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2017年高考真题—数学文(全国Ⅰ卷)Word版


绝密★启用前

2017 年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学
本试卷共 5 页,满分 150 分。 考生注意: 1.答卷前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡 上粘贴的条形码的―准考证号、姓名、考试科目‖与考生本人准考证号、姓名是否一致。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3.考试结束后,监考员将试题卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.已知集合 A= ?x|x ? 2? ,B= ?x|3 ? 2 x ? 0? ,则
3? ? A.A ? B= ? x|x ? ? 2? ? 3? ? C.A ? B ? ? x|x ? ? 2? ?

B.A ? B ? ? D.A ? B=R

【答案】A 【解析】由 3 ? 2 x ? 0 得 x ?

3 3 3 ,所以 A ? B ? {x | x ? 2} ? {x | x ? } ? {x | x ? } ,选 A. 2 2 2

2.为评估一种农作物的种植效果,选了 n 块地作试验田.这 n 块地的亩产量(单位:kg)分别 为 x1,x2,…,xn,下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是 A.x1,x2,…,xn 的平均数 C.x1,x2,…,xn 的最大值 【答案】B 【解析】刻画评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差,故选 B 3.下列各式的运算结果为纯虚数的是 A.i(1+i)2 【答案】C B.i2(1-i) C.(1+i)2 D.i(1+i) B.x1,x2,…,xn 的标准差 D.x1,x2,…,xn 的中位数

-1-

【解析】由 (1 ? i)2 ? 2i 为纯虚数知选 C. 4.如图,正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部 分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点, 学 科&网则此点取自黑色部分的 概率是

A.

1 4

B.

π 8

C.

1 2

D.

π 4

【答案】B

5.已知 F 是双曲线 C:x2-

y2 =1 的右焦点,P 是 C 上一点,且 PF 与 x 轴垂直,点 A 的坐 3

标是(1,3).则△ APF 的面积为 A.
1 3

B.

1 2

C.

2 3

D.

3 2

【答案】D

y2 ? 1,得 y ? ?3 , 【解析】由 c ? a ? b ? 4 得 c ? 2 ,所以 F (2, 0) ,将 x ? 2 代入 x ? 3
2 2 2

2

所以 PF ? 3 ,又 A 的坐标是(1,3),故 APF 的面积为

1 3 ? 3 ? (2 ? 1) ? ,选 D. 2 2

6.如图,在下列四个正方体中,A,B 为正方体的两个顶点,M,N,Q 为所在棱的中点,则 在这四个正方体中,直接 AB 与平面 MNQ 不平行的是

-2-

【答案】A 【解析】 由 B, AB∥MQ, 则直线 AB∥平面 MNQ; 由 C, AB∥MQ, 则直线 AB∥平面 MNQ; 由 D,AB∥NQ,则直线 AB∥平面 MNQ.故 A 不满足,选 A.
? x ? 3 y ? 3, ? 7.设 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 1, 则 z=x+y 的最大值为 ? y ? 0, ?

A.0 【答案】D

B.1

C.2

D.3

【解析】如图,目标函数 z ? x ? y 经过 A(3, 0) 时最大,故 zmax ? 3 ? 0 ? 3 ,故选 D.

8..函数 y ?

sin2 x 的部分图像大致为 1 ? cos x

-3-

【答案】C 【解析】由题意知,函数 y ? 当 x ? 1 时, y ?

sin 2 x 为奇函数,故排除 B;当 x ? ? 时, y ? 0 ,排除 D; 1 ? cos x

sin 2 ? 0 ,排除 A.故选 C. 1 ? cos 2

9.已知函数 f (x) ? lnx ? ln(2 ? x) ,则 A. f (x) 在(0,2)单调递增 C.y= f (x) 的图像关于直线 x=1 对称 【答案】C B. f (x) 在(0,2)单调递减 D.y= f (x) 的图像关于点(1,0)对称

