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高中数学必修5:等比数列及其性质 知识点及经典例题(含答案)


等比数列及其性质 【知识概述】 等差数列 定义 如果一个数列从第二项起, 每一项与它的前一项的 差等于同一个常数,那么这个数列叫做等差数列 . 这个常数叫做等差数列的公差,公差常用字母 d 表示,即 an 通项公式 等比数列 如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等 于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫 做等比数列的公比,公比常用字母 q(q≠0)表示,即 ? an ?1 ? d (n ? N * , n ? 2) . an ? an?1 ? q(n ? N * , n ? 2, q ? 0) . an ? a1 ? (n ?1)d (n ? N ? ) an +1 ? an +d (n ? N ? ) 若 a,M,b 成等差数列,则 2M=a+b,称 M 为 a,b 的等差中项,即 M ? an ? a1q n?1 (n ? N ? , q ? 0) 递推公式 an +1 ? an q (n ? N ? , q ? 0) 若 a,G,b 成等比数列,则有 G2=ab,称 G 为 a, b 的等比 中项,即 G ? ? ab (a,b 同号) 中项公式 a +b 2 前 n 项和公 式 Sn ? na1 ? n(a1 ? an ) n(n ? 1) d? 2 2 a1 (1 ? qn ) a1 ? an q Sn ? ? (q ? 1) 1? q 1? q (1)若 m ? n (2) 若 简单性质 (m, n, p, q ? N*) (1)若 m+n=p+q,则 am (2) ? an ? ap ? aq ; ,特别地: ? p ? q ,则 am ? an ? ap ? aq ; ,则 m ? n ? 2p ,则 am ? an ? 2ap m ? n ? 2p am ? an ? a p 2 ;(特别地: 2am ? am?1 ? am?1 , 2am ? am?k +am?k ; (3) am 2 ? am?k am?k ) an 2 ? an?1 ? an?1 , am ? an ? (m ? n)d ; ? (2m ?1)am , S2 m?1 为前 2m-1 项的和 ? Sm , S3m ? S2m 仍为等差数列. (3) an ? am ? qn?m 2 m?1 , S2 m?1 为前 2m-1 项的和 ? am (4) S2 m?1 (4) S2 m?1 (5) Sm , S2m 通项公式推 导方法 前 n 项和公 式推导方法 倒序相加法 (5) Sm , S2m ? Sm , S3m ? S2m 仍为等比数列. 1.归纳法; 2.迭代法;3.累加法 1.归纳法; 2.迭代法;3.累乘法 错位相减法 1 数学·必修 5 【学前诊断】 1.[难度] 易 在等比数列 ?an ? 中, (1)如果 a6 ? 6 , a9 ? 9 ,那么 a3 = (2)若 a1 ? a2 ? a3 ? 7, a1 ? a2 ? a3 ? 8 ,则 an = 2.[难度] 易 等比数列 ?an ? 中, 2 (1)若 a3 和 a5 是二次方程 x ? kx ? 5 ? 0 的两个根,则 a2 a4 a6 = . . . . (2)若 a9 ? a10 ? a(a ? 0), a19 ? a20 ? b, 则 a99 ? a100 ? 3.[难度] 中 设 ?an ? 是由正数组成的等比数列, Sn 为其前 n 项和, (1)若 a2a4 ? 1 ,

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