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2017-2018学年高中数学人教A版选修2-2学案:复习课(一) 导数及其应用 Word版含解析

复习课(一) 导数及其应用 导数的概念及几何意义的应用 (1)近几年的高考中,导数的几何意义和切线问题是常考内容,各种题型均有可能出现. (2)利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点. [考点精要] (1)已知切点 A(x0,f(x0))求斜率 k,即求该点处的导数值:k=f′(x0); (2)已知斜率 k,求切点 A(x1,f(x1)),即解方程 f′(x1)=k; (3)已知过某点 M(x1,f(x1))(不是切点)的切线斜率为 k 时,常需设出切点 A(x0,f(x0)), 利用 k= f(x1)-f(x0) 求解. x1-x0 (全国卷Ⅱ)已知 f(x)为偶函数,当 x≤0 时,f(x)=e -x-1 [典例] -x,则曲线 y=f(x)在 点(1,2)处的切线方程是________. [解析] 设 x>0,则-x<0,f(-x)=ex 1+x. - ∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x), ∴f(x)=ex 1+x. - ∵当 x>0 时,f′(x)=ex 1+1, - ∴f′(1)=e1 1+1=1+1=2. - ∴曲线 y=f(x)在点(1,2)处的切线方程为 y-2=2(x-1),即 2x-y=0. [答案] 2x-y=0 [类题通法] (1)利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 ①若已知点是切点,则在该点处的切线斜率就是该点处的导数. ②如果已知点不是切点,则应先出切点,再借助两点连线的斜率公式进行求解. (2)曲线与直线相切并不一定只有一个公共点,例如,y=x3 在(1,1)处的切线 l 与 y=x3 的图象还有一个交点(-2,-8). [题组训练] 1.曲线 y= x 在点(-1,-1)处的切线方程为( x+2 B.y=2x-1 D.y=-2x-2 ) A.y=2x+1 C.y=-2x-3 x′(x+2)-x(x+2)′ 2 解析:选 A ∵y′= = , (x+2)2 (x+2)2 ∴k=y′|x=-1= 2 =2, (-1+2)2 ∴切线方程为:y+1=2(x+1),即 y=2x+1. 2.已知曲线 y=x+ln x 在点(1,1)处的切线与曲线 y=ax2+(a+2)x+1 相切,则 a= ________. 1 解析:∵y=x+ln x,∴y′=1+x, y′ | x=1 =2. ∴曲线 y=x+ln x 在点(1,1)处的切线方程为 y-1=2(x-1),即 y=2x-1. 法一:∵y=2x-1 与曲线 y=ax2+(a+2)x+1 相切, ∴a≠0(当 a=0 时曲线变为 y=2x+1 与已知直线平行). ? ?y=2x-1, 由? 2 ?y=ax +(a+2)x+1, ? 消去 y,得 ax2+ax+2=0. 由 Δ=a2-8a=0,解得 a=8. 法二:设 y=2x-1 与曲线 y=ax2+(a+2)x+1 相切于点(x0,ax2 0+(a+2)x0+1). ∵y′=2ax+(a+2), ∴y′ x=x0 =2ax0+(a+2). | ? ? ?x0=-2, ?2ax0+(a+2)=2, 由? 2 解得? ?ax0+(a+2)x0+1=2x0-1, ? ? ?a=8. 答案:8 导数与函数的单调性 1 (1)题型既有选择题、填空题也有解答题,若以选择题、填空题的形式出现,则难度以 中、低档为主,若以解答题形式出现,难度则以中等偏上为主,主要考查求函数的单调区 间、证明或判断函数的单调性等问题。 (2)在利用导数讨论函数的单调区间时,首先要确定函数的定义域,解决问题的过程中, 只能在定义域内,通过讨论导数的符号,来判断函数的单调区间. 特别要注意写单调区间时,区间之间用“和”或“,”隔开,绝对不能用“∪”连接. [考点精要] 函数的单调性与导函数值的关系 若函数 f(x)在(a,b)内可导,则 f′(x)在(a,b)任意子区间内部不恒等于 0. f′(x)>0?函数 f(x)在(a,b)上单调递增; f′(x)<0?函数 f(x)在(a,b)上单调递减. 反之, 函数 f(x)在(a, b)上单调递增?f′(x)≥0; 函数 f(x)在(a, b)上单调递减?f′(x)≤0. 即 f′(x)>0(f′(x)<0)是 f(x)为增(减)函数的充分不必要条件. [典例] a 已知函数 f(x)=x+ +b(x≠0),其中 a,b∈R. x (1)若曲线 y=f(x)在点 P(2,f(2))处的切线方程为 y=3x+1,求函数 f(x)的解析式; (2)讨论函数 f(x)的单调性并求出单调区间. a [解] f′(x)=1- 2. x a (1)由导数的几何意义得 f′(2)=3,即 1- =3, 4 ∴a=-8. 由切点 P(2,f(2))在直线 y=3x+1 上, 得 f(2)=3×2+1=7,则-2+b=7,解得 b=9, 8 ∴函数 f(x)的解析式为 f(x)=x-x+9(x≠0). (2)当 a≤0 时,显然 f′(x)>0(x≠0), 这时 f(x)在(-∞,0),(0,+∞)上是增函数. 当 a>0 时,由 f′(x)=0,解得 x=± a. 当 x<- a或 x> a时,f′(x)>0; 当- a<x<0 或 0<x< a时,f′(x)<0. ∴f(x)在(-∞,- a),( a,+∞)上是增函数, 在(0, a),(- a,0)上是减函数. [类题通法] 求函数的单调区间的方法步骤 (1)确定函数 f(x)的定义域. (2)计算函数 f(x)的导数 f′(x). (3)解不等式 f′(x)>0,得到函数 f(x)的递增区间;解不等式 f′(x)<0,得到函数 f(x) 的递减区间. [提醒 ] 误. [题组训练] 1.设函数 f′(x)=x2+3x-4,则 y=f(x+1)的单调递减区间为________. 解析:由 f′(x)=x2+3x-4,令 f′(x)<0,即 x2+3x

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