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江西省赣州一中2014-2015学年度下学期5月月考高一数学试卷


江西省赣州一中 2014-2015 学年度下学期 5 月月考 高一数学试卷 一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题只有一项是符合题目要求的) 1. 已知 a ? b ? 0 ,那么下列不等式成立的是( D )

A. ? a ? ?b 考点:不等式的性质 2.已知 ?ABC 中, a ? A. 45
0

B. a ? c ? b ? c

1 1 ? C. a b

D.

? ?a ?

2

? ? ?b ?

2

2 , b ? 3 , B ? 60 0 ,那么 ?A ? (
0

A )
0 0

B. 90

C. 135 或 45

0

0

D. 150 或 30

考点:用正弦定理解三角形

x?
3.不等式

2 ?2 x ?1 的解集是(
(1, ??)

A ) B. (??, ?1) D. (??, ?1)

A. (?1, 0) C. (?1, 0)

(0,1)

(0,1)

(1, ??)

考点:解分式不等式 4.已知点 A(1,-2),B(m,2)且线段 AB 的垂直平分线的方程是 x+2y-2=0,则实数 m 的值 是( C ) A.-2 B.-7 C. 3 D.1 1+m 解:因为线段 AB 的中点为( 2 ,0)在直线 x+2y-2=0 上,代入解得 m=3. 考点:线段的中点坐标与直线方程 5.直线 mx+4y-2=0 与直线 2x-5y+n=0 垂直,垂足为(1,p),则 n 的值为( A ) A.-12 B.-2 C .0 D.10 解: 由 2m-20=0 得 m=10,由垂足(1,p)在直线 mx+4y-2=0 上得 10+4p-2=0, ∴p=-2,又垂足(1,-2)在直线 2x-5y+n=0 上,则解得 n=-12. 考点:两直线垂直的位置关系 6.在 ?ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c 满足 b ? c ? a ? bc , AB ? BC ? 0 ,
2 2 2

a?

3 2 ,

则 b+c 的取值范围是(

B )

? 3? ?1, ? A. ? 2 ?

? 3 3? ? ? 2 ,2? ? ? B. ?

?1 3? ? , ? C. ? 2 2 ?

? 1 3? ? , ? D. ? 2 2 ?

考点:余弦定理与向量的数量积 7.等差数列 和

?an ?的前 n 项和为 S n ,且 a1 ? a2 ? 10 , S4 ? 36 ,则过点 P(n, an )

Q(n ? 2, an? 2 ) ( n ? N ? )的直线的一个方向向量是( A )
-1-

? 1 ? ? ? ,?2 ? ? A. ? 2
.

B. ?? 1,?1?

? 1 ? ? ? ,?1? ? C. ? 2

? 1? ? 2, ? D. ? 2 ?

ì ? 2a1 + d = 10 í ?a ? 设首项为 a1 ,公差为 d ,由 a1 ? a2 ? 10 ,S4 ? 36 ,得 ? ? 4a1 + 6d = 36 , 解: 等差数列 n 中,
解得

an = a1 +( n - 1) d = 4n - 1 P n, 4n - 1) Q ( n + 2, 4n + 7) a1 =3, d =4.∴ .则 ( , .

? 1 ? ? 1 ? ? , ?2 ? ? ,?2 ? ? ? ? 2,8? ? ?4 ? 2 ? .即为 ? 2 ? , ∴过点 P 和 Q 的直线的一个方向向量的坐标可以是
考点:等差数列与直线的斜率

8.设 x、y 满足约束条件

? x ? y ? 1, ? ? y ? x, 则z ? 2 x ? y ? x ? 0, ?
3 C. 2

的最大值为( C



A.0

1 B. 2

D.3

考点:简单线性规划

2 1 m ? ? a ? 0 , b ? 0 9. 已知 ,若不等式 a b 2a ? b 恒成立,则 m 的最大值等于( B
A.10 B.9 C.8 考点: 用均值不等式解决不等式恒成立的问题 D.7



1 1 an ? an ?1 ? ( ) n (n ? 2 3 3 10.已知数列{an} 满足 a1=1, 且 , 且 n∈ N) , 则数列{ an} 的通项公
式为 ( B )

A.

an ?

