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2014高考数学(理)黄金配套练习10-7


第十章 10.8 第八课时
2014 高考数学(理)黄金配套练习
一、选择题 1 1.已知随机变量 ξ 服从二项分布 ξ~B(6,3),即 P(ξ=2)等于( 3 A.16 13 C.243 答案 解析 D 1 B.243 80 D.243 )

1 k n-k 已知 ξ~B(6, ),P(ξ=k)=Ck , np q 3 1 当 ξ=2,n=6,p=3时, 1 2 1 2 有 P(ξ=2)=C6 (3) (1-3)6-2 1 2 2 4 80 =C2 6( ) ( ) = 3 3 243. 2.一袋中有 5 个白球,3 个红球,现从袋中往外取球,每次任取一个记下颜 色后放回,直到红球出现 10 次时停止,设停止时共取了 ξ 次球,则 P(ξ=12)等于 ( ) 3 10 5 2 9 3 9 5 23 A.C10 B.C11 (8) (8) · 12( ) · 8 (8) 8 9 5 9 3 2 9 3 9 5 2 C.C11 (8) · (8) D.C11 (8) · (8) 答案 B 解析 P(ξ=12)表示第 12 次为红球,前 11 次中有 9 次为红球,从而 P(ξ=12) 3 5 3 =C9 (8)9(8)2×8. 11· 1 3.在初三一个班中,有4的学生数学成绩优秀,若从班中随机找出 5 名学生, 1 1 那么,其中数学成绩优秀的学生数 ξ~B(5,4),则 p(k;4)取最大值的 k 值为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案 B 3 5-k 1 k k-1 3 5-(k-1) 1 k-1 解析 Ck (4) 5( ) 4 (4) ≥C5 (4) 3 5-k 1 k k+1 3 5-(k+1) 1 k+1 Ck (4) 5( ) 4 (4) ≥C5 (4) 1 3 ∴解得2≤k≤2 ∴k=1,故选 B 4.若 X~B(5,0.1),则 P(X≤2)等于( ) A.0.665 B.0.00856 C.0.91854 D.0.99144

答案 D 5.某厂大量生产某种小零件,经抽样检验知道其次品率是 1%,现把这种零 件每 6 件装成一盒,那么每盒中恰好含一件次品的概率是( ) 99 A.(100)6 B.0.01 1 C6 1 1 2 1 4 C.100(1-100)5 D.C2 ) (1 - 6( 100 100) 答案 C 1 解析 P=C1 1%· (1-100)5. 6· 1 6.如果 ξ~B(15,4),则使 p(ξ=k)取最大值的 k 值为( ) A.3 B.4 C.5 D.3 或 4 答案 D 解析 采取特殊值法. 3 1 3 3 12 ∵P(ξ=3)=C15 (4) (4) , 1 5 3 10 4 1 4 3 11 P(ξ=4)=C15 (4) (4) ,P(ξ=5)=C5 15( ) ( ) , 4 4 从而易知 P(ξ=3)=P(ξ=4)>(ξ=5). 7. 有 n 位同学参加某项选拔测试, 每位同学能通过测试的概率都是 p(0<p<1), 假设每位同学能否通过测试是相互独立的,则至少有一位同学能通过测试的概率 为( ) A.(1-p)n B.1-pn C.pn D.1-(1-p)n 答案 D 解析 显然 n 位同学参加某项选拔测试可看作 n 次独立重复试验,其中没有 一位同学能通过测试的概率为(1-p)n,故至少有一位同学能通过测试的概率为 1 -(1-p)n. 二、填空题 8.设某种动物由出生算起活到 20 岁的概率为 0.8,活到 25 岁的概率为 0.4, 现在一个 20 岁的这种动物,它能活到 25 岁的概率是________. 答案 0.5 解析 设 A= “能活到 20 岁” , B= “能活到 25 岁” , 则 P(A)=0.8, P(B)=0.4, P?A∩B? P?B? 0.4 而所求概率为 P(B|A), 由于 B?A, 故 A∩B=B, 于是 P(B|A)= = = P?A? P?A? 0.8 =0.5,所以这个动物能活到 25 岁的概率是 0.5. 9.某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第 18、19、20 层停靠.若该电梯 1 在底层载有 5 位乘客,且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为3,用 ξ 表 示这 5 位乘客在第 20 层下电梯的人数,则 P(ξ=4)=________. 10 答案 243 解析 考察一位乘客是否在第 20 层下电梯为一次试验,这是 5 次独立重复试 验,

