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1.3.2(2)函数的奇偶性和单调性的综合应用


§1.3.2奇偶想性

1.两个定义: 对于f(x)定义域内的任意一个x ,
如果都有f(-x)=-f(x)?f(x)为奇函数. 如果都有f(-x)=f(x) ?f(x)为偶函数. 2.两个性质: 一个函数为奇函数?它的图象关于原点对称. 一个函数为偶函数?它的图象关于y 轴对称. 3.判断函数奇偶性的步骤 ①考查函数定义域是否关于原点对称; ②判断f(-x)=±f(x)之一是否成立; ③作出结论.

§1.3.2奇偶想性

【1】已知函数f(x)=ax2+bx+c,(2a-3≤x≤1)是 偶函数,则a=___,b=____,c∈___. R 0 1 【2】对于奇函数f(x),若x能取到零,则f(0)=__. 0

【3】对于定义在R上的函数 f (x),下列判断 是否正确? 若f (-2) = f (2),则函数 f (x)是偶函数.
若f (-2)≠f (2),则函数 f (x)不是偶函数. 2 1] 函数 f ( x) ? ? x ,x ?[?3, 是偶函数.

§1.3.2奇偶想性

例2.已知函数y=f(x) 在R上是奇函数,而且 在(0,+∞)上是增函数,证明y=f(x)在(-∞,0)上也 是增函数. 证明:任取x1, x2∈(-∞,0),且x1<x2. 则 ? x1 ? ? x2 ? 0.

?

f(x)在(0,+∞)上是增函数,

? f (? x1 ) ? f (? x2 )
又f(x)在R上是奇函数,

?? f ( x1 ) ? ? f ( x2 ).
即 f(x1) < f(x2). 所以函数y=f(x)在(-∞,0)上是增函数.

§1.3.2奇偶想性

已知函数y=f(x)是偶函数,而且在(0,+∞) 上是减函数,那么y=f(x)在(-∞,0)上是增函数还 是减函数?(P.39B3)

§1.3.2奇偶想性

已知函数y=f(x) 在R上是偶函数,而且在 (0,+∞)上是减函数,那么y=f(x)在(-∞,0)上是增 函数还是减函数?(P.39B3) 解:设 x 1 <x 2 < 0, 则 -x1 >-x2>0, ∵f(x)在(0,+∞)上是减函数, ∴ f(-x1 )< f(-x2 ). ∵ f(x) 是偶函数,

∴ f(x1) < f(x2).
故f(x)在(-∞,0)上是增函数.

§1.3.2奇偶想性

课本 P.39 A 6
【1】已知函数 f(x) 是奇函数,当 x≥0时, f(x)=x(1+x); 当 x < 0 时, f(x)等于 ( B ).

A. ? x(1 ? x)

B. x(1 ? x)
C. ? x(1 ? x)

D. x(1 ? x)

§1.3.2奇偶想性

【2】已知 f(x) 是定义在R上的奇 函数,当x>0时, f(x)=x2+x-1, 求函数f(x) y 的表达式. 2 ? x ? x ? 1, x ? 0, ? f ( x ) ? ? 0, x ? 0, 2 ?? x ? x ? 1, x ? 0. ? y
o
o x

x

引申:如果改为偶函数呢?

§1.3.2奇偶想性

一、奇函数、偶函数的图象性质 1.奇函数的图象关于原点成中心对称图形; 2.偶函数的图象关于y 轴成轴对称图形. 奇偶函数图象的性质可用于: ①简化函数图象的画法; ②判断函数的奇偶性.

§1.3.2奇偶想性

(一)简化函数图象的画法 例1. 已知函数y=f(x)是偶函数,它在y轴右边 的图象如图,画出y=f(x)在 y轴左边的图象. y 解:画法略

o

x

§1.3.2奇偶想性

【1】作出函数 y=x2 -2|x|-3 的图象.
? x ? 2 x ? 3, x ≥ 0, ? y?? 2 ? x ? 2 x ? 3, x ? 0. ?
2

y
-1 1

o

x

-3

点评:用对称法作图时,先作出 x≥0的图象,由 函数是偶函数,再用对称法作出另一半的图象.

§1.3.2奇偶想性

【2】如果奇函数f(x)在区间[3,7]上为增函 数,且最小值是5,则在区间[-7,-3]上有没有最大 值?是多少? y 解:如图所示 函数f(x)在区间[-7,-3] 上为增函数. 函数有最大值
-7 5 -3 o 3

7 x

f (?3) ? ? f (3) ? ?5.

-5

§1.3.2奇偶想性

1.函数奇偶性的定义. 2.函数奇偶性的判定 ?定义法 ①考查函数定义域是否关于原点对称; ②判断f(-x)=±f(x)之一是否成立; ③作出结论.
f ( x) f ( x ) ? f (? x ) ? 0, ? ?1. f (? x )

?图象法:画出函数图象

?利用性质

§1.3.2奇偶想性

3.性质: (1)奇函数、偶函数的图象特点 ?一个函数为奇函数?它的图象关于原点对称. ?一个函数为偶函数?它的图象关于y 轴对称. (2)在定义域的关于原点对称的公共区间内 ?奇±奇=奇;偶±偶=偶;奇±偶=非奇非偶. ?偶×偶=偶;奇×奇=偶;偶×奇=奇. (3)奇偶性与单调性的关系 奇函数在关于原点对称的区间上具有相同 的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有 相反的单调性.


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