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2012-2013学年高中数学常见题型解决方法归纳、反馈训练及详细解析 专题02 函数定义域的求法

第 02 讲:函数定义域的求法
【考纲要求】 了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域 。
【基础知识】 一、函数的定义域的定义 函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围。 二、求函数的定义域的主要依据 1、分式的分母不能为零。
6、正切函数 y = tan x 的定义域是{x | x ≠ kπ + π , k ∈ z} 。 2
7、余切函数 y = cot x 的定义域为{x | x ≠ kπ , k ∈ z}。
8、复合函数的定义域的求法
(1)已知原函数 f (x) 的定义域为 (a, b) ,求复合函数 f [g(x)] 的定义域:只需解 不等式 a < g(x) < b ,不等式的解集即为所求函数的定义域。
10、求含有字母参数的函数的定义域 一般要根据情况分类讨论。 11、求实际问题中函数的定义域 不仅要考虑解析式有意义,还要保证满足实际意义。 三、函数的定义域的表示 函数的定义域必须用集合表示,不能用不等式表示。函数的定义域也可以用区间表示,
因为区间实际上是集合的一种特殊表示形式。

四、求函数的定义域常用的方法有直接法、求交法、抽象复合法和实际法。 五、函数的问题,必须遵循“定义域优先”的原则。 研究函数的问题,不管是具体的函数,还是抽象的函数,不管是简单的函数,还是复杂 的函数,必须优先考虑函数的定义域。之所以要做到这一点,不仅是为了防止出现错误,有 时还会为解题带来方便。 【方法讲评】

方法二

求交法

使用情景 函数是由一些函数四则运算得到的,即函数的形式为 f (x) = g(x) + h(x) 型。

解题步骤

一般先分别求函数 g(x) 和 h(x) 的定义域 A 和 B ,再求 A ∩ B , A ∩ B 就是函 数 f (x) 的定义域。

例 2 求函数 y = 25 ? x2 + log3 cos x 的定义域。

方根的被开方数是非负数,对数函数的真数大于零,列不等式求函数的定义域时,必须考虑
全面,不能漏掉限制条件。(3)解不等式 cos x > 0 时,主要是利用余弦函数的图像解答。(4)

??5 ≤ x ≤ 5



? ???2kπ

?

π 2

<

x

<

2kπ

+

π 2

的解集时,只需给参数 k 赋几个整数值,再通过数轴求交 k∈z

集。(5)注意等号的问题,其中只要有一个错误,整个解集就是错误的,所以要仔细认真。

例 3 求函数 y = lg(x ? x2 ) + (3x ? 2)0 的定义域 | x + 3 | ?3

例 4 求函数 y = loga (ax ?1) (a > 0且a ≠ 1) 的定义域。
解:由题得
ax ?1 > 0 ∴ax > 1=a0 当a > 1时,x>0;当0<a<1时,x<0. ∴当a > 1时,函数的定义域为{x|x>0}, 当0<a < 1时,函数的定义域为{x|x<0}.
【点评】(1)求含有参数的函数的定义域时,注意在适当的地方分类讨论。(2)对于指数
函数和对数函数,如果已知条件中,没有给定底数 a 的取值范围,一般要分类讨论。

【变式演练 2】 求函数 y = ln(ax ?1) +

1

的定义域。

?x2 ? 2x + 3

方法三 使用情景
解题步骤

抽象复合法 涉及到抽象复合函数。
利用抽象复合函数的性质解答:(1)已知原函数 f (x) 的定义域为 (a, b) ,求

复合函数 f [g(x)] 的定义域:只需解不等式 a < g(x) < b ,不等式的解集即 为所求函数的定义域。(2)已知复合函数 f [g(x)] 的定义域为 (a, b) ,求原 函数 f (x) 的定义域:只需根据 a < x < b 求出函数 g(x) 的值域,即得原函数
f (x) 的定义域。

