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浙江省杭州地区六校2013-2014学年高二数学下学期期中联考试题 理 新人教A版

浙江省杭州地区六校 2013-2014 学年高二数学下学期期中联考试题 理 新人教 A 版
考生须知: 1.本卷满分 100 分,考试时间 90 分钟; 2.答题前,在答题卷密封区内填写班级、学号和姓名;座位号写在指定位置; 3.所有答案必须写在答题卷上,写在试卷上无效; 4.考试结束后,只需上交答题卷。 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分,每个小题所给的四个选项有且只有 一个符合题目要求。 )

?log3 x, ( x ? 0) f ( x) ? ? x ( x ? 0) ,则 f (9) ? f (0) ? ?2 1、已知函数
A.0 B.1 C.2 D. 3 2、直线 3x ? 2 y ? a ? 0 在

(

)

y 轴上的截距为





a A. 2
2

?
B.

a 2

a
C. 2

a a 或2 D. 2
( )

3、抛物线 y ? 10x 的焦点到准线的距离是

5 A. 2

B.5

C.10

D. 20 ( D.既不充分又不必要条件 )

x 4、 已知命题 p:ln x ? 0 , 命题 q:e ? 1 则命题 p 是命题 q

A.充分而不必要条件 B 必要而不充分条件
x ?x

C.充要条件

5、若函数 f ( x) ? ka ? a (a ? 0且a ? 1) 在( ?? , ?? )上既是奇函数又是增函数,则 函数

g ( x) ? loga ( x ? k ) 的图象是





6、设 l , m, n 表示三条不同的直线, ? , ? 表示两个不同的平面,则下列说法正确的是( A.如 l ∥ m , m ? ? ,则 l ∥ ? B.如 l ? m, l ? n, m, n ? ? ,则 l ? ?



1

C.如 l ? ? , m ? ? , l ? m ,则 ? ? ? D.如 l ∥ ? , l ∥ ? , ?

? ? m ,则 l ∥ m

?? x 2 ? ax ? 5,( x ? 1) ? f ( x) ? ? a ? ( x ? 1) ?x 7、已知函数 是 R 上的增函数,则 a 的取值范围是(
A. ?3 ≤ a <0 B. ?3 ≤ a ≤ ?2 C. a ≤ ?2 D. a <0



8、如图,等边三角形 ABC 的中线 AF 与中位线 DE 相交于 G ,已知 ?A?ED 是△ ADE 绕

DE 旋转过程中的一个图形, 下列命题中, 错误的是
A.动点 A? 在平面 ABC 上的射影在线段 AF 上 B.恒有平面 A?GF ⊥平面 BCDE C.三棱锥 A? ? EFD 的体积有最大值 D.异面直线 A?E 与 BD 不可能垂直

(

)

?? x 2 ? 4 x, x ? 0 f ( x) ? ? ?2 x ? 3, x ? 0 ,则函数 y ? x ? f ? x ? ? 1 的零点个数为 9、已知
A.1 B. 2 C. 3 D.4

(

)

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b 10、已知双曲线 c: ,以右焦点 F 为圆心,|OF|为半径的圆交双曲线
两渐近线于点 M、N (异于原点 O),若|MN|= 2 3a ,则双曲线 C 的离心率 是 A.2 B. ( )

3

C.

2

D.

3 ?1

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分)

f ( x) ?
11、求函数

x ? log 1 (1 ? x)
2

的定义域

12、某几何体的三视图(单位:cm)如图所示, 则其体积为_______ cm3

2

13、方程 4 x ? k ? y ? 1 表示的曲线是焦点在 x 轴上的双曲线,求实数 k 的取值范围
2 2

3 1 ? ? 3x ?1 14、方程 3 ? 1 3 的实数解为__
x

? 15、已知 PA ? 面 ABC ,且 ?ABC ? 120 , PA ? AB ? BC ? 1 ,求异面直线 AB 与 PC 所成

角的余弦值为

( ?? x ) f () x ? 0 16、设 f ( x ) 是定义在 R 上的增函数,且对于任意的 x 都有 f 恒成立. 如果

、 n满足不等式 f (m ? 6m ? 21) ? f (n ? 8n) ? 0 ,那么 m2 ?n2 的取值范围是 实数 m
2 2

17、设集合 A ? x | x ? | x ? a | ?2a ? 0, a ? R , B ? ?x | x ? 2?,若 A ? ? 且 A ? B ,求
2

?

?

实数 a 的取值范围 三.简答题:(本大题共 4 题,第 1、2、3 题每题 10 分,第 4 题 12 分,共 42 分. ) 18、 (本小题 10 分) 在平面直角坐标系中,某圆 C ,圆心在直线 l : y ? 2 x ? 4 上,且圆 C 过点 A(0,3) (1)求圆的半径的最小值 (2)若圆 C 与直线

y ? ? x 相交所得弦长为 2 11 ,求圆的方程

19、 (本小题 10 分)

x2 y 2 ? 2 ?( 1 a ? b ? 0) 2 F 、F2 为椭圆的左、右焦点,过 F2 作 b 已知椭圆 a 的焦距为 2 2 ,设 1
直线交椭圆于 P 、 Q 两点,且 ?PF1Q 的周长为 4 3 (1)求椭圆的方程;

y P

F1

o
A

F2
Q

B x
3

(2)设

?PQF1 的面积为 3 ,求直线 PQ 的斜率

20.(本小题 10 分) 如图,在三棱锥 P ? ABC 中,直线 PA ? 平面 ABC ,且 ?ABC ? 90? ,又点 Q , M , N 分别是线段 PB , AB , BC 的中点,且点 K 是线段 MN 上的 动点. (1)证明:直线 QK // 平面 PAC ; (2) 若 PA ? AB ? BC , 求二面角 Q ? AN ? M 的平面角的余 弦值。