3n n?2

B.

an ?

n?2 3n

C.an=n+2

D.an=( n+2)· 3n

考点: 递推式求数列的通项公式 11.在 x 轴、y 轴上截距相等且与圆 ( x ? 2 2) ? ( y ? 3 2) ? 1 相切的直线 L 共有( B )条
2 2

A.2 B.3 C.4 D.6 考点:直线与圆相切的问题 12. 在平面直角坐标系 x O y 中, 圆 C 的方程为 x2+y2-8 x+1 5=0, 若直线 y=k x+2 上至少存在一 点, 使得以该点为圆心, 半径为 1 的圆与圆 C 有公共点, 则 k 的最小值是 ( A )

3 A.- 4

5 B.- 4

3 C.- 5

5 D.- 3

考点:直线与圆的位置关系

-2-

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.与直线 7 x ? 24 y ? 5 平行,并且距离等于 3 的直线方程是___ __

7 x ? 24 y ? 70 ? 0 或 7 x ? 24 y ? 80 ? 0
考点: 两直线平行的位置关系
?3 ? 2 x ? y ? 9 ? ?6 ? x ? y ? 9

14.若变量 x,y 满足约束条件 考点:简单线性规划

,则 z ? x ? 2 y 的最小值为__________。-6

15.若实数 a, b, c 成等差数列,点 P (?1,0) 在动直线 ax ? by ? c ? 0 上的射影为 M ,点 N (3,3) , 则线段 MN 长度的最大值是 .5? 2

解:由题可知动直线 ax ? by ? c ? 0 过定点 A(1, ?2) .设点 M ( x, y ) ,由 MP ? MA 可求得点 M
2 2 的轨迹方程为圆 Q : x ? ( y ? 1) ? 2 ,故线段 MN 长度的最大值为 QN ? r ? 5 ? 2

考点:直线方程及圆的轨迹方程
2 2 16 . 在 ?ABC 中 , 内 角 A 、 B 、 C 的 对 边 分 别 是 a、b、c , 若 a ? b ? 4a ? 2b ? 5 , 且

a ? b ? c ?bc ,则 S ?ABC
2 2 2

39 ? 3 ? ________. 8

考点:正弦定理与余弦定理、两角和及三角形面积公式 三.解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
2 17. (本题 10 分)已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? a ? 2 .

(1)若关于 x 的不等式 f ( x) ? 0 的解集是 (?1,3) ,求实数 a, b 的值; (2)若 b ? 2, a ? 0 ,解关于 x 的不等式 f ( x) ? 0 .
2 解:(1)由题 x ? ?1 ,3 是方程 ax ? bx ? a ? 2 ? 0 的二根.

b?2 ? ?a ? ?1 ? ? 8a ? 3b ? 2 ? 0 ,∴ ? b ? 2 ………………4 代入有 ?
(2) b ? 2时,f ( x) ? ax ? 2 x ? a ? 2 ? (ax ? a ? 2)( x ? 1) ……………6
2

∵a ? 0

f ( x) ? 0化为(x ?


a?2 )( x ? 1) ? 0 a

a?2 a ? 2? ? ? ?1, 即a ? 1时,解集为? x x ? ?1或x ? ? a ? ………………8 ? ①当 a
-3-

a?2 a?2 ? ? ? ?1, 即0 ? a ? 1时,解集为? x x ? 或x ? ?1? a ? ? ………………10 ② a
考点:根与系数的关系及解含参数的不等式 18(本小题满分 12 分) .一条直线经过点 P(3,2) ,并且分别满足下列条件,求直线方程: (1)倾斜角是直线 x-4y+3=0 的倾斜角的 2 倍; (2)与 x、y 轴的正半轴交于 A、B 两点,且△AOB 的面积最小(O 为坐标原点). 解: (1)设所求直线倾斜角为θ ,已知直线的倾斜角为α ,则θ =2α ,

1 8 且 tanα = 4 ,tanθ =tan2α = 15 ,从而方程为 8x-15y+6=0.

y x (2)设直线方程为 a + b =1,a>0,b>0,代入 P(3,2) ,
6 3 2 1 得 a + b =1≥2 ab ,得 ab≥24,从而 S△AOB= 2 ab≥12,

3 2 b 2 此时 a = b ,∴k=- a =- 3 .