例 5 求下列函数的定义域:
(1)已知函数 (f x)的定义域为 [?2, 2] ,求函数 y = f (x2 ?1) 的定义域。

(2)已知函数 y = f (2x + 4) 的定义域为 [0,1] ,求函数 (f x)的定义域。

(3)已知函数 (f x)的定义域为 [?1, 2] ,求函数 y = f (x +1) ? f (x2 ?1) 的定义域。

解:(1)令-2≤ x2 —1≤2 得-1≤ x2 ≤3,即 0≤ x2 ≤3,从而 - 3 ≤ x ≤ 3

∴函数 y = f (x2 ?1) 的定义域为[? 3, 3] 。

(2)∵ y = f (2x + 4) 的定义域为[0,1] ,即在 y = f (2x + 4) 中 x ∈[0,1] ,令 t = 2x + 4 ,

x ∈[0,1] ,则 t ∈[4, 6] ,即在 f (t) 中, t ∈[4, 6] ∴ (f x)的定义域为 [4, 6] 。

??1 ≤ x +1 ≤ 2

(3)由题得

? ??1



x2

?1



2

∴?

3 ≤ x≤1

∴函数 y = f (x +1) ? f (x2 ?1) 的定义域为[? 3,1] 。

【变式演练 3】 已知函数 y = f (tan 2x) 的定义域为 [0, π ] ,求函数 f (x) 的定义域。 8

【变式演练

4】

若函数

y

=

f

(

x)

的定义域为

? ??

1 2

,2???

,求函数

f (log2

x) 的定义域。

例 6 用长为 L 的铁丝编成下部为矩形,上部为半圆形的框架(如图所示 )。若矩形底边 长为 2x ,求此框架围成的面积 y 与关于 x 的函数解析式,并求出它的定义域。

解:如图,设 AB = 2x ,则 C?D = π x ,于是 AD = L-2x-πx
2

因此 y = 2x ? L-2x-πx +πx2

2

2

即 y =-π+4 x2+Lx
2

?2x>0

再由题得

? ? ??

L-2x-πx 2

>0

解之得 0< x < L
2+π

所以函数解析式是 y =-π+4 x2+Lx ,函数的定义域是 (0, L ) 。

2

π +2

【变式演练 5】 一个圆柱形容器的底部直径是 dcm ,高是 hcm .现在以 vcm3 / s 的速度 向容器内注入某种溶液.求容器内溶液的高度 xcm 关于注入溶液的时间 ts 的函数解析式,并
写出函数的定义域和值域.
【高考精选传真】

1、.【2012 高考真题江西理 2】下列函数中,与函数 y = 1 定义域相同的函数为( ) 3x

A. y = 1 sin x

ln x B. y =

C.y= xex

sin x D. y =

x

x

2.【2012 高考真题江苏理 5】函数 f (x) = 1 ? 2 log6 x 的定义域为



【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件,得

?x > 0 ??1 ? 2log6

x



0

?

?x > 0 ? ? ??log6 x



1 2

?

?? x ? ?? x

> ≤

0
1
62

=

? 0< x ≤ 6

6。

( 所以函数的定义域为 0, 6 ??

【反馈训练】

1、设 a∈(0,1),则函数 y= loga (x ?1) 的定义域是( )

A、(1,2]

B、(1,+∞)

C、[2,+∞)

D、(﹣∞,2]

2、设 f(2x﹣1)=2x﹣1,则 f(x)的定义域是



3、设函数 y=lg(x2﹣x﹣2)的定义域为 A,,函数 y=

的定义域为 B,则 A∩B= .

4、设函数 f(x)的定义域是[0,1],求函数 f(x2)的定义域.
5、求函数 y=lgtanx+ 1 的定义域。 16 ? x2

6、设

f

(x) =

1+ ln

x ,求函数 g(x) =

f (x)+

f ( 1 ) 的定义域。

1? x

2x

7、某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为 x、y(单位:m)的矩形.
上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积 8cm2. 问 x、y 分别为多少(精确到 0.001m) 时用料最省?

