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北京市2014届高三理科数学一轮复习试题选编14:数列的综合问题(学生版) Word


北京市 2014 届高三理科数学一轮复习试题选编 14:数列的综合问题
一、选择题 1 . (2013 北京海淀二模数学理科试题及答案)若数列 {an } 满足:存在正整数 T ,对于任意正整数 n 都有 an ?T ? an 成

?an ? 1, an ? 1, ? 立,则称数列 {an } 为周期数列,周期为 T . 已知数列 {an } 满足 a1 ? m (m ? 0) , an ?1 = ? 1 0 ? an ? 1. ?a , ? n
则下列结论中错误的是 .. A.若 a3 ? 4 ,则 m 可以取 3 个不同的值 C. ?T ? N 且 T ? 2 ,存在 m ? 1 , {an } 是周期为 T 的数列
*





B.若 m ? 2 ,则数列 {an } 是周期为 3 的数列 D. ?m ? Q 且 m ? 2 ,数列 {an } 是周期数列

2 . (2013 北京昌平二模数学理科试题及答案) 设等比数列 {an } 的公比为 q ,其前 n 项的积为 Tn ,并且满足条件

a1 ? 1 , a99a100 ?1 ? 0 ,
① 0 ? q ? 1;

a99 ? 1 ? 0 .给出下列结论: a100 ? 1 ② a99 ? a101 ? 1 ? 0 ;

③ T100 的值是 Tn 中最大的; 其中正确的结论是 D.②④ ( )

④ 使 Tn ? 1 成立的最大自然数 n 等于 198. A.①③
二、填空题

B.①④

C.②③

3 . 2013 届北京市延庆县一模数学理) ( 以下是面点师一个工作环节的数学模型: 如图, 在数轴上截取与闭区间 [0,4]

对应的线段,对折后(坐标 4 所对应的点与原点重合)再均匀地拉成 4 个单位长度的线段,这一过程称为一 次操作 (例如在第一次操作完成后, 原来的坐标 1、 变成 2, 3 原来的坐标 2 变成 4, 等等) .那么原闭区间 [0,4] 上(除两个端点外)的点,在第 n 次操作完成后 (n ? 1) ,恰好被拉到与 4 重合的点所对应的坐标为 f (n) , 则 f (3) ? ; f (n) ? .

0

2

4

(3 题图)

4 . (北京市丰台区 2013 届高三上学期期末考试 数学理试题

)右表给出一

个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列,从第三行起,每一行数 成等比数列,而且每一行的公比都相等,记第 i 行第 j 列的数为 aij ( i ? j , i, j ? N ) ,则 a53 等于
*

, amn ? ______(m ? 3) .

5 . (北京市石景山区 2013 届高三一模数学理试题)对于各数互不相等的整数数组( i1 , i2 , i3 ,? ? ?, in )( n 是不小于 3

?? 的正整数),若对任意的 p, q ∈{ 1,2,3, ? ,n },当 p ? q 时有 i p ? iq ,则称 i p , iq 是该数组的一个“逆序”.一
个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”,如数组(2,3,1)的逆序数等于 2.则数组(5,2,4,3,1) 的逆序数等于________;若数组( i1 , i2 , i3 ,? ? ?, in )的逆序数为 n ,则数组( in , in?1 , i1 )的逆序数为___________.

6 . (2013 朝阳二模数学理科)数列 {2

n

? 1} 的前 n 项 1,3,7,?, 2n ?1 组成集合 An ? {1,3,7,?, 2n ?1}(n ?N? ) ,

从集合 An 中任取 k (k ? 1, 2, 3,? ,n )个数,其所有可能的 k 个数的乘积的和为 Tk (若只取一个数,规定乘积 为 此 数 本 身 ), 记 Sn ? T1 ? T2 ? ? ? Tn . 例 如 当 n ? 1 时 , A ? {1} , T1 ? 1 , S1 ? 1 ; 当 n ? 2 1 时, A2 ? {1,3} , T1 ? 1 ? 3 , T2 ? 1? 3 , S2 ? 1 ? 3 ? 1? 3 ? 7 .则当 n ? 3 时, S3 ? ______;试写出 Sn ? ______.
7 . 2013 届西城区一模理科) ( 记实数 x1 , x2 ,?, xn 中的最大数为 max{x1 , x2 ,?, xn } , 最小数为 min{x1 , x2 ,?, xn } .