1 故 ξ~B(5,3), 1 k 2 5-k 即有 P(ξ=k)=Ck 5( ) ×( ) 3 3 , k=0,1,2,3,4,5. 2 10 4 1 4 ∴P(ξ=4)=C5 (3) ×(3)1=243. 10.某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同,且在两次罚球中至多命中 16 一次的概率为25,则该队员每次罚球的命中率为________. 3 答案 5 16 解析 设该队员每次罚球的命中率为 p(其中 0<p<1),则依题意有 1-p2= , 25 9 3 p2=25.又 0<p<1,因此有 p=5. 三、解答题 11.2011 年初,一考生参加某大学的自主招生考试,需进行书面测试,测试 题中有 4 道题,每一道题能否正确做出是相互独立的,并且每一道题被考生正确 3 做出的概率都是4. (1)求该考生首次做错一道题时,已正确做出了两道题的概率; (2)若该考生至少做出 3 道题,才能通过书面测试这一关,求这名考生通过书 面测试的概率. 3 解析 (1)记“该考生正确做出第 i 道题”为事件 Ai(i=1,2,3,4),则 P(Ai)= , 4 由于每一道题能否被正确做出是相互独立的,所以这名考生首次做错一道题时, 已正确做出两道题的概率为: P(A1A2 A3 )=P(A1)· P(A2)· P( A3 ) 3 3 1 9 =4×4×4=64. (2)记“这名考生通过书面测试”为事件 B,则这名考生至少正确做出 3 道题, 3 1 3 3 4 即正确做出 3 道或 4 道题,故 P(B)=C4 ×(4)3×4+C4 ×(4)4 189 =256. 12.在一次考试中出了六道是非题,正确的记“? ” ,不正确的记“? ” ,若某 1 考生完全记上六个符号且答对每道题的概率均为2,试求: (1)全部正确的概率; (2)正确解答不少于 4 道的概率; (3)至少正确解答一半的概率. 1 1 解析 (1)P1=P6(6)=C6 (2)6=64; 6· (2)P2=P6(4)+P6(5)+P6(6)

1 1 1 1 16 1 0 11 =C4 (2)4(1-2)2+C5 (2)5(1-2)1+C6 6· 6· 6( ) (1- ) = ; 2 2 32 (3)P3=P6(3)+P6(4)+P6(5)+P6(6) 1 13 1 12 1 1 1 6 21 =C3 (2)3· (2) +C4 (2)4· (2) +C5 (2)5· (2)+C6 6· 6· 6· 6( ) = . 2 32 13.设 b 和 c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数,用随机变量 ξ 表示方程 2 x +bx+c=0 实根的个数(重根按一个计). (1)求方程 x2+bx+c=0 有实根的概率; (2)求 ξ 的分布列和数学期望; (3)求在先后两次出现的点数中有 5 的条件下,方程 x2+bx+c=0 有实根的概 率. 解析 (1)设基本事件空间为 Ω,记“方程 x2+bx+c=0 有实根”为事件 A, 则 A={(b,c)|b2-4c≥0,b、c=1,?,6} Ω 中的基本事件总数为:6×6=36 个. A 中的基本事件总数为:6+6+4+2+1=19 个 19 故所求概率为:P(A)=36 (2)由题意,ξ 可能取值为 0,1,2,则: 17 2 1 17 P(ξ=0)=36,P(ξ=1)=36=18,P(ξ=2)=36. ∴ξ 的分布列为: ξ 0 1 2 17 1 17 P 36 18 36 17 1 17 ∴ξ 的数学期望 Eξ=0×36+1×18+2×26=1. 25 11 (3)记“先后两次出现的点数中有 5”为事件 B,则 P(B)=1-36=36. 6+1 7 P(A∩B)= 36 =36, 7 P?A∩B? 36 7 ∴P(A|B)= =11=11. P?B? 36 2 14.某射手每次射击击中目标的概率是3,且各次射击的结果互不影响. (1)假设这名射手射击 5 次,求恰有 2 次击中目标的概率; (2)假设这名射手射击 5 次,求有 3 次连续击中目标,另外 2 次未击中目标的 概率; (3)假设这名射手射击 3 次, 每次射击, 击中目标得 1 分, 未击中目标得 0 分. 在 3 次射击中,若有 2 次连续击中,而另外 1 次未击中,则额外加 1 分;若 3 次全击 中,则额外加 3 分.记 ξ 为射手射击 3 次后的总得分数,求 ξ 的分布列. 2 解析 (1)设 X 为射手在 5 次射击击中目标的次数,则 X~B(5,3),在 5 次射 击中,恰有 2 次击中目标的概率

