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北京市海淀区学高二下期中考试数学理试题含答案

海淀区高二年级第二学期期中练习
数 学(理科)

学校

班级

姓名

成绩

2016.4

本试卷共 100 分.考试时间 90 分钟.

一、选择题:本大题共 8 小题, 每小题 4 分,共 32 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题

目要求的.

1.复数 z ?1? 2i 的虚部是
A. ?2 B. 2 C. ?2i 2.下列导数运算错.误.的是(

D. 2i )

A. (x?2 )' ? ?2x?1 B. (cos x)' ? ?sin x C. (xln x)' ?1? ln x D. (2x )' ? 2x ln 2

3. 函数 f (x) 的图象如图所示,则 f (x) 的极大值点的个数为( )

y

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

O

x

4.若函数 f (x) 的导函数 f '(x)? x( 2? x )e?x ,则下列关系一定成立的是

()

A. f (2) ? 0

B. f (0) ? f (1)

5. 已知两个命题:

C. f (2) ? f (1)

D. f (2) ? f (3)

p : “若复数 z1, z2 满足 z1 ? z2 ? 0 ,则 z1 ? z2 .”
q :“存在唯一的一个实数对 (a,b) 使得 a ? bi ? i(2 ? i) .” 其真假情况是( ) A. p 真 q 假 B. p 假 q 假 C. p 假 q 真 D. p 真 q 真
6.若小球自由落体的运动方程为 s(t) ? 1 gt2 ( g 为常数),该小球在 t ?1到 t ? 3 的平均速度为 v ,
2

在 t ? 2 的瞬时速度为 v2 ,则 v 和 v2 关系为( )

A. v ? v2

B. v ? v2

C. v ? v2

D.不能确定

7.如图,过原点斜率为 k 的直线与曲线 y ? ln x 交于两点 A(x1, y1) , B(x2 , y2 ) .

① k 的取值范围是 (0, 1) .
e

② 1 ?k? 1 .

x1

x2

y A x1

B x2 x

③ 当 x ?(x1, x2 ) 时, f (x) ? kx ? ln x 先减后增且恒为负.

以上结论中所有正确结论的序号是( )

A.①

B.①②

C.①③

D.②③

8.已知函数 f (x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d ,其导函数的图象如图所示,则函数

f (x) 的图象可能是( )

y

1

O1

x

y

y

y

y

O1

x

O1

x

O1

x

O1

x

A.

B.

C.

D.

二、填空题:本大题共 4 小题, 每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中横线上.

9.计算 1+2i =_________. i

? 10.

2
(x ? 3)dx ? _____________.

0

11.已知 f (x) ? x ,则 f '(x) ? ______________. x ?1

12. 方程 (x ?1)ex ?1 的解的个数为_______________.

三、解答题:本大题共 5 小题,共 52 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

13.(本小题 12 分)

已知函数 f (x) ? ax3 ? bx2 ? cx ,其导函数为 f ' (x) 的部分值如下表所示:

x

-3

-2

0

1

3

4

8

f '(x) -24

-10

6

8

0

-10

-90

根据表中数据,回答下列问题:
(Ⅰ)实数 c 的值为___________;当 x ? ________时, f (x) 取得极.大.值.(将答案填写在横线上). (Ⅱ)求实数 a , b 的值. (Ⅲ)若 f (x) 在 (m, m ? 2) 上单调递减,求 m 的取值范围.

14.(本小题 10 分)

如图,四棱锥 B ? ACDE 的底面 ACDE 满足 DE //AC,AC=2DE.

(Ⅰ)若 DC⊥平面 ABC, AB⊥BC,求证:平面 ABE⊥平面 BCD;

(Ⅱ)求证:在平面 ABE 内不存在直线与 DC 平行;

某同学用分析法证明第(1)问,用反证法证明第 (2)问,证明过程如下,请你在横线上填上合适

的内容.

(Ⅰ)证明:欲证平面 ABE ? 平面 BCD,

E

D

只需证_______________________________,

由已知 AB⊥BC,只需证_________________,
A
由已知 DC⊥平面 ABC 可得 DC⊥AB 成立, 所以平面 ABE⊥平面 BCD.
(Ⅱ)证明:假设________________________________________, 又因为 DC ? 平面 ABE ,所以 DC / / 平面 ABE . 又因为平面 ACDE 平面 ABE = AE ,
所以__________________, 又因为 DE //AC,所以 ACDE 是平行四边形,
所以 AC ? DE ,这与_______________________________矛盾, 所以假设错误,原结论正确.