10.如图是为了求出满足 3n ? 2n ? 1000 的最小偶数 n,学|科网那么在 框中,可以分别填入



两个空白

-4-

A.A>1000 和 n=n+1 C.A≤1000 和 n=n+1 【答案】D

B.A>1000 和 n=n+2 D.A≤1000 和 n=n+2

【解析】由题意选择 3 ? 2 ? 1000 ,则判定框内填 A ? 1000 ,由因为选择偶数,所以矩形
n n

框内填 n ? n ? 2 ,故选 D. 11.△ ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c。已知 sin B ? sin A(sin C ? cos C) ? 0 , a=2,c= 2 ,则 C= A.

π 12

B.

π 6

C.

π 4

D.

π 3

【答案】B 【解析】由题意 sin( A ? C ) ? sin A(sin C ? cos C ) ? 0 得

sin A cos C ? cos A sin C ? sin A sin C ? sin A cos C ? 0 ,
即 sin C (sin A ? cos A) ?

? 3? 2 sin C sin( A ? ) ? 0 ,所以 A ? . 4 4

由正弦定理

a c 1 ? 2 2 ? ? 得 ,即 sin C ? ,得 C ? ,故选 B. sin A sin C sin 3? sin C 2 6 4

x2 y 2 12.设 A、B 是椭圆 C: , ? ? 1 长轴的两个端点,若 C 上存在点 M 满足∠AMB=120° 3 m
则 m 的取值范围是 A. (0,1] ? [9, ??) B. (0, 3] ? [9, ??)

-5-

C. (0,1] ? [4, ??) 【答案】A

D. (0, 3] ? [4, ??)

【 解 析 】 当 0 ? m ? 3 , 焦 点 在 x 轴 上 , 要 使 C 上 存 在 点 M 满 足 ?AMB ? 120 , 则
?

a ? ? t an 60 ? b

3 ,即

3 ? 3 ,得 0 ? m ? 1 ;当 m ? 3 ,焦点在 y 轴上,要使 C 上存在 m
?

点 M 满足 ?AMB ? 120 ,则 为 (0,1] ? [9, ??) ,选 A.

a m ? tan60 ? ? 3 ,即 ? 3 ,得 m ? 9 ,故 m 的取值范围 b 3

二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.已知向量 a=(–1,2),b=(m,1).若向量 a+b 与 a 垂直,则 m=______________. 【答案】7 【解析】由题得 a ? b ? (m ?1,3) 因为 (a ? b) ? a ? 0 所以 ?(m ? 1) ? 2 ? 3 ? 0 解得 m ? 7
2 14.曲线 y ? x ?

? ?

? ? ?

1 在点(1,2)处的切线方程为_________________________. x

【答案】 y ? x ? 1 【解析】设 y ? f ( x) 则 f ?( x) ? 2 x ?

1 x2

所以 f ?(1) ? 2 ? 1 ? 1 所以在 (1, 2) 处的切线方程为 y ? 2 ? 1? ( x ? 1) ,即 y ? x ? 1
π π 15.已知 a ? (0, ) ,tan α=2,则 cos (? ? ) =__________。 4 2

【答案】

3 10 10

-6-

16.已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,SC 是球 O 的直径。若平面 SCA⊥平 面 SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥 S-ABC 的体积为 9,则球 O 的表面积为________。 【答案】 36? 【解析】取 SC 的中点 O ,连接 OA, OB 因为 SA ? AC, SB ? BC 所以 OA ? SC , OB ? SC 因为平面 SAC ? 平面 SBC 所以 OA ? 平面 SBC 设 OA ? r

1 1 1 1 VA? SBC ? ? S?SBC ? OA ? ? ? 2r ? r ? r ? r 3 3 3 2 3 1 3 所以 r ? 9 ? r ? 3 3
所以球的表面积为 4? r ? 36?
2

三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题, 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:60 分。 17.(12 分) 记 Sn 为等比数列 ?an ? 的前 n 项和,已知 S2=2,S3=-6.
-7-

(1)求 ?an ? 的通项公式; (2)求 Sn,并判断 Sn+1,Sn,Sn+2 是否成等差数列。

18.(12 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,AB//CD,且 ?BAP ? ?CDP ? 90?