设 △ ABC 的 三 边 边 长 分 别 为 a, b, c , 且 a ? b ? c , 定 义 △ ABC 的 倾 斜 度 为

a b c t?m a x { , ? , b c a

a b c } m, i }n. { b c a

,
(ⅱ)设 a ? 1 ,则 t 的取值范围是______.

(ⅰ)若△ ABC 为等腰三角形,则 t ? ______;

8 (海淀区北师特学校 13 届高三第四次月考理科) . 对任意 x ? R , 函数 f ( x) 满足 f ( x ? 1) ?

f ( x) ? [ f ( x)]2 ?

1 , 2

设 an ? [ f (n)]2 ? f (n) ,数列 {an } 的前 15 项的和为 ?

31 ,则 f (15) ? 16



9 . (北京市东城区 2013 届高三上学期期末考试数学理科试题)定义映射 f : A ? B ,其中 A ? {(m, n)

m, n ?R},

B ? R ,已知对所有的有序正整数对 (m, n) 满足下述条件:
① f (m,1) ? 1;②若 n ? m , f (m, n) ? 0 ;③ f (m ? 1, n) ? n[ f (m, n) ? f (m, n ?1)] , 则 f (2, 2) ? , f (n, 2) ? .
an ? 2 an ?1 ? ? t ( t 为常数),则称数列 an ?1 an

10. (2013 北京东城高三二模数学理科)在数列 {an } 中,若对任意的 n ? N* ,都有

{an } 为比等差数列, t 称为比公差.现给出以下命题:

①等比数列一定是比等差数列,等差数列不一定是比等差数列; ②若数列 {an } 满足 an ?

2n?1 1 ,则数列 {an } 是比等差数列,且比公差 t ? ; 2 n2

③若数列 {cn } 满足 c1 ? 1 , c2 ? 1 , cn ? cn ?1 ? cn ? 2 ( n ? 3 ),则该数列不是比等差数列; ④若 {an } 是等差数列, {bn } 是等比数列,则数列 {an bn } 是比等差数列. 其中所有真命题的序号是 .

11. (北京市朝阳区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 )将整数 1, 2,3,?, 25 填入如图所示的 5 行 5 列的表格

中,使每一行的数字从左到右都成递增数列,则第三列各数之和的最小值 为 ,最大值为 .

12.2013 北京房山二模数学理科试题及答案) ( 在数列 {an } 中,如果对任意的 n ? N* ,都 有

an ? 2 an ?1 ? ? ? ( ? 为常数), an ?1 an

则称数列 {an } 为比等差数列, ? 称为比公差.现给出以下命题: ①若数列 {Fn } 满足 F1 = 1,F2 = 1,Fn ? Fn?1 ? Fn ?2 (n ? 3) ,则该数列不是比等差数列 ; ②若数列 {an } 满足 an ? 3 ? 2
n?1

,则数列 {an } 是比等差数列,且比公差 ? ? 0 ;

③等比数列一定是比等差数列,等差数列一定不是比等差数列; ④若 {an } 是等差数列, {bn } 是等比数列,则数列 {anbn } 是比等差数列. 其中所有真命题的序号是____ .
三、解答题 13. (海淀区 2013 届高三上学期期中练习数学(理) 已知数集 A ? {a1 , a2 , )

, an } (1 ? a1 ? a2 ? ? an , n ? 2) 具有性

质 P:对任意的 k (2 ? k ? n) ,?i, j (1 ? i ? j ? n) ,使得 ak ? ai ? a j 成立. (Ⅰ)分别判断数集 {1, 3, 4} 与 {1, 2, 3, 6} 是否具有性质 P, 并说明理由; (Ⅱ)求证:an ? 2a1 ? a2 ? ?an?1 (n ? 2) ; (Ⅲ)若 an ? 72 ,求数集 A 中所有元素的和的最小值.