P

Q A M K B N C

21、 (本小题 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2mx ? 2(4 ? m) x ?1 , g ( x) ? mx
2

4

函数 f ( x) 在 x ? ?? 1,??? 上单调递减,求 m 的范围 若对于任一实数 x , f ( x ) 与 g ( x) 至少有一个为正数,求实数 m 的取值范围

2013 学年第二学期期中杭州地区六校联考 高二年级理科数学参考答案 1-10 DBBAC DBDCA 11、

?x | 0 ? x ? 1? ?0,1?

不写成集合或区间扣 2 分

12、 2 3 16、 ?9,49?

13、 k ? 0

x ? log3 4 14、

3 15、 4

1? ? ?? 2, 4 ? ? 17、 ?

范围对,多加或少加等号不扣分

18、 (1)法 1:半径的最小值即点 (0,3) 到直线 l 距离-----2 分 法 2:设圆心

7 5 d? 5

----4 分

(a,2a ? 4) ----1 分
2

r ? a ? ( 2a ? 7)
2

= 5a ? 28a ? 49 ,-----2 分
2

a?

14 7 5 5 时, r 最小 5 ----4 分

(2)设圆心 (a,2a ? 4) -----------5 分

r 2 ? a 2 ? (2a ? 7) 2

d?
圆心到直线距离

3a ? 4 2
--------6 分

r 2 ? d 2 ? 11------7 分

a ? 2或30 ----------8 分

(x ? 2) ? y ? 13 或 ( x ? 30) ? ( y ? 56) ? 3709 圆方程
2 2 2 2

----------10 分

19、 (1)焦距 2c ? 2 2 , c ?

2 ,------1 分

5

周长为 4a ? 4 3 , a ?

3 ,------2 分

x2 ? y2 ? 1 3 -----4 分

(2)设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y 2 )

S?

1 F1 F2 ? y1 ? y 2 2 y1 ? y 2 2 = = 3

y1 ? y 2 ?

6 2 -----5 分

?x ? m y ? 2 ? 2 ?x 2 ? ? y ?1 ?3 ,

(1 ? 3m2 ) y 2 ? 6 2my ? 3 ? 0 -----7 分

72 m 2 ? 12 (1 ? 3m 2 ) 6 ? 2 2 2 (1 ? 3m )
m ? ?1 ,所以 k ? ?1 -- -----10 分
20 .(1).连结 QM

---8 分

因为点 Q , M , N 分别是线段 PB , AB , BC 的中点

所以 QM∥PA MN∥AC QM∥平面 PAC MN∥平面 PAC 因为 MN∩QM=M 所以平面 QMN∥平面 PAC QK ? 平面 QMN 所以 QK∥平面 PAC · · · · · · · · · · · · · ·4 分 (2)方法 1:过 M 作 MH⊥AN 于 H,连 QH,则∠QHM 即为 二面角 Q ? AN ? M 的平面角, 令 PA ? AB ? BC ? 2 ------证出二面角 7 分 即 QM=AM=1 所以

1 此时 sin∠MAH=sin∠BAN= 5
QM ? 5 则 tan ? = MH

1 MH= 5

记二面角 Q ? AN ? M 的平面角为 ?

6 COS ? = 6 即为所求。

· · · · · · · · · · ·10 分

方法 2: 以 B 为原点, 以 BC、 BA 所在直线为 x 轴 y 轴建空间直角坐标系, 设 PA ? AB ? BC ? 2 则 A(0,2,0) ,M(0,1,0) ,N(1,0,0) ,p(0,2,2),Q(0,1,1),

AQ =(0,-1,1),

AN ? ( 1, ? 2 , -------6 0) 分

? ?n ? AQ ? 0 ? y ? z ?? ? n ? AN ? 0 ?x ? 2 y ? 0 ? n ? ( x , y , z ) 为平面 AQN 的一个法向量 记 ,则 ?
取 y ? z ? 1则x ? 2

n ? ( 2 , 1 ,-----1)

8分

6

m?n
又平面 ANM 的一个法向量 m ? (0,0,1) ,所以 cos ? = 即为所求。 · · · · · · · · · · · ·10 分 21、 (1) m ? 0时,y ? ?8x ? 1 ,符合---------1 分

m?n

?

1 22 ? 1 ? 1

?

6 6

?m ? 0 ? ? 2(4 ? m) ? ?1 ? m ? 0 时, ? 4m , ? 4 ? m ? 0 ------3 分
综上所述, ? 4 ? m ? 0 -------4 分 (2) m ? 0 时,由函数图像可知,不符合题意,----6 分

m ? 0 时,当 x ? 0, g ( x) ? 0 成立
所以只需 x ? 0 时, f ( x) ? 0 即可------8 分

? 2(4 ? m) ?0 ? 若? 4m ? ? f (0) ? 0 ,符合题意, 0 ? m ? 4 -------------- 10 分 ? 2(4 ? m) ?0 ? 若? 4m ? ?? ? 0

,符合题意, 4 ? m ? 8 ------------------12 分

------------------12 分

综上所述, 0 ? m ? 8

7


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