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清北学堂 2012年暑假数学高端班(精品班、特训一)三角函数导学-性质 常用结论 三角变换


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代数---三角函数导学 知识点:
1. 三角函数性质 (1) 正、余弦函数有界性
?n? 对 任 意 角 ? , 有 s i? n? , 1 cos? ? 1 , 此 外 还 常 用 : 1 ? s i
A sin ? ? B cos ? ? A2 ? B 2 。
0 ,

(2) 奇偶性与图象对称性 正弦函数、正切函数、余弦函数都是奇函数,图象关于原点对称,且 y ? sin x 图 象还关于直线 x ? k? ?
?
2

, k ? Z 对称;

余弦函数是偶函数,从而 y ? cos x 的图象关于 y 轴对称,且图象还关于 x ? k? ,
k ? Z 对称。

(3) 单调性
? ?? ? 3? ? ? ? y ? sin x 在 ? 2k? ? , 2k? ? ? 上单调递增,在 ? 2k? ? , 2k? ? ? 上单调递减 ? k ? Z ? ; 2 2? 2 2 ? ? ?
y ? cos x 在 ? ?2k? ? ? ,2k? ? ? 上单调递增 ? k ? Z ? ; ? 2k? , ? 2k ? 1? ? ? ? 上单调递减,在 ?
? ?? ? y ? tan x 在 ? k? ? , k? ? ? ? k ? Z ? 上递增;
? 2 2?

y ? cot x 在 ? k? , ? k ? 1? ? ? ? k ? Z ? 上递减。

(4) 三角函数周期性
y ? sin x , y ? cos x 的最小正周期为 2? ;
y ? tan x , y ? cot x 的最小正周期为 ? 。

关于周期函数,常用如下结论: ① 若 y ? f ? x ? 是以 T 为周期的函数,则 y ? f ? x ? a ? , y ? f ? ax ? b? ( a ? 0 , a, b 为 常数)也是周期函数,且周期分别为 T ,
T a



② 设函数 y ? F ?u ? 是定义在 R 上的单调函数,u ? g ? x ? 是定义在 R 上的周期函数,
? 则 y?F? ? g ? x ?? 也是周期函数,且与 y ? g ? x ? 有相同的周期。
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2. 常用结论
?? ? ?? (1) y ? sin x , y ? cos x 在 ? ? 0, ? 内是上凸函数, y ? tan x , y ? cot x 在 ? 0, ? 内是
?

2?

?

2?

下凸函数; (2)若 0 ? x ? (3) y ?
?
2

,则 0 ? sin x ? x ? tan x ;

tan x sin x ? ? ? 在 ? 0, ? 上是减函数, y ? 上是增函数。 x 2 x ? ?

3、三角变换 三角恒等变换 (1) .两角和与差的三角函数
sin( ? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ;

tan(? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? 。 1 ? tan ? tan ?

(2) .二倍角公式 sin 2? ? 2 sin ? cos ? ;
cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? 2 cos 2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin 2 ? ;
2 tan ? 。 1 ? tan 2 ? (3) .和差化积与积化和差公式: ?? ? ? ? ?? ? ? ? sinα +sinβ =2sin ? ? cos ? ?, ? 2 ? ? 2 ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? sinα -sinβ =2sin ? ? cos ? ?, ? 2 ? ? 2 ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? cosα +cosβ =2cos ? ? cos ? ?, ? 2 ? ? 2 ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? cosα -cosβ =-2sin ? ? sin ? ?, ? 2 ? ? 2 ? 1 sinα cosβ = [sin(α +β )+sin(α -β )], 2 1 cosα sinβ = [sin(α +β )-sin(α -β )], 2 1 cosα cosβ = [cos(α +β )+cos(α -β )], 2 1 sinα sinβ =- [cos(α +β )-cos(α -β )]. 2 tan 2? ?
2

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(4) .三角函数式的化简 ①降幂公式 1 1 ? cos 2? 1 ? cos 2? ; cos 2 ? ? 。 sin ? cos ? ? sin 2? ; sin 2 ? ? 2 2 2 ②辅助角公式 a sin x ? b cos x ? a 2 ? b 2 ? sin ? x ? ? ? ,
其中sin ? ? b a 2 ? b2 , cos ? ? a a 2 ? b2


1 ? tan 2 1 ? tan

③万能公式:sin ? ? 补充公式:

2 tan 1 ? tan

?
2 ?