14. (2013 届北京海滨一模理科) 设 A( x A , y A ), B( xB , yB ) 为平面直角坐标系上的两点,其中 x A , y A , xB , yB ? Z .令

?x ? xB ? x A , y ? yB ? y A , ?x + ?y= ? 若 3

B ,且 | ?x | ? | ?y |? 0 , 则称点 B 为点 A 的 “相关点” 记作: ? ? ( A) . ,

P 已知 P0 ( x0 , y0 ) ( x0 , y0 ? Z) 为平面上一个定点, 平面上点列 {Pi } 满足: i ? ? ( P?1 ) , 且点 Pi 的坐标为 ( xi , yi ) , i
其中 i ? 1,2,3,..., n . (Ⅰ)请问:点 P0 的“相关点”有几个?判断这些“相关点”是否在同一个圆上,若在同一个圆上,写出 圆的方程;若不在同一个圆上,说明理由; (Ⅱ)求证:若 P0 与 Pn 重合, n 一定为偶数; (Ⅲ)若 P0 (1,0) ,且 yn ? 100 ,记 T ? ? xi ,求 T 的最大值.
i ?0 n

15. (西城区 2013 届高三上学期期末考试数学理科)如图,设 A 是由 n ? n 个实数组成的 n 行 n 列的数表,其中

aij (i, j ? 1, 2,3,?, n) 表示位于第 i 行第 j 列的实数,且 aij ?{1, ?1} .记 S ( n, n ) 为所有这样的数表构成的集
合 . 对 于 A ? S( n n), 记 ri ( A) 为 A 的 第 i 行 各 数 之 积 , c j ( A) 为 A 的 第 j 列 各 数 之 积 . 令 ,

l ( A) ? ? ri ( A) ? ? c j ( A) .
i ?1 j ?1

n

n

(Ⅰ)请写出一个 A ? S ( 4, 4) ,使得 l ( A) ? 0 ; (Ⅱ)是否存在 A ? S (9, 9) ,使得 l ( A) ? 0 ?说明理由; (Ⅲ)给定正整数 n ,对于所有的 A ? S ( n, n ) ,求 l ( A) 的取值集合.

16. (2011 年高考(北京理) )

若数列 An : a1 , a2 ,?an (n ? 2) 满足 | ak ?1 ? ak |? 1(k ? 1,2,?, n ? 1) ,则称 An 为 E 数列.记 S ( An ) ? a1 ? a2 ? ? ? an (Ⅰ)写出一个满足 a1 ? a5 ? 0 ,且 S ( A5 ) ? 0 的 E 数列 A5 ; (Ⅱ)若 a1 ? 12, n ? 2000 ,证明: E 数列 An 是递增数列的充要条件是 an ? 2011 ; (Ⅲ)对任意给定的整数 n(n ? 2) ,是否存在首项为 0 的 E 数列 An ,使得 S ( An ) ? 0 ?如果存在,写出一个满足条 件的 E 数列 An ;如果不存在,说明理由.

17. (2013 丰台二模数学理科)已知等差数列 ?an ? 的通项公式为 a n ? 3n ? 2 ,等比数列 ?bn ? 中, b1 ? a1 , b4 ? a3 ? 1 .

记集合 A ? x x ? an , n? N * , B ? x x ? bn , n ? N * , U ? A ? B ,把集合 U 中的元素按从小到大依次 排列,构成数列 ?cn ? . (Ⅰ)求数列 ?bn ? 的通项公式,并写出数列

?

?

?

?

?cn ? 的前 4 项;

(Ⅱ)把集合 CU A 中的元素从小到大依次排列构成数列 ?dn ? ,求数列 ?dn ? 的通项公式,并说明理由; (Ⅲ)求数列

?cn ? 的前 n 项和 S .
n

18. (北京市朝阳区 2013 届高三第一次综合练习理科数学)设 ?

? ( x1 , x2 ,?, x10 ) 是数1, 2,3, 4,5,6,7,8,9,10 的任意

一个全排列,定义 S (? ) ?

?| 2x
k ?1

10

k

? 3xk ?1 | ,其中 x11 ? x1 .

(Ⅰ)若 ? ? (10,9,8,7,6,5, 4,3, 2,1) ,求 S (? ) 的值; (Ⅱ)求 S (? ) 的最大值; (Ⅲ)求使 S (? ) 达到最大值的所有排列 ? 的个数.

19. (顺义 13 届高三第一次统练理科)已知数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ,且点 ?n, S n ? 在函数 y

? 2 x ?1 ? 2 的图像上.