∴方程为 2x+3y-12=0.

ab ?
考点:直线倾斜角与直线方程、基本不等式

a?b 2

19 . ( 本小题满分 12 分 ) 设 ?ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,且满足

2c ? b cos B ? a cos A 。 (1)求角 A 的大小; (2)若 a ? 1 ,求 ?ABC 周长的最大值. 2c ? b cos B ? cos A , (2c ? b) ? cos A ? a ? cos B 解:1)∵ a
∴ (2sin C ? sin B) ? cos A ? sin A ? cos B ∴ 2sin C ? cos A ? sin B ? cos A ? sin A ? cos B ∴ 2sin C ? cos A ? sin( A ? B) ? sin C

a b c ? ? ∵ sin A sin B sin C

在△ ABC 中, sin C ? 0 .

cos A ?


1 ? ?A ? 2, 3

……………5 分

b?
(2)

a sin B 2 2 ? sin B c ? sin C sin A 3 3 , ,

…………6 分

l ? a ? b ? c ? 1?


2 2 (sin B ? sin C ) ? 1 ? (sin B ? sin( A ? B)) 3 3

-4-

? 1 ? 2(

3 1 ? sin B ? cos B) ? 1 ? 2sin( B ? ) 2 2 6 。

…………8 分

2 ? ? 5 ? 1 B ? (0, ? ) B ? ?( , ? ) sin( B ? ) ? ( ,1] 3 ,∴ 6 6 6 ,∴ 6 2 又
∴ l ? (2,3], 故 ?ABC 周长的最大值 3

…………9 分 …………………10 分

另解: a ? b ? c ? 2bc cos A 得 1= b ? c ? bc ,
2 2 2 2 2

(b ? c) 2 ? 1 ? 3bc ? 1 ? 3(

b?c 2 ) 2

化简得 b ? c ? 2 , 又?ABC的周长l ? a ? b ? c ? 1 ? b ? c ,故 ?ABC 周长的最大值 3 考点:正弦定理与余弦定理在解三角形的综合应用 20. 已知单调递增的等比数列 (1)

{an } 满足: a2 ? a3 ? a4 ? 28 ,且 a3 ? 2 是 a2 , a4 的等差中项.

{a } 求 数 列 n 的 通 项 公 式 ; (2)

bn ? an log 1 an

2



S n ? b1 ? b2 ? ? ? bn , 求 使

Sn ? n ? 2n ?1 ? 30 成立的正整数 n 的最小值.
解:(1)设等比数列 依题意,有

?an ? 的首项为 a1 ,公比为 q.

2(a3 ? 2) ? a2 ? a4 ,代入 a2 ? a3 ? a4 ? 28 ,

2 ? ?a1q ? 8, ? 3 a ? 8 ? a ? a ? 20 ?a1q ? a1q ? 20, 3 2 4 ? 可得 , , ?

1 ? q? , ? ?q ? 2, 2 ? ? ? a ?2 a ? 32. ?a ? 解之得 ? 1 或? 1 又数列 n 单调递增,
? q ? 2 , a1 ? 2 ,
(2) ?
2

n ? 数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2 . ………6 分

bn ? 2n log 1 2n ? ?n ? 2n

,?

Sn ? ?(1? 2 ? 2 ? 22 ?

? n ? 2n ) ,

2Sn ? ?[1? 22 ? 2 ? 23 ?
两式相减,得

? (n ? 1) ? 2n ? n ? 2n ?1 ] , ? 2n ? n ? 2n ?1 ? 2n ?1 ? 2 ? n ? 2n ?1.