C B

15.(本小题 12 分)

已知函数 f (x) ? ln x ? ax ( a ?R ).
(Ⅰ)若函数 f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与直线 y ? 2x 平行,求实数 a 的值及该切线方程; (Ⅱ)若对任意的 x ? (0,??) ,都有 f (x) ? 1 成立,求实数 a 的取值范围.
16. (本小题 8 分)

请阅读问题 1 的解答过程,然后借鉴问题 1 的解题思路完成问题 2 的解答:
问题 1:已知数集 A ? ?a1, a2 , an??1 ? a1 ? a2 ? ? an , n ? 2? 具有性质 P :

对任意的 i,

j ?1 ? i ?

j

?

n

?

,ai

a

j



aj ai

两数中至少有一个属于 A .若数集?a1, 2,3, a4? 具有性质 P ,

求 a1, a4 的值.

解:对于集合中最大的数 a4 ,因为 a4 ? a4 ? a4 , 3? a4 ? a4 , 2 ? a4 ? a4 .

所以 a4 , a4 , a4 都属于该集合. a4 3 2

又因为1 ? a1

?2?3?

a4

,所以

a4 a4

?

a4 3

?

a4 2

?

a4

.

所以 a1

?

a4 a4

?1,

a4 3

? 2, a4 2

? 3 ,故 a1

?1, a4

?6.

问题 2:已知数集 A ? ?a1, a2 , an??0 ? a1 ? a2 ? ? an , n ? 2? 具有性质 P : 对任意的 i, j ?1 ? i ? j ? n? , ai ? a j 与 a j ? ai 两数中至少有一个属于 A .若数集?a1,1,3, a4? 具有性

质 P ,求 a1, a4 的值.

17. (本小题 10 分)

已知函数

f

(x)

?

1 x

(x

?

0)

,对于正数

x1 ,

x2

,…,

xn

(n∈N+),记

Sn

?

x1

?

x2

?

? xn ,如

图,由点 (0, 0) , (xi , 0) , (xi , f (xi )) , (0, f (xi )) 构成的矩形的周长为 Ci (i ? 1, 2, , n) ,都满足

Ci ? 4Si (i ? 1, 2, ,n) .

y

(Ⅰ)求 x1 ;

f (xi ) (xi , f (xi ))

(Ⅱ)猜想 xn 的表达式(用 n 表示),并用数学归纳法证明.

O xi

x

海淀区高二年级第二学期期中练习参考答案

数 学(理科)

一、选择题:本大题共 8 小题, 每小题 4 分,共 32 分.

AABD CCCD

二、填空题:本大题共 4 小题, 每小题 4 分,共 16 分.

9. 2 ? i

10. ?4

1 11. ? (x ?1)2

12. 1

2016.4

三、解答题:本大题共 5 小题,共 52 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

13.(本小题 12 分)

(Ⅰ)6,3.

------------------------------------------------------------------4 分

(Ⅱ)解: f '(x) ? 3ax2 ? 2bx ? c ,--------------------------------------------------------------5 分

由已知表格可得

? ? ?

f f

'(1) '(3)

? ?

8, 0,

解得

??a ? ? 2 ?3 ?? b ? 2.

,

---------------------------------------------7



(Ⅲ)解:由(Ⅱ)可得 f '(x) ? ?2x2 ? 4x ? 6 ? ?2(x ? 3)(x ?1) ,-----------------------8 分

由 f '(x) ? 0可得 x ?(??,?1) (3,??) ,------------------------------------------------9 分
因为 f (x) 在 (m, m ? 2) 上单调递减, 所以仅需 m ? 2 ? ?1或者 m ? 3, ------------------------------------------------------11 分 所以 m 的取值范为 m ? 3 或 m ? ?3 .-----------------------------------------------------12 分 14.(本小题 10 分)
(Ⅰ)证明:欲证平面 ABE ? 平面 BCD, 只需证 AB ?平面 BCD , ---------------------------------------------------------------2 分 由已知 AB⊥BC,只需证 AB ? DC ,----------------------------------------------------4 分 由已知 DC⊥平面 ABC 可得 DC⊥AB 成立, 所以平面 ABE⊥平面 BCD.

(Ⅱ)证明:假设在平面 ABE 内存在直线与 DC 平行,------------------------------------6 分

又因为 DC ? 平面 ABE ,所以 DC / / 平面 ABE .

又因为平面 ACDE 平面 ABE = AE ,

所以 DC // AE ,

------------------------------------------8 分

又因为 DE //AC,所以 ACDE 是平行四边形,

所以 AC ? DE ,这与 AC ? 2DE 矛盾,-----------------------------------------------10 分

所以假设错误,原结论正确.

