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高中数学必修一知识点总结


第一章 集合与函数概念
一、集合 1.集合的含义及表示: ①?元素:一般地,我们把研究对象统称为元素。 ?集合:一般地,我们把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集) 。 列举法:把集合的元素一一列举出来,并用大括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法。 ?集合的表示方法 描述法:用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法。 图示法:在数学中,我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为 Venn 图。 自然语言。 ②元素的特性:互异性,无序性,确定性。 ③集合的分类 数集:{x|??} 有限集:含有有限个元素的集合叫做有限集。 点集:{(x,y)|??} 无限集:含有无限个元素的集合叫做无限集。 (我们把不含任何元素的集合叫做空集,记为 ? ,并规定:空集是任何集合的子集。 ) N:全体非负整数组成的集合成为非负整数集(或自然数集) 。 + N*(N ) :所有正整数组成的集合称为正整数集。 ④特殊的数集 Z:全体整数组成的集合称为整数集。 Q:全体有理数组成的集合称为有理数集。 R:全体实数组成的集合称为实数集。 2.集合间的关系及其运算: ①?子集:一般地,对于两个集合 A,B,如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素,我们就说这两个集合有 包含关系,称集合 A 为集合 B 的子集,记作 A ? B 。 ?如果集合 A ? B ,但存在元素 x ? B ,且 x ? A ,我们称集合 A 是集合 B 的真子集,记作 A ? B 。 ?如果集合 A 是集合 B 的子集( A ? B ) ,且集合 B 是集合 A 的子集( B ? A ) ,此时,集合 A 与集合 B 中的元素是 一样的,因此,集合 A 与集合 B 相等,记作 A=B。 ②?我们把含有限个元素的集合 A 叫做有限集,用 card 来表示有限集合 A 中元素的个数。 ?若 card(A)= n,则 A 的子集数为 2n,真子集数为(2n-1) ,非空真子集数为(2n-2) 。 ③?一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合,称为集合 A 与 B 的并集,记作 A∪B,即 A∪B={x|x∈A,或 x∈B}。取法:皆要但不重复。 ?性质:A∪B=B∪A , A∪ ? =A , A∪A=A ,A ? A∪B ,B ? A∪B. ④?交集:一般地,由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合,称为 A 与 B 的交集,记作 A∩B,即 A∩B={x|x∈A,且 x∈B}。取法:取公共部分。 ?性质:A∩B=B∩A,A∩ ? = ? ,A∩A=A,A∩B ? A , A∩B ? B. ⑤?补集:对于一个集合 A,由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为集合 A 相对于全集 U 的补集,简 称为集合 A 的补集,记作 CU A ,即 CU A={x|x ? U,且x ? A} 。取法:U 以内,A 以外。 ?性质: CU U = ?,CU ? ? U,CU (CU A) ? A,A 摩根律: (CU A)

?

(CU A) ? U, A (CU A) ? ?

(CU B) ? CU (A B),(CU A) (CU B) ? CU (A B)
B)

⑥ card(AUB)=card(A)+card(B)-card(A 二、函数及其表示

1.函数定义:一般地,我们有:设 A,B 是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系 f ,使对于集合 A 中的任意一

个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f ( x ) 和它对应,那么就称 f : A ? B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数,记作

y ? f ( x), x ? A 。其中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函
数值的集合 { f ( x) | x ? A} 叫做函数的值域。 2.函数的三要素:定义域,值域,对应关系。 3.函数的表示方法:解析法,图像法,列表法。 4.函数解析式的求证: 零点式: y ? a( x ? x1 )( x ? x2 ) ① 待定系数法 注意:二次函数解析式的设法 顶点式: y ? a( x ? h)2 ? k 一般式: y ? ax2 ? bx ? c ② 换元法 5.定义域求法:①给出优先;②令函数解析式有意义;③根据实际问题。 6.函数值域的求法:①观察法;②配方法;③换元法;④根据单调性;⑤方程法(根据判别式) ;⑥分离常数法⑦数形 结合(图像法) ;⑧复合函数求值法。 7.分段函数:根据自变量的不同取值范围,将函数分别用不同的形式表示出来,这种函数叫做分段函数。 注意:分段函数是一个函数而不是几个函数。 8.区间:设 a , b 是两个实数,而且 a ? b ,我们规定: ①满足不等式 a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做闭区间,表示为 ? a, b? ; ②满足不等式 a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做开区间,表示为 ? a, b ? ; ③满足不等式 a ? x ? b 或 a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做半开半闭区间,分别表示为 ? a, b ? , ? a, b? 。 这里的实数 a , b 都叫做相应区间的端点。 注意:实数集 R 可以用区间表示为 ? ??, ??? , “ ? ”读作“无穷大” , “ ?? ”读作“负无穷大” , “ ?? ”读作“正无 穷大” 。我们把满足 x ? a, x ? a, x ? b, x ? b 的实数 x 的集合分别表示为 ?a, ??? , ? a, ??? , ?b, ???, ?b, ??? 。 9.映射:一般地,我们有:设 A,B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系 f ,使对于集合 A 中的任意一个 元素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应,那么就称 f : A ? B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。 注意:①定义中的关键词“任意” 、 “唯一” ;②集合 A 中的元素可以多对一,不能一对多;③集合 A 中的元素必有象, B 中元素可以没原象;④映射 f : A ? B 与 f : B ? A 一般是不同的;⑤联系:函数是映射的特殊情况,映射是函数 的推广。 规定:若 f 是从 A 到 B 的映射,那么与 A 中元素 a 对应的 B 中的元素 b 叫做 a 的象, a 叫做 b 的原象。A 中元素在 B 中必有象,且有唯一象;B 中元素不一定有原象。