(I)求数列 ?a n ? 的通项公式; (II)设数列 ?bn ?满足: b1 ? 0, bn ?1 ? bn ? a n ?n ? N *? ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和公式; (III)在第(II)问的条件下,若对于任意的 n ? N * 不等式 bn ? ?bn ?1 恒成立,求实数 ? 的取值范围

20. (丰台区 2013 届高三上学期期末理

)已知曲线 C : y 2 ? 2 x( y ? 0) , A1 ( x1 , y1 ), A2 ( x2 , y2 ), ???, An ( xn , yn ), ??? 是曲线

C 上的点,且满足 0 ? x1 ? x2 ? ??? ? xn ? ??? ,一列点 Bi (ai ,0)(i ? 1, 2, ???) 在 x 轴上,且 ?Bi ?1 Ai Bi ( B0 是坐标原点) 是以 Ai 为直角顶点的等腰直角三角形. (Ⅰ)求 A1 、 B1 的坐标; (Ⅱ)求数列 { yn } 的通项公式;
? yi

1 (Ⅲ)令 bi ? , ci ? ai

? 2?
2

,是否存在正整数 N,当 n≥N 时,都有

? bi ? ? ci ,若存在,求出 N 的最
i ?1 i ?1

n

n

小值并证明;若不存在,说明理由.

21. (海淀区 2013 届高三上学期期末理科)已知函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) ,若 y ?

f ( x) 在 (0, ??) 上为增函数, x

则称 f ( x ) 为“一阶比增函数” ;若 y ?

f ( x) 在 (0, ??) 上为增函数,则称 f ( x ) 为“二阶比增函数”.我们把 x2

所有“一阶比增函数”组成的集合记为 ?1 ,所有“二阶比增函数”组成的集合记为 ? 2 . (Ⅰ)已知函数 f ( x) ? x ? 2hx ? hx ,若 f ( x) ??1 , 且 f ( x) ??2 ,求实数 h 的取值范围;
3 2

(Ⅱ)已知 0 ? a ? b ? c , f ( x) ??1 且 f ( x ) 的部分函数值由下表给出,

x
f ( x)
求证: d (2d ? t ? 4) ? 0 ;

a
d

b
d

c

a?b?c
4

t

(Ⅲ)定义集合 ? ? f ( x) | f ( x) ??2 , 且存在常数k , 使得任取x ? (0, ??),f ( x) ? k , 请问:是否存在

?

?

常数 M ,使得 ?f ( x) ? ? , ?x ? (0, ??) ,有 f ( x ) ? M 成立?若存在,求出 M 的最小值;若不 存在,说明理由.

22. (石景山区 2013 届高三上学期期末理)定义:如果数列 {an } 的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长,

则称 {an } 为“三角形”数列.对于“三角形”数列 {an } ,如果函数 y ? f ( x) 使得 bn ? f (an ) 仍为一个“三 角形”数列,则称 y ? f ( x) 是数列 {an } 的“保三角形函数” (n ? N *) . (Ⅰ)已知 {an } 是首项为 2 ,公差为 1 的等差数列,若 f ( x) ? k x (k ? 1) 是数列 {an } 的“保三角形函数” ,求 k 的 取值范围; (Ⅱ)已知数列 {cn } 的首项为 2013 , Sn 是数列 {cn } 的前 n 项和,且满足 4Sn +1 ? 3Sn ? 8052 ,证明 {cn } 是“三 角形”数列; (Ⅲ)若 g ( x) ? lg x 是(Ⅱ)中数列 {cn } 的“保三角形函数” ,问数列 {cn } 最多有多少项? (解题中可用以下数据 : lg 2 ? 0.301,

lg3 ? 0.477, lg2013 ? 3.304 )

23. (朝阳区2013届高三上学期期中考试 (理) 给定一个 n 项的实数列 a1 , a2 ,?, an (n ? N )

?

) ,任意选取一 个实数 c ,

变换 T (c) 将数列 a1 , a2 ,?, an 变换为数列 | a1 ? c |,| a2 ? c |,?,| an ? c | ,再将得到的数列继续实施这样的变 换,这样的变换可以连续进行多次,并且每次所选择的实数 c 可以不相同,第 k (k ? N ) 次变换记为 Tk (ck ) , 其 中 ck 为 第 k 次 变 换 时 选 择 的 实 数 . 如 果 通 过 k 次 变 换 后 , 数 列 中 的 各 项 均 为 0 , 则 称 T1 (c1 ) ,
?

