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走出导数应用的误区

走出导数应用的误区 一、走出导数定义应用中的误区

f ( x0 ? 4h) ? f ( x0 ) 。 h f ( x0 ? h) ? f ( x0 ) ? 2 ,当 h ? 0, 2h ? 0, ?4h ? 0 , 错解:由已知得: lim h ?0 h f ( x0 ? 4h) ? f ( x0 ) f ( x0 ? h) ? f ( x0 ) lim ?2 = lim h ?0 h ?0 h h 剖析:在导数的定义形式中,增量 ?x 的形式多种多样,但是有一点无论增量 ?x 选择哪种
例 1 已知 f '( x0 ) ? 2, 求 lim
h ?0







?y

























f '( x0 ) ? lim
h ?0

f ( x0 ? h) ? f ( x0 ) f ( x0 ? ah) ? f ( x0 ) ?y ? lim ? lim (其中 a 为非零常数) h ? 0 h ? 0 ?x h ah

上述错解的原因就是没有弄懂定义的实质。 正解:

lim
h ?0

f ( x0 ? 4h) ? f ( x0 ) h

=

?4 lim
h ?0

f ( x0 ? 4h) ? f ( x0 ) ?4h

=

?4 lim
h ?0

f ( x0 ? h) ? f ( x0 ) h

?4 f '( x0 ) ? ?8
二、走出导数几何意义应用中的误区
3 2 例 2 已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? 3x 在 x ? ?1 处取得极值。 (1)讨论 f (1) 和 f (?1) 是函数

f ( x) 的极大值还是极小值。 (2)过点 A(0,16) 作曲线 y ? f ( x) 的切线,求此切线方程。
错解: (1) f ( x) ? x ? 3x
3 2 ( 2 )由题意知 f '( x ) ? 3x ? 3,根据导数的几何意义知,曲线在点 A 处的切线斜率为

k ? f '(0) ? ?3 ,故切线方程为: y ? ?3x ? 16 。
剖析:导数的几何意义指的是:曲线 y ? f ( x) 在点 M ( x0 , f ( x0 )) 的切线的斜率等于函数

y ? f ( x) 在这一点处的导数值。应用导数的几何意义,要注意(1)要看点 M 在不在曲线
上,若不在曲线上,则一定不是切点,此时要设切点; (2)要看所求的切线是“在点 M 处 的”还是“过点 M 处的” ,具备了(1)且在点 M 处的切线的斜率一定是该点的导数值;具 备了(1)且过点 M 的切线的斜率不一定是该点的导数值,要设切点。而该题中的点 A 根 本就不在曲线上,因而要求切点。 正解:由于点 A(0,16) 不在曲线上,故设切点 M ( x0 , x03 ? 3x0 ) ,又因为 f '( x) ? 3x ? 3, 所
2

以切线的斜率 k ? f '( x0 ) ? 3( x02 ?1) ,切线方程为: y ? ( x03 ? 3x0 ) ? 3( x02 ?1)( x ? x0 ) ,

将点 A(0,16) 代入得: x0 ? ?2 ,从而切线方程为: 9 x ? y ? 16 ? 0 。 三、走出用导数处理函数单调性中的误区 例 3 已知函数 f ( x) ? ax3 ? 2 x 2 ? x ? 1是 R 上的减函数,求 a 取值范围。 错解:函数 f ( x) ? ax3 ? 2 x 2 ? x ? 1的导函数 f '( x) ? 3ax2 ? 4 x ?1 ,依题意 f '( x) ? 0 恒成 立,故 ?

?a ? 0 4 4 解得: a ? ? 。因此 a 的范围是 a ? ? 。 3 3 ?? ? 16 ? 12a ? 0

剖析:函数 f ( x ) 在某一区间上有 f '( x) ? 0 ,则函数在此区间上为减函数,反之不一定。反 例: y ? ? x3 为 R 上的减函数,导数满足 y ' ? ?3x2 ? 0 ;其中有限个点满足 y ' ? 0 ,但是 这并不影响函数的单调性, 这就是说函数 f '( x) ? 0 不是单调递减的充要条件。 事实上,f ( x ) 在某一区间上单调递减的充要条件为: f '( x) ? 0 且满足 f '( x) ? 0 的点为有限个。 正解:函数 f ( x) ? ax3 ? 2 x 2 ? x ? 1的导函数 f '( x) ? 3ax2 ? 4 x ?1 ,依题意 f '( x) ? 0 恒成 立, 故?

?a ? 0 4 4 解得:a ? ? ; 又 f '( x) ? 0 时 a ? ? , 而此时满足 f '( x) ? 0 的 3 3 ?? ? 16 ? 12a ? 0
4 。 3
2

点为有限个。从而 a 的范围是 a ? ?

四、走出用导数处理函数最值与极值中的误区 例4 函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? a 在 x ? 1 处有极值 10,求 a , b
3 2

错解: 由题意 f '( x) ? 3x2 ? 2ax ? b , 则?

) (' 0 ? ? f1 代入得 a ? 4, b ? ?11 或 a ? ?3, b ? 3 ) ( 1 0 ? ? f1

剖析: 本题解法错误在于认为导数为零的点就是极值点, 事实上 f '( x0 ) ? 0 是它为 f ( x ) 的 极值点的必要不充分条件。例如: f ( x) ? x ,在 x ? 0 处的导数为零,但是它不是其极值
3

点。
2 正解:当 a ? ?3, b ? 3 时, f '( x) ? 3( x ? 1) ,由此可知导数 f '( x) 在 x ? 1 两侧附近符号

相同,故在 x ? 1 处取不到极值。而当 a ? 4, b ? ?11 时, f '( x) ? (3x ? 11)(x ? 1),此时 导数 f '( x) 在 x ? 1 两侧附近符号不同,故在 x ? 1 处取到极值。故 a ? 4, b ? ?11 。


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