规律:设 A 中有 m 个元素,B 中有 n 个元素,则从 A 到 B 可以构成 nm 个映射。 三、函数的基本性质 1.单调性:一般地,设函数 f ( x ) 的定义域为 I:①增函数:如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值

x1 , x2 ,当 x1 ? x2 时,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,那么就说函数 f ( x) 在区间 D 上时增函数。②如果对于定义域 I 内某个区
间 D 上的任意两个自变量的值 x1 , x2 ,当 x1 ? x2 时,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,那么就说函数 f ( x ) 在区间 D 上时减函数。 2.判断函数单调性的方法:①图像法;②直接法;③定义法。 3.求函数单调性的步骤:①取值;②作差;③判断符号;④得出结论。 (注意:求单调区间时应先求定义域。 ) 4.复合函数单调性:同增异减。 5.奇偶性:①一般地,对于函数 f ( x ) 的定义域内任意一个 x,都有 f (? x) ? f ( x) ,那么函数 f ( x ) 就叫做偶函数。 ②一般地,如果对于函数 f ( x ) 的定义域内任意一个 x,都有 f (? x) ? ? f ( x) ,那么函数 f ( x ) 就叫做奇函数。 6.复合函数奇偶性:全奇则奇,全偶则偶。 7.证明函数奇偶性的步骤:①求函数定义域;②求 f (? x) 的值;③比较 f (? x) 与 ? f ( x) 的关系;④得出结论。 8.在奇函数中, f (0) ? 0 或没有意义。 9.奇函数图像关于原点对称,偶函数图像关于 y 轴对称。 10.奇函数在对称区间上是有相同的单调性,相反的最值;偶函数在对称区间上是有相反的单调性,相同的最值。 11.对称性:

f (a ? x) ? f (a ? x) ? 关于直线 x=a 对称; f (a ? x) ? f (b ? x) ? 关于直线 x =

a?b 对称。 2

? a?b ? f ( a? x ) ? ? f( a? x ) ? 关于点 ? a, 0 ? 对称; f (a ? x) ? ? f (b ? x) ? 关于点 ? , 0 ? 对称。 ? 2 ?
12.周期性:

f ( x? T)?

13.平移规则:

f( x ) 周期为 T

f ( x? T) ? ? f( x ) 周期为 2T

x? x?h x ? x?h

左加 右减 上加 下减

y ? f ( x ) ? y ? f ( x) ? k y ? f ( x) ? y ? f ( x) ? k

f (x ? T ) ?

a ( a 为常数,且 a ? 0 ) 周期为 2T f ( x)

第二章 基本初等函数(Ⅰ)
指数与指数幂的运算
1.一般地,如果 x ? a ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根,其
n

a 为负数
②n 为偶数:负数没有偶次方根。 ①n 为奇数: a 的 n 次方根有一个。记作 n a .

中 n>1 ,且 n ? N . 2. ①n 为奇数: a 的 n 次方根有一个。记作 a .
n

?

a 为正数
②n 为偶数:a 的 n 次方根有两个。 记作 ? 0 的 n 次方根为 0.记作 n 0 =0.
n

a.

3.根式的性质:①

? a?
n

n

=a

②? n 为奇数时, n an = a

a, a ? 0
? n 为偶数时, n a n ?| a |?

