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最新人教版选修2-2高中数学第一章 导数及其应用1.6微积分基本定理同步习题及答案

【创新设计】 2016-2017 学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.6 微积分基本定理课时作业 新人教版选修 2-2 明目标、知重点 1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义. 2.会利用微积分基本定理求函数的积分. 1.微积分基本定理 如果 f(x)是区间 a,b]上的连续函数,并且 F′(x)=f(x),那么 ? b af(x)dx=F(b) -F(a). 2.定积分和曲边梯形面积的关系 设曲边梯形在 x 轴上方的面积为 S 上,x 轴下方的面积为 S 下,则 (1)当曲边梯形的面积在 x 轴上方时,如图(1),则 ? b af(x)dx=S 上. (2)当曲边梯形的面积在 x 轴下方时,如图(2),则 ? b af(x)dx=-S 下. (3)当曲边梯形的面积在 x 轴上方、x 轴下方均存在时,如图(3),则 ? b af(x)dx=S 上 -S 下,若 S 上=S 下,则 ? b af(x)dx=0. 情境导学] 从前面的学习中可以发现,虽然被积函数 f(x)=x3 非常简单,但直接用定积分的 3 定义计算 ? 1 0x dx 的值却比较麻烦.有没有更加简便、有效的方法求定积分呢?另 外,我们已经学习了两个重要的概念——导数和定积分,这两个概念之间有没有 内在的联系呢?我们能否利用这种联系求定积分呢? 探究点一 微积分基本定理 问题 你能用定义计算 ? 思考 1 2 1 1 x dx 吗?有没有更加简便、有效的方法求定积分呢? 如下图,一个做变速直线运动的物体的运动规律是 y=y(t),并且 y(t) 有连续的导数,由导数的概念可知,它在任意时刻 t 的速度 v(t)=y′(t).设这 个物体在时间段 a,b]内的位移为 s,你能分别用 y(t),v(t)表示 s 吗? 答 由物体的运动规律是 y=y(t)知:s=y(b)-y(a), b 通过求定积分的几何意义,可得 s=? b av(t)dt=? ay′(t)dt, b 所以 ? b av(t)dt=? ay′(t)dt=y(b)-y(a).其中 v(t)=y′(t). 小结 (1)一般地,如果 f(x)是区间 a,b]上的连续函数,并且 F′(x)=f(x),那 么? b af(x)dx=F(b)-F(a). 这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿—莱布尼茨公式. (2)运用微积分基本定理求定积分 ? b 其关键是准确写出满足 F′(x) af(x)dx 很方便, =f(x)的 F(x). 思考 2 对一个连续函数 f(x)来说,是否存在唯一的 F(x),使 F′(x)=f(x)?若 不唯一,会影响微积分基本定理的唯一性吗? 答 不唯一,根据导数的性质,若 F′(x)=f(x),则对任意实数 c,F(x)+c]′ =F′(x)+c′=f(x). 不影响,因为 ?b af(x)dx=F(b)+c]-F(a)+c]=F(b)-F(a) 例1 计算下列定积分: (1)? 2 1 1 x 1 3 dx;(2)? 1(2x- 2)dx;(3)? x x 0 -π (cos x-e )dx. x 1 解 (1)因为(ln x)′= , 所以 ? 2 1 1 x dx=ln x|2 1=ln 2-ln 1=ln 2. 1 1 (2)因为(x2)′=2x,( )′=- 2, x x 1 3 31 所以 ? 3 1(2x- 2)dx=? 12xdx-? 1 2dx x x 1 3 =x2|3 1+ |1 x 1 22 =(9-1)+( -1)= . 3 3 (3)? 0 -π (cos x-ex)dx=? 0 -π cos xdx-? 0 -π exdx x 0 =sin x|0 -π-e |-π= 1 -1. eπ 反思与感悟 求简单的定积分关键注意两点: (1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则,正确求解被积函数的原函数,当原 函数不易求时,可将被积函数适当变形后再求解; (2)精确定位积分区间,分清积分下限与积分上限. 跟踪训练 1 ( ) B.S2<S1<S3 D.S3<S2<S1 2 若 S1=? 2 1x dx,S2=? 2 1 1 x x dx,S3=? 2 1e dx,则 S1,S2,S3 的大小关系为 A.S1<S2<S3 C.S2<S3<S1 答案 B 1 3 2 7 2 解析 S1=? 2 1x dx= x |1= , 3 3 S2=? 2 1 1 x dx=ln x|2 1=ln 2<1, 7 3 x x 2 2 S3=? 2 1e dx=e |1=e -e=e(e-1)> . 所以 S2<S1<S3,选 B. 探究点二 分段函数的定积分 sin x,0≤x≤ , ? 2 ? 已知函数 f(x)=? π 1, ≤x≤2, 2 ? ?x-1,2≤x≤4. π 例2 先画出函数图象,再求这个 函数在 0,4]上的定积分. 解 图象如图. 4 ?4 0f(x)dx= 0 sin xdx+ 0 1dx+ 2 (x-1)dx ?2 ?2 ? π π 1 =(-cos x)|+x|+( x2-x)|4 2 2 =1+(2- π π )+(4-0)=7- . 2 2 求分段函数的定积分,分段标准是使每一段上的函数表达式确定, 反思与感悟 按照原分段函数的分段情况即可;对于含绝对值的函数,可转化为分段函数. 跟踪训练 2 求? 1 -1 2 x≤0, ?x , 设 f(x)=? ?cos x-1, x>0, f(x)dx. 1 -1 解 ? f(x)dx=? 0 -1 x2dx+? 1 0(cos x-1)dx 1 2 1 = x3|0 -1+(sin x-x)|0=sin 1- . 3 3 探究点三 定积分的应用 例3 计算下列定积分: 2π π ?π 0 sin xdx ,? sin xdx,?

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