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3.1.1 有理指数幂及其运算


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3.1.1 有理指数幂及其运算(一)
教学目标:根式、分数指数幂的概念以及利用分数指数的运算性质进行指数的运 算. 教学重点:分数指数幂的概念和分数指数的运算性质.本小节的难点是根式的概 念和分数指数幂的概念.关键是理解分数指数幂和根式的意义. 教学过程: (1)指数概念的扩充:指数的概念是由乘方概念推广而来的。相同因数相 乘 aaa ? ?a = a n 导出乘方,这里的 n 为正整数。从复习初中内容开始,首先将 n ? ?? ?? ?
n个

推广为全体整数;然后把乘方、开方统一起来,推广为有理指数;最后,在实数 范围内建立起指数概念. (2)分数指数幂是根式的另一种表示,根式的运算可利用分数指数幂与根 式之间的关系转化为分数指数幂的运算.对于问题计算化简的结果,不强求统一 用何种形式来表示.但结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含 有负指数. (3)随着指数范围的扩充,幂的运算性质逐步合并且简化.正整数指数幂 的运算性质如下: ① ② ③ ④ ; ; ; ;





当指数的范围扩大到整数集 之后, 幂的运算性质可由 5 条合并为 3 条, 即: ① ② ③ ; ; .
1

这 3 条性质都要遵守零指数幂、负整数指数幂的底数不能等于 0 的规定.

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当指数的范围扩充到有理数集

以至实数集

后,幂的运算性质仍然是上述

3 条,但要遵守负实数指数幂的底数不能等于 0 的规定. (4)例 1:先化简再用计算机求值
1

(1) ( 9 ? 4 5 ) 2 ? 2 . 3 1 .4 (2) ( m ? m 2 ? 1 ? m ? m 2 ? 1 (其中 m ? 8 . 3 )
1

例 2:已知: a ? a
2

?

1 2

? 2 求下列各式的值

(1) a 2 ? a ? 2 ; (2) a 3 ? a ? 3 ; (3) a 4 ? a ? 4 . 例 3:化简:
a
2

b

3

a b
3

b

a

课堂练习:第 97 页练习 A,练习 B 小结:本节学习了根式、分数指数幂的概念以及利用分数指数的运算性质进 行指数的运算. 课后作业:第 100 页习题 3-1A 第 1 题

2


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