(1)证明:平面 PAB⊥平面 PAD; (2)若 PA=PD=AB=DC, ?APD ? 90? ,且四棱锥 P-ABCD 的体积为 面积.

8 ,求该四棱锥的侧 3

-8-

【解析】①∵ ?BAP ? 90? ? AB ? PA

?CDP ? 90? ? CD ? PD

∵ AB ? CD, PA ? PD ? P ∴ AB ? 平面PAD ∵ AB ? 平面PAD ∴ 平面PAB ? 平面PAD ②由①知 AB ? 平面PAD ∵ ?APB ? 90?
PA ? PD ? AB ? DC

取 AD 中点 O, 所以 OP ? 底面ABCD
OP ? 2 AB , AD ? 2 AB 2

1 2 8 AB ? AB ? 2 AB ? ∴ VP ? ABCD ? ? 3 2 3 ∴AO=2

∴ PB ? PC ? BC ? 2 2 ∴ S例 ? S? PAD ? 2S? PAB ? S? PBC
1 1 1 ? ? 2 ? 2 ? 2 ? ? 2 ? 2 2 ? ? 2 2 ? 2 2 ? sin 60? 2 2 2

=2?4 2 ?2 3

19.(12 分) 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每隔 30 min 从该生产线上随机抽取 一个零件,并测量其尺寸(单位:cm).下面是检验员在一天内依次抽取的 16 个零件的尺寸: 抽取次序 零件尺寸 抽取次序 零件尺寸 1 9.95 9 10.26 2 10.12 10 9.91 3 9.96 11 10.13 4 9.96 12 10.02 5 10.01 13 9.22 6 9.92 14 10.04 7 9.98 15 10.05 8 10.04 16 9.95

-9-

经计算得 x ?

1 16 1 16 1 16 2 2 x ? 9.97 , s ? ( x ? x ) ? (? xi ? 16 x 2 ) ? 0.212 , ?i ? i 16 i ?1 16 i ?1 16 i ?1
16

? (i ? 8.5)2 ? 18.439 , ? ( xi ? x )(i ? 8.5) ? ?2.78 ,其中 xi 为抽取的第 i 个零件的尺寸,
i ?1
i ?1

16

i ? 1, 2, ???,16 .
,2 , ??? ,1 6 ) i (i ?1 (1) 求 ( xi, )
的相关系数 r , 并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸

不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若 | r |? 0.25 ,则可以认为零件的尺寸不随生产过 程的进行而系统地变大或变小). (2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在 ( x ? 3s, x ? 3s) 之外的零件,就认为这条生 产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查. (ⅰ)从这一天抽检的结果看,学.科网是否需对当天的生产过程进行检查?

3s) 之外的数据称为离群值,试剔除离群值,估计这条生产线当天生 (ⅱ)在 ( x ?3s, x ?
产的零件尺寸的均值与标准差.(精确到 0.01)

附 : 样 本 ( xi , yi ) (i ? 1, 2, ???, n) 的 相 关 系 数 r ?

? ( x ? x )( y ? y )
i ?1 i i

n

? (x ? x ) ? ( y ? y)
2 i ?1 i i ?1 i

n

n


2

0.008 ? 0.09 .

( ii )

剔 除

9.22 , 这 条 生 产 线 当 天 生 产 的 零 件 尺 寸 的 均 值 为

- 10 -

16 x ? 9.22 16 ? 9.97 ? 9.22 ? ? 10.02 15 15








2



s?