后看到的图像底数最大。 4.注意:①指数函数只能为一个自变量的形式; ②底数必须大于零且不等于一; ③幂的系数只能为一。 5.规定 a>0,且 a≠1 的原因: ①当 a<0 时,如 a=-2,x=1/2 时,则该式无意义; ②当 a=0 时,0x 中当 x≤0 时,该式无意义; ③当 a=1 时,1x=1 没有研究价值。

? a, a ? 0
4.①正数的正分数指数幂的意义:
m n

对数与对数的运算
1. 一般地,如果 ax=N(a>0,且 a≠1) ,那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作:logaN,其中 a 叫做对数的底 数,N 叫做真数。 2. 通常我们将以 10 为底的对数叫做常用对数,并把 log10N 记 为 lg N. 在 科 学 技 术 中 常 使 用 以 无 理 数 e=2.71828 为底的对数,以 e 为底的对数称为自然对 数,并且把 logeN 记为 ln N. 3. ①零和负数没有对数。 对数的性质 ②loga1=0 ③logaa=1 4. 对数与指数间的关系: 当 a>0,a≠1 时,ax=N ? x= logaN 5. 名称辨别: 式 指数式 对数式
b

a = n am ? a ? 0, m, n ? N ?,且n>1? .
②正数的负分数指数幂的意义:
m n

a

=

1 a
m n

? a ? 0, m, n ? N ,且n>1? .
?

③0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义。 5.有理数指数幂的运算性质: ①a a ?a
r s r ?s

? a ? 0, r, s ?Q? ;

② a

? ?

r s

? a rs ? a ? 0, r , s ? Q ? ;

r r ③ ? ab ? ? a b ? a ? 0, b ? 0, r ? Q ? . r

子 a 底数 底数

名 b

称 c 幂 真数

指数函数
1.一般地,函数 y=ax(a>0,且 a≠1)叫做指数函数,其 中 x 是自变量,函数的定义域是 R。 2.一般地,指数函数 y=ax(a>0,且 a≠1)的图像和性质 如下表所示。 0<a<1
10 8

a =N b=logaN

指数 对数

6. 对数的运算性质: 如果 a>0,且 a≠1,M>0,N>0,那么: ① loga(M·N)=logaM+logaN ② loga M =n·logaM (n∈R) ③ a
loga N
n

loga =logaM-logaN

M N

a>1
10 8

logan bm =

m ·logab n

6

6

图 像
-10 -5

4

4

2

2

=N

logaaN=N logab=

5

10

15

-15

-10

-5

5

10

15

logc b (c>0,且 c≠1) logc a

-2

-2

-4

-4

-6

-6

-8

-8

-10

-10

7. 引申: ① logab·logbc·logcd·logde=logae ③ logab·logba=1 logab +log a b =0
1

定义域 值 性 域 质

R (0,+∞) 过定点(0,1) ,即 x=0 时,y=1 在 R 上是减函数 当 x>0 时,y>1 当 x<0 时, 0<y<1 在 R 上是增函数 当 x>0 时,0<y<1 当 x<0 时,y>1

④logab =

1 logba

对数函数
1. 一般地,我们把函数 y=logax(a>0,且 a≠1)叫做对 数函数。 其中 x 是自变量, 函数的定义域是 (0, +∞) 。 x 2. 一般地对数函数 y=loga (a>0,且 a≠1)的图像和性

3.判断指数函数的底数大小的方法:在第一象限内,从 x 轴开始,逆时针方向查找,先看到的图像底数最小,最

质如下表所示。 0<a<1 a>1

图像

定义域 值域 性 质

(0,+∞) R 过定点(1,0) ,即 x=1 时 y=0 在(0,+∞)上是减 函数 当 0<x<1 时, y>0 当 x>1 时,y<0 在(0,+∞)上是增函数 当 0<x<1 时,y<0 当 x>1 时,y>0

3. 补充: ①关于 x 轴对称点(a,-b) M(a,b) ②关于 y 轴对称点(-a,b) ③关于原点对称点(-a,-b) ④关于直线 y=x 对称点(b,a) 4. ①当底数相同时,指数函数与对数函数互为 反函数 反函数。 ② 互为 反函 数的 两个函数 图像 关于 直线 y=x 对称。

幂函数
1. 一般地,函数 y=x 叫做幂函数。其中 x 是自变量,α 是常数。 2. 规定:α =1 或 2 或 3 或 1/2 或-1 3. ①所有幂函数在区间(0,+∞)上都有意义,并且函数图像都过点(1,1) 。 α 幂函数 y=x 的性质 ②若α >0,幂函数图像都过点(0,0) , (1,1) ,并且在区间[0,+∞)上是增函 数。 ③若α <0,幂函数在(0,+∞)上是减函数,当 x 从右方趋向于 0 时,图像在 y 轴 右方无限逼近 y 轴,当 x 轴趋向于+∞时,图像在 x 轴上方无限逼近 x 轴。 4. y=x 定义域 值 域 奇偶性 单调性 公共点 R R 奇函数 增函数 y=x2 R [0,+∞) 偶函数 (-∞,0]减函数 [0,+∞)增函数 y=x3 R R 奇函数 增函数
α

y?x

1 2

y=x-1 (-∞,0) (0,+∞) (-∞,0) (0,+∞) 奇函数 减函数 (-∞,0) (0,+∞)

[0,+∞) [0,+∞) 非奇非偶函数 增函数

均过点(1,1) ,且前四个图像还均过点(0,0)

第三章 函数与方程
一、方程的根与函数的零点 1.关于 x 的实系数一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 ,设 f ( x) ? ax2 ? bx ? c, x ? R, a ? 0 ,
2

①方程有根的等价条件是 x≥0; ② f ( x) ? 0 恒成立的等价条件是

a?0 ; ??0 a?0 ; ??0

③ f ( x) ? 0 恒成立的等价条件是

??0
④一根为正,一根为负的等价条件是

x1 ? x2 ?