?
2 2 tan ? ?

2

cos ? ?

2 tan

?
2

2 ?

2

1 ? tan 2

?
2

① sin ?? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? sin 2 ? ? sin 2 ? ? cos2 ? ? cos2 ? ; ② cos ?? ? ? ? cos ?? ? ? ? ? cos2 ? ? sin 2 ? ; ③ cos3? ? 4cos? cos ? 600 ?? ? cos ? 600 ? ? ? ; ④ sin3? ? 4sin? sin ? 600 ?? ? sin ? 600 ? ? ? ; ⑤ sin ? ? sin ? ?? ?
? ?

2? ? 2? ? ? ? sin ? ? ? ?0; ? 3 ? 3 ? ? ? 2? ? 2? ? 3 ? ? sin 2 ? ? ? ? ; ? 3 ? 3 ? ? ? 2 2? 3 2? 3 2? ? 3? ? ? sin ? ? ? 3 ? ? 3 ? ? ? ? 4 sin 3? ?
? 3 ? ? 4 cos3? ?

⑥ sin 2 ? ? sin 2 ? ?? ? ⑦ sin 3 ? ? sin 3 ? ?? ?
? ?

; ;

⑧ cos3 ? ? cos3 ? ?? ?

2? ? 3? ? ? cos ? ? ? 3 ? ?

⑨定理(三角判别式) : 对于三角方程 a sin x ? b cos x ? c ? 0(0 ? x ? 2? , a, b不同时为零) ,则 Ⅰ方程有两个不同的解 ? ? ? 0 ; Ⅱ方程有唯一解 ? ? ? 0 Ⅲ方程无解 ? ? ? 0
? ? a2 ? b2 ? c2

三角形中的三角变换 设 ?ABC 的三角 A 、 B 、 C 的对应边为 a 、 b 、 c ,且 R, r 分别表示 ?ABC 外接 圆和内切圆的半径,则有 (1) A ? B ? C ? ? (2) a ? b ? c, a ? c ? b, b ? c ? a
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(3)正弦定理:

a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C

(4)余弦定理: a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A
b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C

(5) 面积公式: S ?ABC ?

1 ? 底?高 2 1 1 1 ? bc sin A ? ab sin C ? ac sin B 2 2 2

?
?

p ( p ? a)( p ? b)( p ? c)

abc 1 =r? p 其中 p ? ( a ? b ? c ) 4R 2 (6) A ? B ? a ? b ? sin A ? sin B 下面用余弦定理证明几个常用的结论: (7)斯特瓦特定理:在△ABC 中,D 是 BC 边上任意一点,BD=p,DC=q,则 AD2= b2 p ? c2q ? pq. p?q 【证明】 因为 c2=AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos ?ADB , 所以 c2=AD2+p2-2AD·pcos ?ADB. ① 同理 b2=AD2+q2-2AD·qcos ?ADC , ② ? 因为 ? ADB+ ? ADC= , 所以 cos ? ADB+cos ? ADC=0,

所以 q×①+p×②得
b2 p ? c2q ? pq. p ? q qc2+pb2=(p+q)AD2+pq(p+q),即 AD2=

2b 2 ? 2c 2 ? a 2 . 2 注:在(7)式中,若 p=q,则为中线长公式 a?b?c p? . p( p ? a)( p ? b)( p ? c). 2 (8)海伦公式:所以 S△ABC= 这里 AD ?

模拟真题:
题 1:在 ?ABC 中,记 BC ? a, CA ? b, AB ? c, 若 9a 2 ? 9b 2 ? 19 c 2 ? 0
cot C 的值是多少? cot A ? cot B cos C cot C cos C sin A ? sin B sin C ? ? ? 解析: cot A ? cot B cos A ? cos B sin C sin( A ? B) sin A sin B



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?

cos C ? sin A ? sin B sin 2 C

?

ab a 2 ? b 2 ? c 2 ? c2 2ab

19 2 1 c ? c2 ) ? 2 9 2c 5 ? 9 ?( sin x cos x 的值域。 1 ? sin x ? cos x ? 2 ? 2 ? ? 解析: 设 t=sinx+cosx= 2 ? ? 2 sin x ? 2 cos x ? ? 2 sin( x ? 4 ). ? ?

题 2: 求 y ?

因为 ? 1 ? sin( x ?