8、如图,有一块半椭圆形钢板,其半轴长为 2r ,短半轴长为 r ,计划将此钢板切割成等

腰梯形的形状,下底 AB 是半椭圆的短轴,上底 CD 的端点在椭圆上,记 CD = 2x ,梯形面

积为 S .

(I)求面积 S 以 x 为自变量的函数式,并写出其定义域;

(II)求面积 S 的最大值.

D

C

4r

A

2r

B

当 a > 1 时 , 不 等 式 组 的 解 集 为 {x | 0 < x < 1} ; 当 0 < a < 1 时 , 不 等 式 组 的 解 集 为 {x | ?3 < x < 0} 。
所 以 当 a > 1 时 , 函 数 的 定 义 域 为 {x | 0 < x < 1} ; 当 0 < a < 1 时 , 函 数 的 定 义 域 为 {x | ?3 < x < 0} 。

【变式演练 3 详细解析】

由题得 0 ≤ x ≤ π ∴0 ≤ 2x ≤ π ∴0 ≤ tan 2x ≤ 1

8

4

所以函数的定义域为 [0,1]

向容器内注入溶液经历时间为 t 秒后,容器中溶液的高度为 xcm .



t

秒后溶液的体积为=底面积×高=π

? ?

d

? ?

2

x



vt

?2?

解之得: x = 4vt πd 2

又因为 0≤x≤h

即 0≤ 4vt ≤h πd2

?

0≤t≤πhd 2 4v

故函数的定义域为{ t |0≤ t ≤πhd2 },值域为{ x |0≤ x ≤ h } 4v
【反馈训练详细解答】
1. A【解析】由题得 loga(x﹣1)≥0, 且 x ?1 > 0 。因为 a∈(0,1),所以 0<x﹣1≤1,
x∈(1,2]。故选 A 2.(﹣1,+∞)【解析】∵x∈R ∴2x>0 ∴2x﹣1>﹣1 ∴f(x)的定义域是(﹣1,+∞) 3.(﹣∞,﹣2]∪(2,+∞)【解析】(﹣∞,﹣2]∪(2,+∞).由 x2﹣x﹣2>0,得 x<﹣1 或

x>2,故 A=(﹣∞,﹣1)∪(2,+∞).由 ≥0,得:x≤﹣2 或 x>﹣1, 故 B=(﹣∞, ﹣2]∪(﹣1,+∞). ∴A∩B=(﹣∞,﹣2]∪(2,+∞).

?tan x > 0

?? ?

x





+

π

k∈z



??kπ ?

<

x

<



+

π 2

k∈z

?

2

??16 ? x2 > 0

???4 < x < 4

∴函数的定义域为(-π,- π )∪(0,π )∪(π ,4 )

2

2

7. 【解析】由题意得

x2

xy+ 1 x2=8,∴y= 8 ?

4

8x = ? (0<x<4

2 ).

4

x x4

于是, 框架用料长度为

l=2x+2y+2( 2 x )=( 3 + 2 )x+ 16 ≥4 6 + 4 2 .

2

2

x

当( 3 + 2 )x= 16 ,即 x=8-4 2 时等号成立.

2

x

此时, x≈2.343,y=2 2 ≈2.828.
故当 x 为 2.343m,y 为 2.828m 时, 用料最省.

解得 y = 2 r2 ? x2 (0 < x < r) S = 1 (2x + 2r)i2 r2 ? x2
2 = 2(x + r)i r2 ? x2 ,
其定义域为{x 0 < x < r} .
(II)记 f (x) = 4(x + r)2 (r2 ? x2 ),0 < x < r ,
则 f ′(x) = 8(x + r)2 (r ? 2x) . 令 f ′(x) = 0 ,得 x = 1 r .
2

y

D

C

AO

Bx


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