; c ?0 a

??0
⑤两根为正的等价条件是

x1 ? x2 ? ? x1 ? x2 ?

b ?0; a

c ?0 a

??0
⑥两根为负的等价条件是

x1 ? x2 ? ? x1 ? x2 ?

b ? 0; a

c ?0 a
??0 f (0) ? 0 x1 ? x2 ? ? ??0 f (0) ? 0 x1 ? x2 ? ? b ?0 a b ?0 a

⑦一根为正,一根为零的等价条件是



⑧一根为负,一根为零的等价条件是



??0
⑨两根均大于 m 的等价条件是

b ? 2m ; a ? x1 ? m ? ? ? x2 ? m ? ? 0 x1 ? x2 ? ? ??0 b ? 2m 。 a ? x1 ? m ? ? ? x2 ? m ? ? 0 x1 ? x2 ? ?

⑩两根均小于 m 的等价条件是

2.设判别式 ? ? b ? 4ac ,则有:
2

①当 ? ? 0 时,一元二次方程有两个不等的实数根 x1 , x2 ,相应的二次函数的图像与 x 轴有两个交点

? x1,0? , ? x2 ,0? ;
②当 ? ? 0 时,一元二次方程有两个相等的实数根 x1 ? x2 ,相应的二次函数的图像与 x 轴有唯一的交点

? x1,0? ;
③当 ? ? 0 时,一元二次方程没有实数根,相应的二次函数的图像与 x 轴没有交点。 3.零点:对于函数 y ? f ( x) ,我们把使 f ( x) ? 0 的实数 x 叫做函数 y ? f ( x) 的零点。 4.方程 f ( x) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f ( x) 的图像与 x 轴有交点 ? 函数 y ? f ( x) 有零点。 5.求函数零点的方法:①代数法(解方程) ;②几何法(图像法) ; 6.求函数零点的步骤:①令 f ( x) ? 0 ;②解方程 f ( x) ? 0 ;③写出零点。 7. 一 般 地 , 我 们 有 : 如 果 函 数 y ? f ( x) 在 区 间 ? a, b? 上 的 图 像 是 连 续 不 断 的 一 条 曲 线 , 并 且 有

f (a) ? f (b) ? 0 ,那么,函数 y ? f ( x) 在区间 ? a, b ? 内有零点,即存在 c ? ? a, b ? ,使得 f (c) ? 0 ,这个
c 也就是方程 f ( x) ? 0 的根。 二、用二分法求方程的近似解 1.二分法: 对于在区间 ? a, b? 上连续不断且 f (a) ? f (b) ? 0 的函数 y ? f ( x) , 通过不断地把函数 f ( x ) 的零 点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法。 2.给定精确度 ? ,用二分法求函数 f ( x ) 零点近似值的步骤如下: ①确定区间 ? a, b? ,验证 f (a) ? f (b) ? 0 ,给定精确度 ? ; ②求区间 ? a, b ? 的中点 c; ③计算 f (c) ; ?若 f (c) ,则 c 就是函数的零点; ?若 f (a) ? f (c) ? 0 ,则令 b ? c (此时零点 x0 ? ? a, c ? ) ; ?若 f (c) ? f (b) ? 0 ,则令 a ? c (此时零点 x0 ? ? c, b ? ) 。 ④判断是否达到精确度 ? :即若 | a ? b |? ? ,则得到零点近似值 a (或 b) ;否则重复第②—④步。 三、函数模型及其应用 1.常数函数 y ? y0 不增长; 2.一次函数 y ? kx ? b(k ? 0) 匀速增长; 3. 函数 y ? x? (? ? 0) 增长,增长速度因 ? 的不同而不同; 4. 函数 y ? a x (a ? 1) 增长,增长速度越来越快,最后成爆炸式增长; 5.函数 y ? log a x (a ? 1) 增长,增长速度越来越慢,最后几乎不增长。 6.当 a ? 1, n ? 0 时,总会存在一个 x0 ,当 x ? x0 时,有 log a ? x ? a 。
x n x

7.当 0 ? a ? 1, n ? 0 时,总会存在一个 x0 ,当 x ? x0 时,有 log a ? a ? x 。
x x n

8.利用现有函数模型解决实际问题;建立确定的函数模型解决问题;建立拟合函数模型解决问题。


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