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河北省清河县清河中学高三数学《古典概型》课件


高三总复习

人教A版 · 数学(理)

第五节 古典概型

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1.理解古典概型及其概率计算公式.
2.会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数

及事件发生的概率.

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1.基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是 互斥 的. 的

(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成 基本事件 和.

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2.古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典 概型. (1)试验中所有可能出现的基本事件 (2)每个基本事件出现的可能性 3.古典概型的概率公式 只有有限个.

相等.

A包含的基本事件的个数 P(A)= . 基本事件的总数

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1.甲 乙 人 意 住 房 , 、 两 同 一 房 的 率 、 两 随入两 间甲 乙 人住个间概 是( ) 1 A. 4 1 B. 3 1 C. 2 2 D. 3

解析:甲、乙两人随意入住房间共有 4 个基本事件,甲、乙同住一 2 1 个房间包含 2 个基本事件,故所求概率为 P=4=2.
答案:C

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2.假设小军、小燕和小明所在的班级共有50名学生,并且这

50名学生早上到校先后的可能性相同,则“小燕比小明先到校,
小明又比小军先到校”的概率为________.

1 解析:将 3 人排序共包括 6 个基本事件,由古典概型得 P= . 6 1 答案: 6

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3.甲乙等4人参加4×100 m接力,甲跑第1棒或乙跑第4棒的
概率是________.

解析:设x为甲跑的棒数,y为乙跑的棒数,有(1,2),(1,3),
(1,4) , (2,1) , (2,3) , (2,4) , (3,1) , (3,2) , (3,4) , (4,1) , (4,2) ,

(4,3)12 种 结 果 , 甲 跑 第 1 棒 或 乙 跑 第 4 棒 有 (1,2) , (1,3) , (1,4) ,
(2,4),(3,4)5种可能.

5 答案: 12

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4.若以连续掷两次骰子分别得到的点数m,n作为点P的坐 标.则点P落在圆x2+y2=16内的概率是________. 解析:基本事件包括(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),…,(6,6)共计36个,记事 件A={P(m,n)落在圆x2 +y2 =16内},则A所包含的基本事件有 (1,1),(2,2),(1,3),(1,2),(2,3),(3,1),(3,2),(2,1)共8个.

8 2 ∴P(A)= = . 36 9 2 答案: 9

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热点之一

古典概型的概念

古典概型必须满足两点:①有限性,②等可能性,只有两 点都满足时才是古典概型.

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[例1]

判断下列命题正确与否.

(1)掷两枚硬币,可能出现“两个正面”“两个反面”“一正
一反”3种结果;

(2)某袋中装有大小均匀的三个红球、两个黑球、一个白球,
那么每种颜色的球被摸到的可能性相同;

(3)从-4、-3、-2、-1、0、1、2中任取一数,取到的数小
于0与不小于0的可能性相同;

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(4)分别从3名男同学、4名女同学中各选一名代表,那么每个 同学当选的可能性相同. [思路探究] [课堂记录] 利用古典概型的定义及性质加以判断. 以上命题均不正确.

(1)应为4种结果,还有一种是“一反一正”;
1 1 1 (2)摸到红球的概率为 , 摸到黑球的概率为 , 摸到白球的概率为 ; 2 3 6 4 3 (3)取到小于 0 的数字的概率为7,不小于 0 的数字的概率为7; 1 1 (4)男同学当选的概率为 ,女同学当选的概率为 . 3 4

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即时训练 袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个,现依次

有放回地随机摸取3次,每次摸取一个球.
(Ⅰ)试问:一共有多少种不同的结果?请列出所有可能的结

果;
(Ⅱ)若摸到红球时得2分,摸到黑球时得1分,求3次摸球所得

总分为5的概率.

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解:(Ⅰ)一共有8种不同的结果,列举如下:

(红、红、红)、(红、红、黑)、(红、黑、红)、(红、黑、黑)、(黑、 红、红)、(黑、红、黑)、(黑、黑、红)、(黑、黑、黑). (Ⅱ)记“3 次摸球所得总分为 5”为事件 A.

事件 A 包含的基本事件为:(红、红、黑)、(红、黑、红)、(黑、红、 红),事件 A 包含的基本事件数为 3. 3 由(Ⅰ)可知,基本事件总数为 8,所以事件 A 的概率为 P(A)= . 8

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热点之二

简单的古典概型问题

1.计算古典概型事件的概率可分三步: ①算出基本事件的总个数 n;②求出事件 A 所包含的基本事件个数 m;③代入公式求出概率 P. 2.含有“至多”“至少”等类型的概率问题,从正面突破比较困 难或者比较繁琐时,可考虑其反面,即对立事件,然后应用对立事件的 性质 P(A)=1-P( A )进一步求解.

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[例2]

袋中装有6个球,其中4个白球,2个红球,从袋中任意

取出2球,求下列事件的概率: (1)A:取出的2球都是白球; (2)B:取出的2球1个是白球,另1个是红球. [课堂记录] (1)设4个白球的编号为1、2、3、4,2个红球的编

号 为 5 、 6. 从 袋 中 的 6 个 小 球 中 任 取 2 个 , 其 基 本 事 件 空 间 Ω =
{(1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,5) , (1,6) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (2,6) , (3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)}共15个基本事件.