) ? 1, 4 所以 ? 2 ? t ? 2. 又因为 t2=1+2sinxcosx,

?

x2 ?1 t 2 ?1 t ?1 所以 sinxcosx= ,所以 y ? 2 ? , 2 1? t 2 ? 2 ?1 2 ?1 所以 ? y? . 2 2 t ?1 ? ?1 ,所以 y ? -1. 因为 t ? -1,所以 2 ? 2 ?1 ? ? 2 ? 1? ? ? 1, 所以函数值域为 y ? ?? ,?1? ? ?. ? ? 2 2 ? ? ? ?

题 3:已知函数 y=sinx+ 1 ? cos 2 x ,求函数的最大值与最小值。
3 ? ?? 解析: 令 sinx= 2 cos ? , 1 ? cos 2 x ? 2 sin ? ? ? 0 ? ? ? , 4 ? ?4 ? 则有 y= 2 cos ? ? 2 sin ? ? 2 sin( ? ? ). 4 ? 3 ? ? 因为 ? 0 ? ? ,所以 ? ? ? ? ? , 4 4 2 4 ? 所以 0 ? sin( ? ? ) ≤1, 4 3 ? 所以当 ? ? ? ,即 x=2kπ - (k∈Z)时,ymin=0, 4 2 ? ? 当 ? ? ,即 x=2kπ + (k∈Z)时,ymax=2. 4 2 题 4:若 A,B,C 为△ABC 三个内角,试求 sinA+sinB+sinC 的最大值。 A? B A? B A? B ? 2 sin 解析: 因为 sinA+sinB=2sin cos , ① 2 2 2
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sinC+sin

?
3

? 2 sin

C? 2

?
3 cos

C? 2

?
3 ? 2 sin

C? 2

?
3 ,


A? B?C ? 4

又因为 sin

A? B ? sin 2

C? 2

?

3 ? 2 sin

A? B?C ?

?
3 cos

?

由①,②,③得 sinA+sinB+sinC+sin 所以 sinA+sinB+sinC≤3sin 当 A=B=C=

?
3

4

≤4sin

?
3

3 ? 2 sin ? ,③ 3

,

?
3

=

3 3 , 2

3 3 . 3 2 注:三角函数的有界性、|sinx|≤1、|cosx|≤1、和差化积与积化和差公式、均 值不等式、柯西不等式、函数的单调性等是解三角最值的常用手段。

?

时, (sinA+sinB+sinC)max=

题 5:已知△ABC 的三个内角 A,B,C 成等差数列,且
试求 cos
A?C 的值。 2

1 1 2 , ? ?? cos A cos C cos B

A?C =cos(600-C), 2 1 1 1 1 cos(120 0 ? C ) ? cos C 又由于 ? ? ? ? cos A cos C cos(120 0 ? C ) cos C cos C cos(120 0 ? C )

解析: 因为 A=1200-C,所以 cos

=

2 cos 60 0 cos(60 0 ? C )

1 1 [cos 120 0 ? cos(120 0 ? 2C )] cos(120 0 ? 2C ) ? 2 2 A ? C A ? C ? 2 cos ? 3 2 =0。 所以 4 2 cos 2 2 2 A?C 2 A?C 3 2 解得 cos 或 cos 。 ? ?? 2 8 2 2
又 cos
A?C 2 A?C ? >0,所以 cos 2 2 2

?

2 cos(60 0 ? C )

? ?2 2 ,

题 6:在△ABC 中,若 a+b+c=1,求证: 2a+2b+c2+4abc<

? 证明: 设 a=sin2α cos2β , b=cos2α cos2β , c=sin2β , β ? (0, ) . 2 1 ? 因为 a, b, c 为三边长,所以 c< , c>|a-b| ,从而 β ? (0, ) ,所以 2 4 sin2β >|cos2α ·cos2β |. 因为 1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca), 所以 a2+b2+c2+4abc=1-2(ab+bc+ca-2abc). 又 ab+bc+ca-2abc=c(a+b)+ab(1-2c) =sin2β cos2β +sin2α cos2α ·cos4β ·cos2β
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1 [1-cos22β +(1-cos22α )cos4β cos2β ] 4 1 1 = + cos2β (cos4β -cos22α cos4β -cos2β ) 4 4 1 1 1 > + cos2β (cos4β -sin4β -cos2β )= . 4 4 4 1 所以 2a+2b+2c+4abc< 2

=

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