当前位置:首页 >> 数学 >>

最新2019-2020高中数学必修二:1.3-1柱体、椎体、台体的表面积与体积优质课件_图文

高中数学课件
精心整理 欢迎使用

1.3 空间几何体的表面积与体积

zxxkw

学科网

学.科.网
1.3.1 柱体、锥体、台体的表 面积与体积

2

一、柱体、锥体、台体的表面积
在初中已经学过了正方体和长方体的表面积,你 知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗?

几何体表面积

展开图

空间问题

平面图形面积 平面问题

3

引入新课
正方体、长方体是由多个平面围成的几何体,它 们的表面积就是各个面的面积的和.
因此,zxxkw 我们可以把它们展成平面图形,利用平面 图形求面积的方法,求立体图形的表面积.
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何 体,它们的展开图是什么?如何计算它们的表面积?
4

棱柱的展开图
棱柱的侧面展开图是什么?如何计算它的表 面积?
h
正棱柱的侧面展开图
5

棱锥的展开图
棱锥的侧面展开图是什么?如何计算它的表 面积?

正棱锥的侧面展开图

h/ h/
6

棱锥的展开图
棱锥的侧面展开图是什么?如何计算它的表 面积?
zxxkw
侧面展开 学.科.网

h' 正棱锥的侧面展开图

h'
7

棱锥的展开图
棱台的侧面展开图是什么?如何计算它的表 面积?
侧面展开
h' h'
正棱台的侧面展开图
8

棱柱、棱锥、棱台 的表面积

h'

h'

棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何 体,它们的侧面展开图还是平面图形,计算它们的表面 积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和.

9

圆锥的侧面展开图的形状有哪些特征? 如果圆锥的底面半径为r,母线长为l, 那么圆锥的表面积公式是什么?
1 ? 2? rl ? ? rl
2
S ? ? r(r ? l)

10

典型例题

例1 已知棱长为a,各面均为等边三角形的四面 体S-ABC,求它的表面积.

分析:四面体的展开图是由四个全等的正三角形

组成.

zxxkw

S 解:先求?ABC的面积,过点S作 SD ? BC,

交BC于点D.

A

因为BC=a,SD ? SB ?sin 60? ? 3 a

2

BD

C

所以:S?ABC

?

1 2

BC ? SD

?

1 2

a?

3a? 2

3 a2 4

因此,四面体S-ABC的表面积.

11

圆柱的表面积
r O? l 2?r
O 圆柱的侧面展开图是矩形
S圆柱表面积 ? 2?r 2 ? 2?rl ? 2?r(r ? l)
12

圆锥的表面积
2?r l rO
圆锥的侧面展开图是扇形
S圆锥表面积 ? ?r 2 ? ?rl ? ?r(r ? l)
13

圆台的表面积
参照圆柱和圆锥的侧面展开图,试想象圆台的侧 面展开图是什么.

2?r'

r ' O’

2?r

l

rO
圆台的侧面展开图是扇环
S圆台表面积 ? ? (r?2 ? r 2 ? r?l ? rl)
14

三者之间关系

圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关 系?

r O?
l
O

r’ 上=底扩r 大

r ' O’

l r’=

rO

上0底缩小

l rO

S柱 ? 2?r(r ? l) S台 ? ? (r?2 ? r 2 ? r?l ? rl) S锥 ? ?r(r ? l)

15

典型例题

例2 如图,一个圆台形花盆盆口直径20 cm,盆

底直径为15cm,底部渗水圆孔直径为1.5 cm,盆壁长

15cm.那么花盆的表面积约是多少平方厘米( ? 取

3.14,结果精确到1 cm2 )?

20cm

解:由圆台的表面积公式得

花盆的表面积:

15cm

S

?

?

???? 15

??2

?

15

?15 ?

20

? ?15?

??

?? 1.5

??2

15cm

??? 2 ? 2

2 ?? ? 2 ?

? 999(cm2 )

答:花盆的表面积约是999 cm2 .

16

二、柱体、锥体、台体的体积 柱体体积
以前学过特殊的棱柱——正方体、长方体以及圆柱 的体积公式,它们的体积公式可以统一为:
V ? Sh(S为底面面积,h为高).
一般棱柱体积也是:
V ? Sh
其中S为底面面积,h为棱柱的高.
17

V ? Sh

高h
底面积S
18

圆锥体积
圆锥的体积公式:
V ? 1 Sh (其中S为底面面积,h为高) 3
圆锥体积等于同底等高的圆柱的体积的 1 . 3
19

棱锥体积
探究棱锥与同底等高的棱柱体积之间的关系.
三棱锥与同底等高的三棱柱的关系
20

例2 一个三棱柱可以分割成几个三棱锥?

C1

B1 C1

B1

A1

A1

C

BC

B

A

A

21

将一个三棱柱按如图所示分解成三 个三棱锥,那么这三个三棱锥的体积有 什么关系?它们与三棱柱的体积有什么 关系?

3 2
1 1

3 2

22

锥体体积
经过探究得知,棱锥也是同底等高的棱柱体积 的 1 .即棱锥的体积:
3
V ? 1 Sh(其中S为底面面积,h为高) 3
由此可知,棱柱与圆柱的体积公式类似,都是底 面面积乘高;棱锥与圆锥的体积公式类似,都是等于 底面面积乘高的 1 .
3
23

推广到一般的棱锥和圆锥,你猜想锥体 的体积公式是什么?
V ? 1 Sh 3
高h
底面积S
24

台体体积

根据台体的特征,如何求台体的体积?

P

由于圆台(棱台)是由圆锥(棱 锥)截成的,因此可以利用两个锥 体的体积差.得到圆台(棱台)的 体积公式(过程略).
A
V ? VP? ABCD ? VP? A?B?C?D?
? 1 (S? ? S?S ? S)h 3

A?

D?

S?

C?

B?

h

D

S C
B

25

台体体积
棱台(圆台)的体积公式
V ? 1 (S? ? S?S ? S)h 3
其中 S , S? 分别为上、下底面面积,h为圆台
(棱台)的高.
26

台体体积
柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系?

上底扩大

上底缩小

V ? Sh

S? ? 0 V ? 1 (S??
3

S?S ? S)h S? ? S

V ? 1 Sh 3

S为底面面积, S分别为上、下底面

S为底面面积,

h为锥体高

面积,h 为台体高

h为柱体高

27

典型例题

例3 有一堆规格相同的铁制(铁的密度是 7.8g / cm3 )六角螺帽共重5.8kg,已知底面是正六边 形,边长为12mm,内孔直径为10mm,高为10mm,
问这堆螺帽大约有多少个( ? 取3.14)?
解:六角螺帽的体积是六棱柱
的体积与圆柱体积之差,即:

V ? 3 ?122 ? 6?10 ? 3.14? (10)2 ?10

4

2

? 2956(mm3)

? 2.956(cm3)

所以螺帽的个数为 5.8?1000 ? (7.8? 2.956) ? 252(个)

答:这堆螺帽大约有252个.

28

知识小结
柱体、锥体、台体的表面积 展开图

圆柱 S ? 2?r(r ? l) r ? r?
圆台S ? ? (r?2 ? r 2 ? r?l ? rl)
r? ? 0 圆锥 S ? ?r(r ? l)

各面面积之和
29

知识小结
柱体、锥体、台体的体积

柱体V ? Sh
S ? S'
台体V ? 1 (S? ? S?S ? S)h
3
S'? 0
锥体V ? 1 Sh
3
30

作业:
P28习题1.3 A组: 2,3. 第4题书上完成.
31