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从中 袋的 即从 是 4( )1 ,

6 个球 任 小中取

2 个所的 ,取

2 球是球 方总, 全白 的 法 数 6种 , 即 A={ 2( )1 , , 3( )1 , ,

4 个 球任 白中取 ,( 4 )2 , ,( }3 4 ),

2 个 方总 , 的 法数 有 共 ,

,( 3 )2 ,

6 2 所 P(A)=1 =5. 以 5 2 从中 ) 袋的 ( 球,则 B={ 5( )1 , 个 本件 基 事. 8 所 P(B)=1 . 以 5 6 个球任 小 中取 ,( 6 )1 , ,( 5 )2 , 2个中 , 其 ,( 6 )2 , ,( 5 )3 , 1 个红, 是球 另 而 ,( 6 )3 , ,( 5),( 4 , }4 6 ), 1 个白 是 共 8

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即时训练

(2010·辽宁高考)三张卡片上分别写上字母E,E,

B,将三张卡片随机地排成一行,恰好排成英文单词BEE的概率为
________.
解析: 基本事件总数为 6,满足

2 1 要求的基本事件个数为 2,所以所求的概率是 P=6=3.

1 答案:3

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热点之三

较复杂的古典概型问题

求复杂事件的概率问题,关键是理解题目的实际含义,必
要时将所求事件化为彼此互斥事件的和,或者是先去求对立事件

的概率,进而再用互斥事件概率加法公式或对立事件的概率公式
求出所求事件的概率.

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[例3]

现有8名世博会志愿者,其中志愿者A1、A2、A3通晓日

语,B1、B2、B3通晓俄语,C1、C2通晓韩语.从中选出通晓日语、
俄语和韩语的志愿者各1名,组成一个小组.

(1)求A1被选中的概率;
(2)求B1和C1不全被选中的概率.

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[课 记 堂录 1 名 方数 的 法是 =6 种用 .

] (公法 1) 式 ) (

从 8 人选 日、语 韩志 者 中出语 俄和 语愿各 m=C31C21

n=C31C31C21=1 种 1 恰 选 的法 是 8 ,A 被 中方 数 M 表 “A1 恰 选 示 被中 ”这事 , 一件 6 1 P(M)=1 =3. 8

2 “B1 和 C1 不被 中 ) ( 全选

”包 “选 B1 不 C1”,“选 C1 不 括 选 选 A、B、C,则 A、

B1”,“B1 和 C1 都 选 ”这 个件分 记事 不 三事 ,别作件 B、C 彼 互,有 此斥 且

C31 1 C31C21 1 P(A)=C 1C 1C 1=6,P(B)=C 1C 1C 1=3,P(C) 3 3 2 3 3 2 P(N)=P(A+B+C)=P(A)

C31C21 1 =C 1C 1C 1=3,用 N 表 这事,以 示一件所 有 3 3 2 5 +P(B)+P(C)=6.

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即时训练

在某地的奥运火炬传递活动中,有编号为 1,2,3,?,

18 的 18 名火炬手.若从中任选 3 人,则选出的火炬手的编号能组成以 3 为公差的等差数列的概率为( 1 1 A. B. 51 68 1 1 C. D. 306 408 )

解析:古典概型问题,基本事件总数为C183=17×16×3.
选 出 火 矩 手 编 号 为 an = a1 + 3(n - 1) , a1 = 1 时 , 由 1,4,7,10,13,16可得4种选法;

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a1 = 2 时 , 由 2,5,8,11,14,17 可 得 4 种 选 法 ; a1 = 3 时 , 由

3,6,9,12,15,18可得4种选法.

4+4+4 1 P= = . 17×16×3 68

答案:B

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从近两年的高考试题来看,古典概型是考查的热点,可在选 择题、填空题中单独考查,也可在解答题中与统计一起考查,属 容易题,以考查基本概念为主,同时注重运算能力与逻辑推理能

力.

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[例 4] 2 0 1 · ( 中 意两 点成线乙 任 选 个 连 直,

安高 徽考

)考 正体 查方 也这 从

6 个的心甲这 面 中, 从 6 个中意两 点成线 点 任选 个 连 直 , ( )

6 个点

则 得两 直相平但 重的率 于 所 的 条 线 互行 不 合 概 等 1 A. B . 75 2 75 3 C. D . 75 4 75

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[解析]

甲从正方体 6 个面的中心中取两个点有 C62 种方法,乙从

这 6 个点中取两个点有 C62 种方法,故事件总数为 C62C62=15×15(种). 如右图四边形 BCDE、CFEA、ABFD 均为平行四边形.甲从 BC 与 DE, 与 CD 中选一个有 C21 种方法(若甲选 BC, BE 则乙只能选 DE.而乙 也可能选 BC,此时甲选 DE),共有 3C21C21 种选法.故 3×4 4 P= =75. 15×15

[答案]

D

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1.(2010·江苏高考)盒子中共有大小相同的3只白球,1只黑

球,若从中随机摸出两只球,则它们颜色不同的概率是
________.

解析:基本事件总数为 6 种情况,其中颜色不同共有 3 种情况,所 3 1 以所求概率为6=2.

1 答案:2

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2.(2009·江苏高考)现有5根竹竿,它们的长度(单位:m)分
别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,若从中一次随机抽取2根竹竿,则它们的长

度恰好相差0.3 m的概率为________.

解析:从 5 根竹竿中任取 2 根,共包含 10 个基本事件. 其中,长度相差 0.3 m 的两根是(2.5,2.8),(2.6,2.9),共 2 个基本事 2 1 件,故 P= = . 10 5

1 答案:5

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