T2 (c2 ) ,, Tk (ck ) 为 “ k 次归零变换”.
(Ⅰ)对数列:1,3,5,7,给出 一个 “ k 次归零变换”,其中 k ? 4 ; (Ⅱ)证明:对任意 n 项数列,都存在“ n 次归零变换”; (Ⅲ)对于数列 1, 2 ,3 ,?, n ,是否存在“ n ? 1 次归零变换”?请说明理由.
2 3 n

24. (2013 届丰台区一模理科)设满足以下两个条件的有穷数列 a1 , a2 , ???, an 为 n(n=2,3,4,?,)阶“期待数列” :

① a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? 0 ;② a1 ? a2 ? a3 ? ?? an ? 1. (Ⅰ)分别写出一个单调递增的 3 阶和 4 阶“期待数列” ; (Ⅱ)若某 2k+1( k ? N * )阶“期待数列”是等差数列,求该数列的通项公式; (Ⅲ)记 n 阶“期待数列”的前 k 项和为 Sk (k ? 1, 2,3,?, n) , 试证: (1) S k ? 1 ;
2
n (2) ? ai ? 1 ? 1 . 2 2n i ?1 i

25. (2013 北京昌平二模数学理科试题及答案)本小题满分 14 分)
* 设数列 {an } 对任意 n ? N 都有 (kn ? b)(a1 ? an ) ? p ? 2(a1 ? a2 ? ? an ) (其中 k 、 b 、 p 是常数) .

(I)当 k ? 0 , b ? 3 , p ? ?4 时,求 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ; (II)当 k ? 1 , b ? 0 , p ? 0 时,若 a3 ? 3 , a9 ? 15 ,求数列 {an } 的通项公式; (III) 若 数 列 ?an ? 中 任 意 ( 不 同 ) 两 项 之 和 仍 是 该 数 列 中 的 一 项 , 则 称 该 数 列 是 “ 封 闭 数 列 ”. 当

k ? 1 , b ? 0 , p ? 0 时,设 Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项和, a2 ? a1 ? 2 ,试问:是否存在这样的“封闭数列”

?an ? ,使得对任意 n ? N* ,都有 Sn ? 0 ,且
a1 的所有取值;若不存在,说明理由.

1 1 1 1 1 11 ? ? ? ??? ? .若存在,求数列 ?an ? 的首项 12 S1 S2 S3 Sn 18

26. (昌平区 2013 届高三上学期期末理)已知每项均是正整数的数列 a1, a2 , a3 ,?, a100 ,其中等于 i 的项有 k i 个

(i ? 1, 2,3?) ,设 b j ? k1 ? k 2 ? ? ? k j ( j ? 1,2,3?) , g (m) ? b1 ? b2 ? ?? bm ?100m ( m ? 1, 2,3?).

(Ⅰ)设数列 k1 ? 40, k2 ? 30, k3 ? 20, k4 ? 10, k5 ? ... ? k100 ? 0 ,求 g (1), g (2), g (3), g (4) ; (Ⅱ)若 a1, a2 , a3 ,?, a100 中最大的项为 50, 比较 g (m), g (m ? 1) 的大小; (Ⅲ)若 a1 ? a2 ? ? ? a100 ? 200 ,求函数 g (m) 的最小值.

27 . 2013 北 京 朝 阳 二 模 数 学 理 科 试 题 ) 已 知 实 数 (

x1 , x2 ,?, xn ( n ? 2 ) 满 足 | xi |? 1( ? 1, 2,? n ,, 记 i 3, )

S ( x1 , x2 ,?, xn ) ?

1?i ? j ?n

?

xi x j .
(Ⅱ)当 n ? 3 时,求 S ( x1 , x2 , x3 ) 的最小值;

(Ⅰ)求 S ( ?1,1, ? ) 及 S (1,1, ?1, ?1) 的值; (Ⅲ)求 S ( x1 , x2 ,?, xn ) 的最小值. 注:

2 3

1?i ? j ? n

?

xi x j 表示 x1 , x2 ,?, xn 中任意两个数 xi , x j ( 1 ? i ?

j ? n )的乘积之和.

28. (北京四中 2013 届高三上学期期中测验数学(理))已知 A (

,

), B (

, .

)是函

数的图象上的任意两点(可以重合),点 M 在直线 x ? (1)求 + 的值及 + 的值 (2)已知 ,当

1 上,且 2
时, +

+

+

,求

;

(3)在(2)的条件下,设 求 和 的值.

