4.函数 y=2x -6x -18x+7 在 x=______ 3 处取得极小值______ 值______ -47 . 17 ,在 x=______ 3 2 13 解析:y′=6x2-12x-18,令 y′=0,解得 x1=-1, x2=3.当 x 变化时,y′,y 的变化情况如下表: 3 x (-∞,-1) -1 (-1,3) (3,+∞) 0 0 y′ + - + y ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以当 x=-1 时,f(x)取得极大值,f(-1)=17; 当 x=3 时,f(x)取得极小值,f(3)=-47. 14 1 5.求函数 f(x)=x+ 的极值. x 15 1 解:因为 f(x)=x+ , x 1 所以 f′(x)=1- 2,f(x)的定义域为{x|x∈R,且 x≠0}. x 令 f′(x)=0,得 x=1,或 x=-1. 当 x<-1 时,f′(x)>0; 当-1<x<0,或 0<x<1 时,f′(x)<0; 当 x>1 时,f′(x)>0. 因此,当 x=-1 时,f(x)有极大值,并且极大值为 f(- 1)=-2; 当 x=1 时,f(x)有极小值,并且极小值为 f(1)=2. 16 17 1.正确理解极值的概念 极大值与极小值统称为极值. 在定义中,取得极值的点称为极值点,极值点是自变量 的值,极值指的是函数值.请注意以下几点: (1)极值是一个局部概念.由定义,极