2 2 40 2 P(X=2)=C5 ×(3)2×(1-3)3=243. (2)设 “第 i 次射击击中目标” 为事件 Ai(i=1,2,3,4,5); “射手在 5 次射击中, 有 3 次连续击中目标,另外 2 次未击中目标”为事件 A,则 P(A)=P(A1A2A3 A 4 A 5)+P( A 1A2A3A4 A 5)+P( A 2 1 1 2 1 1 2 =(3)3×(3)2+3×(3)3×3+(3)2+(3)3 8 =81. (3)由题意可知,ξ 的所有可能取值为 0,1,2,3,6. 1 1 P(ξ=0)=P( A 1 A 2 A 3)=(3)3=27;
1

A 2A3A4A5)

P(ξ=1)=P(A1 A 2 A 3)+P( A 1A2 A 3)+P( A 1 A 2A3) 2 1 1 2 1 1 2 2 =3×(3)2+3×3×3+(3)2×3=9; 2 1 2 4 P(ξ=2)=P(A1 A 2A3)=3×3×3=27; 2 1 1 2 8 P(ξ=3)=P(A1A2 A 3)+P( A 1A2A3)=(3)2×3+3×(3)2=27; 2 8 P(ξ=6)=P(A1A2A3)=(3)3=27. 所以 ξ 的分布列是 ξ 0 1 2 3 6 1 2 4 8 8 P 27 9 27 27 27

拓展练习·自助餐
1.某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的 5 个问题中,选手若能连续正确 回答出两个问题,即停止答题,晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概 率都是 0.8,且每个问题的回答结果相互独立,则该选手恰好回答了 4 个问题就晋 级下一轮的概率等于________. 答案 0.128 解析 此选手恰好回答 4 个问题就晋级下一轮,说明此选手第 2 个问题回答 错误,第 3、第 4 个问题均回答正确,第 1 个问题答对答错都可以.因为每个问题 的回答结果相互独立,故所求的概率为 1×0.2×0.82=0.128. 2.某研究小组在电脑上进行人工降雨模拟试验,准备用 A、B、C 三种人工降 雨方式分别对甲、乙、丙三地实施人工降雨,其试验数据统计如下: 模拟实验总次 方式 实施地点 大雨 中雨 小雨 数 A 甲 4次 6次 2次 12 次 B 乙 3次 6次 3次 12 次 C 丙 2次 2次 8次 12 次 假定对甲、乙、丙三地实施的人工降雨彼此互不影响,请你根据人工降雨模

拟试验的统计数据. (1)求甲、乙、丙三地都恰为中雨的概率; (2)考虑到各地的旱情和水土流失情况不同,如果甲地恰需中雨即达到理想状 态,乙地必须是大雨才达到理想状态,丙地只需小雨或中雨即达到理想状态,记 “甲、乙、丙三地中达到理想状态的个数”为随机变量 ξ,求随机变量 ξ 的分布列 和数学期望 Eξ. 解析 (1)由人工降雨模拟的统计数据,用 A、B、C 三种人工降雨方式对甲、 乙、丙三地实施人工降雨得到大雨、中雨、小雨的概率如下表所示. 方式 A B C 实施地点 甲 乙 丙 大雨 1 P(A1)=3 1 P(B1)=4 1 P(C1)=6 中雨 1 P(A2)=2 1 P(B2)=2 1 P(C2)=6 小雨 1 P(A3)=6 1 P(B3)=4 2 P(C3)=3