=

,

为数列{

}的前 项和,若存在正整数 、

,使得不等式

成立,

29. (2013 北京海淀二模数学理科试题及答案)(本小题满分 13 分)

设 A 是由 m ? n 个实数组成的 m 行 n 列的数表,如果某一行(或某一列)各数之和为负数,则改变该行(或该列) 中所有数的符号,称为一次“操作”. (Ⅰ) 数表 A 如表 1 所示,若经过两次“操作”,使得到的数表每行的 各数之和与每列的各数之和均为非负实数,请写出每次“操作”后所 得的数表(写出一种方法即可);表 1 (Ⅱ) 数表 A 如表 2 所示,若必须经过两次“操作”,才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均 为非负整数,求整数 a 的所有可能值; .. (Ⅲ)对由 m ? n 个实数组成的 m 行 n 列的任意一个数表 A ,能否经过有限次 1 2 1 3 0

?7
1

?2

a a 2 ? 1 ?a ?a 2 2 ? a 1 ? a2 a ? 2 a2

“操作”以后,使得到的数表每行的各数之 表 2 和与每列的各数之和均为非负整数?请说明理由.

30. (2013 北京房山二模数学理科试题) m ? 3 ,对于项数为 m 的有穷数列 设

?an ? ,令 bk 为 a1 , a2 ,?, ak

(k ? m) 中

的最大值,称数列 ?bn ? 为 ?an ? 的“创新数列”.例如数列 3,5,4,7 的创新数列为 3,5,5,7.考查自然数

1, 2 ,?, m (m ? 3) 的所有排列,将每种排列都视为一个有穷数列 ?cn ? .
(Ⅰ)若 m ? 5 ,写出创新数列为 3,5,5,5,5 的所有数列 ?cn ? ; (Ⅱ)是否存在数列 ?cn ? 的创新数列为等比数列?若存在,求出符合条件的创新数列;若不存在,请说明理由; (Ⅲ)是否存在数列 ?cn ? ,使它的创新数列为等差数列?若存在,求出所有符合条件的数列 ?cn ? 的个数;若不存 在,请说明理由.

31. (东城区 2013 届高三上学期期末考试数学理科)已知实数组成的数组 ( x1 , x2 , x3 ,?, xn ) 满足条件:



?x
i ?1

n

i

? 0;



?x
i ?1

n

i

?1.
(Ⅱ)当 n ? 3 时,求证: 3x1 ? 2x2 ? x3 ? 1 ;

(Ⅰ) 当 n ? 2 时,求 x1 , x2 的值;

(Ⅲ)设 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ,且 a1 ? an (n ? 2) ,求证:

?a x
i ?1

n

i i

1 ? (a1 ? an ) . 2

32. (东城区普通校 2013 届高三 3 月联考数学(理)试题 )设 a1 , a2 ,? a20 是首项为 1,公比为 2 的等比数列,

对于满足 0 ? k ? 19 的整数 k , 数列 b1 ,b2 , b20 由 ? ? (Ⅰ)当 k ? 1 时,求 M 的值;

?an ? k ,当1 ? n ? 20 ? k时 ?an ? k ? 20 ,当20 - k ? n ? 20时

确定。 M ? 记

?a b
n ?1

20

n n

(Ⅱ)求 M 的最小值及相应的 k 的值

33. (2013 西城二模)已知集合 Sn

? {( x1, x2 ,?, xn ) | x1, x2 ,?, xn 是正整数 1, 2,3,?, n 的一个排列 } (n ? 2) ,函数

?1, x ? 0, 对于 (a1 , a2 ,…an ) ? Sn , 定义: g ( x) ? ? ??1, x ? 0.
b1 ? 0 ,称 bi 为 ai 的满意指数.排列 b1 , b2 ,?, bn 为排列 a1 , a2 ,?, an 的生成列;排列 a1 , a2 ,…an 为
排列 b1 , b2 ,?, bn 的母列. (Ⅰ)当 n ? 6 时,写出排列 3,5,1, 4,6, 2 的生成列及排列 0, ?1, 2, ?3, 4,3 的母列;

? ? ? (Ⅱ)证明:若 a1 , a2 ,?, an 和 a1 , a2 ,?, an 为 Sn 中两个不同排列,则它们的生成列也不同;
(Ⅲ)对于 Sn 中的排列 a1 , a2 ,?, an ,定义变换 ? :将排列 a1 , a2 ,?, an 从左至右第一个满意指数为负数的项调至首 项,其它各项顺序不变,得到一个新的排列.证明:一定可以经过有限次变换 ? 将排列 a1 , a2 ,?, an 变换为各项满意 指数均为非负数的排列.