15.(本小题 12 分)

(Ⅰ)解: f '(x) ? 1 ? a ? 1? ax , x ? 0 .----------------------------------------------------------2 分

x

x

由已知可得 f '(1) ?1? a ? 2 ,解得 a ?1.---------------------------------------------------3 分

因为 f (1) ?1,所以在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 2x ?1.------------------------4 分

(Ⅱ)解 1:若对任意 x ? (0,??) ,都有 f (x) ? 1 成立,即 a ? 1? ln x 成立.------------6 分
x

设 g(x) ? 1? ln x , x

--------------------------------------------------------------7 分

g

'(x)

?

ln

x? x2

2

,令

g

'(x)

?

0

,解得

x

?

e2



则 g '(x), g(x) 的情况如下:

x g '(x) g(x)

(0,e2 ) ?

e2

(e2 ? ?)

0

?

---------------------------------------------9 分

所以 g(x) 的最小值为 g(e2 ) ? ?e?2 , ------------------------------------------10 分

所以,依题意只需实数 a 满足 a ? ?e?2 ,---------------------------------------11 分

故所求 a 的取值范围是 (??, ?e?2 ] . --------------------------------------------12 分

解 2:当 a ? 0 时, f '(x) ? 0 恒成立,所以函数 f (x) 的单调递增区间为 (0,??)

又因为 f (1? 1) ? ln(1? 1) ? a ?1 ?1 ,所以不符题意,舍.--------------------6 分

a

a

当 a ? 0 时,令 f '(x) ? 0 ,得 x ? ? 1 .----------------------------------------------7 分 a
所以 f '(x), f (x) 随 x 的变化如下表所示:

x

(0,? 1) ? 1

(? 1 , ??)

a

a

a

f '(x)

?

0

?

f (x)

-----------------------------------------9 分

所以 f (x) 的最大值为 f (? 1) ,------------------------------------------------------10 分 a

所以,依题意只需 f (? 1) ? ln(? 1) ?1?1 即可,解得 a ? ?e?2 .---------------11 分

a

a

综上, a 的取值范围是 (??, ?e?2 ] .---------------------------------------------------12 分

16. (本小题 8 分) 解:对于集合中最大的数 a4 ,因为 a4 ? a4 ? a4 , 3 ? a4 ? a4 ,1? a4 ? a4 -----------------2 分

所以 a4 ? a4 , a4 ? 3 , a4 ?1, a4 ? a1 都属于该集合.--------------------------------------------4 分

又因为 0 ? a1 ?1 ? 3 ? a4 ,所以 a4 ? a4 ? a4 ? 3 ? a4 ?1 ? a4 ? a1 .-----------------------6 分

所以 a1 ? a4 ? a4 ? 0 , a4 ? 3 ? 1,------------------------------------------------------------------7 分

即 a1 ? 0, a4 ? 4 .-------------------------------------------------------------------------------------8 分 17. (本小题 10 分)

(Ⅰ)解:由题意知, Ci

?

2( xi

?

f

(xi ))

?

2( xi

?

1 xi

)

(i

? 1, 2,

, n) ,

所以

2Si

?

xi

?

1 xi

(i ?1,2,

, n) .--------------------------------------------------------------1 分



i=1,得

2S1

?

x1

?

1 x1



又 S1 ? x1 ,且 x1 >0,故 x1 ?1 .---------------------------------------------------------------2 分

(Ⅱ)解:令

i=2,得

2S2

?

x2

?

1 x2



又 S2 ? x1 ? x2 , x1 ?1 ,且 x2 >0,故 x2 ? 2 ?1 ;------------------------------------3 分



i=3,得

2S3

?

x3

?

1 x3



又 S3 ? x1 ? x2 ? x3 , x1 ?1 , x2 ? 2 ?1 ,且 x3 >0,故 x3 ? 3 ? 2 ;----------4 分

由此猜想, xn ? n ? n ?1 (n∈N+).-------------------------------------------------------5 分 下面用数学归纳法证明: ①当 n=1 时, x1 ?1 ,命题成立;---------------------------------------------------------6 分

②假设 n=k 时命题成立,即 xk ? k ? k ?1 (k∈N+), -----------------------------7 分

则当 n=k+1 时, 2Sk?1 ? xk?1 ?

1 xk ?1

,又

Sk ?1

?

Sk

? xk?1 , 2Sk

? xk

?

1 xk



故 (xk

?

1 xk

)

?

2xk ?1

?

xk ?1

?

1 xk ?1



由 xk ?

k?

k

?1

,得

x2 k ?1

?

2

k xk?1 ?1 ? 0 ,--------------------------------------8 分

所以 xk?1 ? k ? 1 ? k ( ? k ?1 ? k 舍去).-------------------------------------------9 分 即当 n=k+1 时命题成立。 综上所述,对任意自然数 n,都有 xn ? n ? n ?1 成立.--------------------------------10 分


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