设“甲、乙、丙三地都恰为中雨”为事件 E,则 1 1 1 1 P(E)=P(A2)P(B2)P(C2)=2×2×6=24. (2)设甲、乙、丙三地都达到理想状态的概率分别为 P1,P2,P3,则 P1=P(A2) 1 1 5 =2,P2=P(B1)=4,P3=P(C2)+P(C3)=6. ξ 的可能取值为 0,1,2,3. 1 3 1 1 P(ξ=0)=(1-P1)(1-P2)(1-P3)=2×4×6=16; 1 3 1 P(ξ=1)=P1(1-P2)(1-P3)+(1-P1)P2(1-P3)+(1-P1)(1-P2)P3=2×4×6+ 1 1 1 1 3 5 19 2×4×6+2×4×6=48; 1 1 5 1 3 5 1 1 P(ξ=2)=(1-P1)P2P3+P1(1-P2)P3+P1P2(1-P3)=2×4×6+2×4×6+2×4 1 7 ×6=16; 1 1 5 5 P(ξ=3)=P1P2P3=2×4×6=48. 所以随机变量 ξ 的分布列为 0 1 2 3 1 19 7 5 P 16 48 16 48 1 19 7 5 19 所以,数学期望 Eξ=16×0+48×1+16×2+48×3=12. ξ

教师备选题
1. 在 10 个球中有 6 个红球和 4 个白球(各不相同), 不放回地依次摸出 2 个球,

在第一次摸出红球的条件下,第 2 次也摸到红球的概率为( ) 3 2 A.4 B.5 1 5 C.10 D.9 答案 D 1 1 2.国庆节放假,甲去北京旅游的概率为3,乙,丙去北京旅游的概率分别为4, 1 那么这段时间内至少有 1 人去北京旅游的概 5.假定三人的行动相互之间没有影响, 率为( ) 59 3 A.60 B.5 1 1 C.2 D.60 答案 B 解析 三个人都不去北京旅游的概率为: 1 1 1 2 (1-3)(1-4)(1-5)=5 所以至少有 1 人去北京旅游的概率: 2 3 1-5=5. 3.金工车间有 10 台同类型的机床,每台机床配备的电动机功率为 10 千瓦, 已知每台机床工作时平均每小时实际开动 12 分钟,且开动与否相互独立.现因当 地电力供应部门只提供 50 千瓦的电力, 这 10 台机床能够正常工作的概率有多大? 在一个工作班的 8 小时内,不能正常工作的时间大约是多大? 解析 (1)设 10 台机床中实际开动的台数为 ξ,由于每台机床正在工作的概率 12 1 1 为60=5,而且每台机床有“工作”与“不工作”两种情况,故 ξ~B(10,5),从 而 1 k 4 10-k P(ξ=k)=Ck (k=0,1,2,??,10). 10( ) ( ) 5 5 50 千瓦电力可同时供给 5 台机床开动, 因而只要 10 台机床同时开动的台数不 超过 5 台就可正常工作,这一事件的概率为 P(ξ≤5), P(ξ≤5)=P10(0)+P10(1)+??+P10(5) 4 10 1 1 4 9 5 1 5 4 5 =C0 10( ) +C10( )( ) +??+C10( ) ( ) ≈0.994. 5 5 5 5 5 (2)由(1)知, 在电力供应仅为 50 千瓦的条件下,机床不能正常工作的概率仅为 0.006, 从而在一个工作班的 8 小时内, 不能正常工作的时间大约只有 8×60×0.006 =2.88(分钟),这说明 10 台机床的工作基本上不受电力供应紧张的影响. 4.中国篮球职业联赛 (CBA)某赛季总决赛在某两队之间进行,比赛采用七局 四胜制,即若有一队先胜四场,则此队获胜,比赛就此结束.因两队实力相当, 1 每场比赛两队获胜的可能性均为2.据以往资料统计, 第一场比赛组织者可获得门票 收入 40 万元,以后每场比赛门票收入比上一场增加 10 万元. (1)若组织者在此次决赛中获得的门票收入恰好为 300 万元,问此决赛共比赛