1 16 2 16s 2 ? ?10.02 ? 9.22? [? ( xi ? 10.02)2 ? ? 9.22 ? 10.2 ? ] ? 0.008 ? 0.09 ? 0.01 16 i ?1 15

20.(12 分) 设 A,B 为曲线 C:y=

x2 上两点,A 与 B 的横坐标之和为 4. 4

(1)求直线 AB 的斜率; (2)设 M 为曲线 C 上一点,C 在 M 处的切线与直线 AB 平行,且 AM ? BM,求直线 AB 的方程.

【解析】 (1) 设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,

则 K AB

x2 2 x12 ? y ? y1 4 ? x2 ? x1 ? 1 ? 2 ? 4 x2 ? x1 x2 ? x1 4

? y' 1 x2? ? x0 ? 1 (2)设 M ? x0 , 0 ? ,则 C 在 M 处的切线斜率 K ? K AB ? x ? x0 2 4 ? ?

∴ x0 ? 2 则 A1 ? 2,1? ,又 AM⊥BM,

K AM ?K BM
?

x12 x2 ?1 2 ?1 y ?1 y ?1 ? 1 ? 2 ? 4 ?4 x1 ? 2 x2 ? 2 x1 ? 2 x2 ? 2
? x1 x2 ? 2 ? x1 ? x2 ? ? 4 16 ? ?1

? x1 ? 2 ?? x2 ? 2 ?
16

即 x1 x2 ? 2 ? x1 ? x2 ? ? 20 ? 0 又设 AB:y=x+m

- 11 -

代入 x 2 ? 4 y 得 x2 ? 4 x ? 4m ? 0 ∴ x1 ? x2 ? 4 , x1 x2 ? ?4m -4m+8+20=0 ∴m=7 故 AB:x+y=7 21.(12 分)
x x 2 已知函数 f ( x ) =e (e ﹣a)﹣a x.

(1)讨论 f ( x ) 的单调性; (2)若 f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围.

- 12 -

(二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第 一题计分。 22.[选修 4―4:坐标系与参数方程](10 分)
? x ? 3cos ? , 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ? (θ 为参数),直线 l 的参数方程 ? y ? sin ? ,


? x ? a ? 4t , (t为参数) . ? ? y ? 1 ? t,

(1)若 a=?1,求 C 与 l 的交点坐标;

- 13 -

(2)若 C 上的点到 l 的距离的最大值为 17 ,求 a.
? x ? ?1 ? 4t 【解析】 (1)当 a ? ?1 时, L : ? (t 为参数) ? y ?1? t

L 消参后的方程为 x ? 4 y ? 3 ? 0 , 曲线 C 消参后为
x2 ? y 2 ? 1 ,与直线联方方程 y

? ? x2 x? 2 ? x ? 3 ? y ? 1 ? ? ? 解得 ? 或? ? y ?y ? 0 ?x ? 4 y ? 3 ? 0 ?y ? ? ? ?

21 25 . 24 25

(2)L 的普通方程为 x ? 4 y ? a ? 4 ? 0 , 设曲线 C 上任一点为 P ? 3cos? ,sin ? ? , 点到直线的距离公式, d ?
5sin ?? ? ? ? ? a ? 4 17

3cos ? ? 4sin ? ? a ? 4 17



d?



dmax ? 17 ,
? 5sin ?? ? ? ? ? 4 ? a max ? 17 ,

当 sin ?? ? ? ? ? 1 时最大, 即 5 ? a ? 4 ? 17 , a ? ?16 , 当 sin ?? ? ? ? ? ?1 时最大, 即 a ? 9 ? 17 , a ?8, 综上: a ? ?16 或 a ? 8 .

23.[选修 4—5:不等式选讲](10 分) 已知函数 f(x)=–x2+ax+4,g(x)=│x+1│+│x–1│. (1)当 a=1 时,求不等式 f(x)≥g(x)的解集; (2)若不等式 f(x)≥g(x)的解集包含[–1,1],求 a 的取值范围.

- 14 -

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