S n ? 2 ? 2 2 ? 23 ?

? Sn ? n ? 2n ?1 ? 30 即 2n ?1 ? 2 ? 30 ,即 2n ?1 ? 32 ? 25
? n ? 1 ? 5 ? n ? 1 ? 5 从而 n ? 4 故正整数 n 的最小值为 5.
? 使? S n ? n ? 2
n ?1

? 30 成立的正整数 n 的最小值为 5. …………………12 分
-5-

考点:等比数列与前 n 项和

S n 及不等式的综合应用

21. (本题 12 分)已知直径为 4 的圆 M 过点 (1,?1) ,且圆心 M 在射线:

x ? y ? 2 ? 0 ? y ? 0?

上.(1)求圆 M 的方程;(2)设 P 是圆 M 上的动点,直线 x ? y ? 0 与圆 M 交于不同的两点 A 、

B ,求三角形 PAB 面积的最大值.
解:(Ⅰ )设圆 M 的方程为: ( x ? a ) ? ( y ? b) ? 4
2 2

?(1 ? a ) 2 ? (?1 ? b) 2 ? 4 ? a?b?2 ? 0 根据题意得: ? ,解得; a ? b ? 1 或 a ? 3, b ? ?1
因为 b ? 0 ,所以 a ? b ? 1 ,故所求圆 M 的方程为: ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 4
2 2

(Ⅱ )设直线与圆交于 A 、 B 两点

联立

?x ? y ? 0 ? 2 2 ?( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 4

解得 x ? 1, y ? ?1 或 x ? ?1, y ? 1

所以

AB ? (1 ? 1) 2 ? (?1 ? 1) 2 ? 2 2

.因为三角形 PAB 面积

S?

1 AB d 2

要使三角形 PAB 面积最大,只要求出其最大距离 d 即可. 根据平面几何的性质可知,距离 d 为最大时, P 点为弦 AB 的垂直平分线与圆的交点

此时最大距离 d 等于圆心 M 到直线 AB 的距离 d1 加上圆的半径,则

d1 ?

1?1 2

? 2

d ? d1 ? 2 ? 2 ? 2 ,所以

S?

1 AB d ? 2 ? 2 2 2

所以三角形 PAB 面积的最大值为 2 ? 2 2 . . . . . . .12 分 考点:求圆的方程及三角形的面积
? ? d , 1 ≤ n ≤ 15, ? an ?1 ? an ? ? 1 , 16 ≤ n ≤ 30, ?1 ? , 31 ≤ n ≤ 45, * ?d 1 ≤ n ≤ 46 ) 22. (本题 12 分) .已知数列 {an } (n?N , 满足 a1 ? a ,
* 其中 d ? 0 , n ? N . (1)当 a ? 1 时,求 a46 关于 d 的表达式,

于并求 a46 的取值范围; (2)设集合

M ? {b | b ? ai ? a j ? ak , i, j , k ? N? ,1 ≤ i ? j ? k ≤ 16}
-6-





a?

1 1 d? 3, 4 ,求证: 2 ? M ;

解: (1)当 a ? 1 时,
a16 ? 1 ? 15d , a31 ? 16 ? 15d ,

1 a46 ? 16 ? 15(d ? ) d .

因为 d ? 0 ,

d?

1 1 ≥2 d ? ≤ ?2 d d ,或 ,所以 a46 ? (??, ?14] [46, ??) . 1 n ?1 i? j ?k ?3 ? b ?1? 3 4 , 1 ≤ n ≤ 16 , 4 .

(2)① 由题意 i? j ?k ?3 1? ?2 ? 4 令 ,得 i ? j ? k ? 7 .因为 i, j , k ? N , 1 ≤ i ? j ? k ≤ 16 , 所以令 i ? 1, j ? 2, k ? 4 ,则 2 ? M . 考点:数列的综合应用

an ?

-7-


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