了多少场? (2)求组织者在此次决赛中要获得的门票收入不少于 390 万元的概率为多少? 解析 (1)依题意, 每场比赛获得的门票收入数组成首项为 40, 公差为 10 的等 差数列,设此数列为{an},则易知 a1=40,an=10n+30. n?a1+an? n?10n+70? ∴Sn= = =300. 2 2 解得 n=5 或 n=-12(舍去). ∴此次决赛共比赛了 5 场. (2)由 Sn≥390 得 n2+7n≥78,∴n≥6. ∴若要获得的门票收入不少于 390 万元,则至少要比赛 6 场. ①若比赛共进行了 6 场,则前 5 场比赛的比分必为 2∶3,且第 6 场比赛为领 先一场的球队获胜,其概率 1 5 3 P(6)=C5 ×(2)5=16; 1 5 3 ②若比赛共进行了 7 场, 则前 6 场胜负为 3∶3, 则概率为 P(7)=C6 ×(2)6=16; ∴门票收入不少于 390 万元的概率为 10 5 P=P(6)+P(7)=16=8=0.625. 5.投到某杂志的稿件,先由两位初审专家进行评审.若能通过两位初审专家 的评审,则予以录用;若两位初审专家都未予通过,则不予录用;若恰能通过一 位初审专家的评审,则再由第三位专家进行复审,若能通过复审专家的评审,则 予以录用,否则不予录用.设稿件能通过各初审专家评审的概率均为 0.5,复审的 稿件能通过评审的概率为 0.3.各专家独立评审. (1)求投到该杂志的 1 篇稿件被录用的概率; (2)记 X 表示投到该杂志的 4 篇稿件中被录用的篇数,求 X 的分布列及期望. 解析 (1)记 A 表示事件:稿件能通过两位初审专家的评审; B 表示事件:稿件恰能通过一位初审专家的评审; C 表示事件:稿件能通过复审专家的评审; D 表示事件:稿件被录用. 则 D=A+B· C, P(A)=0.5×0.5=0.25,P(B)=2×0.5×0.5=0.5,P(C)=0.3. P(D)=P(A+B· C)=P(A)+P(B· C)=P(A)+P(B)P(C)=0.25+0.5×0.3=0.40. (2)X~B(4,0.4),其分布列为: P(X=0)=(1-0.4)4=0.1296, 1 P(X=1)=C4 ×0.4×(1-0.4)3=0.3456, 2 P(X=2)=C4 ×0.42×(1-0.4)2=0.3456, 3 P(X=3)=C4 ×0.43×(1-0.4)=0.1536, P(X=4)=0.44=0.0256. 期望 EX=4×0.4=1.6. 6.一个口袋中装有 n 个红球(n≥5 且 n∈N*)和 5 个白球,一次摸奖从中摸两 个球,两个球颜色不同则为中奖. (1)试用 n 表示一次摸奖中奖的概率 p; (2)若 n=5,求三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率; (3)记三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率为 f(p).当 n 取多少时,

f(p)最大? 2 解析 (1)一次摸奖为从 n+5 个球中任选两个,有 Cn +5种,它们等可能发生, 1 1 CnC5 10n 1 其中两球不同色有 C1 一次摸奖中奖的概率 p= 2 = (n≥5 且 n nC5种, Cn+5 ?n+5??n+4? ∈N*). 10×5 5 (2)若 n=5,一次摸奖中奖的概率 p= =9,三次摸奖是独立重复 ?5+5??5+4? 80 1 试验, 三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率是 P3(1)=C3 · p· (1-p)2=243. (3)设每次摸奖中奖的概率为 p,则三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的 概率为 f(p)=C1 p· (1-p)2=3p3-6p2+3p,0<p<1. 3· 1 1 由 f′(p)=9p2-12p+3=3(p-1)(3p-1)知,在(0,3]上 f(p)为增函数,在[3, 1 10n 1 1)上 f(p)为减函数,则当 p=3时,f(p)取得最大值.即 p= =3,解得 n ?n+5??n+4? =20 或 n=1. 又∵n≥5 且 n∈N*. ∴当 n=20 时,三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率最大.


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