34. (2013 北京东城高三二模数学理科)已知数列 {an } , a1

? 1 , a2n ? an , a4n?1 ? 0 , a4n?1 ? 1 (n ? N*) .

(Ⅰ)求 a4 , a7 ; (Ⅲ)设 S ?

(Ⅱ)是否存在正整数 T ,使得对任意的 n ? N * ,有 an?T ? an ;

a a a1 a2 ? 2 ? 33 ? ? ? nn ? ? ,问 S 是否为有理数,说明理由. 10 10 10 10

35. (2013 北京高考数学(理) 已知 {an } 是由非负整数组成的无穷数列,该数列前 n 项的最大值记为 An ,第 n 项 )

之后各项 an ?1 , an?2 ,的最小值记为 Bn , d n ? An ? Bn (1)若 {an } 为 2,1,4,3,2,1,4,3,?, 是一个周期为 4 的数列(即对任意 n ? N , n?4 ? an ) ,写出 d1 , d 2 , d 3 , d 4 的值; a (2) 设 d 是非负整数,证明: d n ? ?d ( n ? 1,2,3 )的充分必要条件为 {an } 是公差为 d 的等差数列; (3) 证明:若 a1 ? 2 , d n ? 1 ( n ? 1,2,3 ) ,则 {an } 的项只能是 1 或者 2 ,且有无穷多项为1
?

n 36. (石景山区 2013 届高三一模数学理)给定有限单调递增数列 {xn } ( n ? N , ? 2 )且 xi

?

? 0 ( 1 ? i ? n ),定义

* 集合 A ? xi , x j 1 ? i, j ? n, 且i, j ? N .若对任意点 A1 ? A, 存在点 A2 ? A, 使得 OA1 ? OA2 ( O 为坐标原

??

?

?

点),则称数列 {xn } 具有性质 P . (I)判断数列 {xn } : ? 2,2 和数列 { yn } : ? 2,?1,1,3 是否具有性质 P ,简述理由. (II)若数列 {xn } 具有性质 P ,求证: ①数列 {xn } 中一定存在两项 xi , x j 使得 xi ? x j ? 0 ; ②若 x1 ? ?1, xn ? 0 且 xn ? 1 ,则 x2 ? 1 . (Ⅲ)若数列 {xn } 只有 2013 项且具有性质 P , x1 ? ?1, x3 ? 2 ,求 {xn } 的所有项和 S2013 .

37. (2013 届北京西城区一模理科)已知集合 Sn

? {X | X ? ( x1, x2 ,?, xn ), xi ? N* , i ? 1, 2,?, n} (n ? 2) .

对于 A ? (a1 , a2 ,?, an ) , B ? (b1 , b2 ,?, bn ) ? Sn ,定义 AB ? (b1 ? a1 , b2 ? a2 ,?, bn ? an ) ;

??? ?

? (a1, a2 ,?, an ) ? (?a1, ?a2 ,?, ?an ) (? ?R) ; A 与 B 之间的距离为 d ( A, B) ? ? | ai ? bi | .
i ?1

n

(Ⅰ)当 n ? 5 时,设 A ? (1, 2,1, 2, a5 ) , B ? (2, 4, 2,1,3) .若 d ( A, B) ? 7 ,求 a5 ; (Ⅱ) (ⅰ)证明:若 A, B, C ? Sn ,且 ?? ? 0 ,使 AB ? ? BC ,则 d ( A, B) ? d ( B, C ) ? d ( A, C ) ; (ⅱ)设 A, B, C ? Sn ,且 d ( A, B) ? d ( B, C ) ? d ( A, C ) .是否一定 ?? ? 0 ,使 AB ? ? BC ?说明理由; (Ⅲ)记 I ? (1,1,?,1) ? Sn .若 A , B ? Sn ,且 d ( I , A) ? d ( I , B) ? p ,求 d ( A, B) 的最大值.

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

38. (海淀区 2013 届高三 5 月查缺补漏数学(理) 数列 ?an ? 的各项都是正数,前 n 项和为 Sn ,且对任意 n ? N ? , )
3 3 3 3 2 都有 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? Sn .
2 (Ⅰ)求证: an ? 2Sn ? an ;

(Ⅱ)求数列 ?an ? 的通项公式.

39. 通州区 13 届高三上学期期末理科) ( 现有一组互不相同且从小到大排列的数据 a0 , a1, a2 , a3 , a4 , a5 , 其中 a0

? 0.

记 T ? a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 , xn ?

n 1 , yn ? ? a0 ? a1 ? ? ? an ? ? n ? 0,1,2,3,4,5? ,作函数 y ? f ? x ? , 5 T

使其图象为逐点依次连接点 P ? xn , yn ?? n ? 0,1,2,3,4,5? 的折线. n (Ⅰ)求 f ? 0? 和 f ?1? 的值; (Ⅱ)设直线 P ?1P 的斜率为 kn ? n ? 1,2,3,4,5? ,判断 k1, k2 , k3 , k4 , k5 的大小关系; n n (Ⅲ)证明:当 x ? ? 0,1? 时, f ? x ? ? x .

40. (朝阳区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 )将正整数 1, 2,3, 4,?, n ( n ? 2 )任意排成 n 行 n 列的数
2

表.对于某一个数表,计算各行和各列中的任意两个数 a , b ( a ? b )的比值 这个数表的“特征值”. (Ⅰ)当 n ? 2 时,试写出排成的各个数表中所有可能的不同“特征值” ;

a ,称这些比值中的最小值为 b

(Ⅱ)若 aij 表示某个 n 行 n 列数表中第 i 行第 j 列的数( 1 ? i ? n , 1 ? j ? n ) , 且满足 aij ? ?

?i ? ( j ? i ? 1)n, i ? j, 请分别写出 n ? 3, 4,5 时数表的“特征值” ,并由此归纳此类数表的 ?i ? (n ? i ? j ? 1)n,i ? j,
n ?1 . n

“特征值” (不必证明) ; (Ⅲ)对于由正整数 1, 2,3, 4,?, n 排成的 n 行 n 列的任意数表,记其“特征值”为 ? ,求证: ? ?
2

41. (2013 届北京大兴区一模理科)已知数列 {an } 的各项均为正整数,且 a1

? a2 ? ? ? an ,

设集合 Ak ? {x | x ?

? ? a ,?
i ?1 i i

n

i

? ?1,或?i ? 0,或?i ? 1} 1 ≤ k ≤ n) ( 。
k

性质 1 若对于 ?x ? Ak ,存在唯一一组 ?i ( i ? 1,2, ???,k )使 x ? ? ?i ai 成立,则称数列 {an } 为完备数列,当 k 取
i ?1

最大值时称数列 {an } 为 k 阶完备数列。

(1≤ k ≤ n) 性质 2 若记 mk ? ? ai ,且对于任意 x ≤ mk , x ? Z ,都有 x ? Ak 成立,则称数列 {an } 为完整数列,
i ?1

k

当 k 取最大值时称数列 {an } 为 k 阶完整数列。 性质 3 若数列 {an } 同时具有性质 1 及性质 2,则称此数列 {an } 为完美数列,当 k 取最大值时 {an } 称为 k 阶完美 数列; (Ⅰ)若数列 {an } 的通项公式为 an ? 2n ? 1 ,求集合 A2 ,并指出 {an } 分别为几阶完备数列,几阶完整数列, 几阶完美数列; (Ⅱ)若数列 {an } 的通项公式为 an ? 10
n?1

,求证:数列 {an } 为 n 阶完备数列,并求出集合 An 中所有元素的和

Sn 。
(Ⅲ)若数列 {an } 为 n 阶完美数列,求数列 {an } 的通项公式。

42 . 2010 年 高 考 ( 北 京 理 ) 已 知 集 合 ( )

Sn ? {X | X ? ( x1, x2 ,…,xn ), xi ?{0,1}, i ? 1, 2,…, n}(n ? 2) 对 于

A ? (a1 , a2 ,…an ,) , B ? (b1, b2 ,…bn ,) ? Sn ,定义 A 与 B 的差为 A ? B ? (| a1 ? b1 |,| a2 ? b2 |,…| an ? b n |);
A 与 B 之间的距离为 d ( A, B) ? ? | a1 ? b1 |
i ?1

(Ⅰ)证明: ?A, B, C ? Sn , 有A ? B ? Sn ,且 d ( A ? C, B ? C ) ? d ( A, B) ; (Ⅱ)证明: ?A, B, C ? Sn , d ( A, B), d ( A, C), d ( B, C) 三个数中至少有一个是偶数; (Ⅲ) 设 P ? Sn , P 中有 m ( m ≥2)个元素,记 P 中所有两元素间距离的平均值为 d ( P ), 证明: d ( P )≤

mn . 2(m ? 1)


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