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高三文科数学周日测(2)


高三文科数学周日测
内容:综合卷
参考公式:棱锥的体积公式 V ?

1 Sh . 3

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.已知全集 U=R,集合 A ? {x | x ? 1 ? 0}, B ? {x | x ? 3 ? 0}, 则集合 (CU A) ? B ? ( A. { x | ?1 ? x ? 3} B. { x | ?1 ? x ? 3} C. {x | x ? ?1} ) D. ? 10 )
?x

)

D. {x | x ? 3}

2.等差数列 {a n } 中, d ? 2, 且 a1 , a3 , a 4 成等比数列,则 a 2 ? ( A. ? 4 B. ? 6 C. ? 8

3.下列函数中既是奇函数,又在区间 (?1,1) 上是增函数的为( A. y ?| x | B. y ? sin x
x

C. y ? e ? e

D. y ? ? x

3

4.已知 i 是虚数单位, m、n ? R, 且 m(1 ? i ) ? 1 ? ni, 则 ( A. i 5.已知椭圆 B. ? i C. 1

m ? ni m ? ni

)2 ? (

) D. ? 1

x2 y2 10 ? ? 1 的离心率 e ? , 则 m 的值为( 5 5 m
B.

)

A. 3

5 15 或 15 3

C. 5

D.

25 或3 3

6.“ 关于 x 的不等式 x ? 2ax ? a ? 0 的解集为 R” 是“ 0 ? a ? 1 ”(
2

)

A.充分而不必要条件 C.充要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

7.把函数 y ? sin x( x ? R ) 的图象上所有的点向左平移

? 个单位长度, 再把所得图象上所 6
)

有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,得到的图象所表示的函数为( A. y ? sin( 2 x ?

?
3

), x ? R
), x ? R

B. y ? sin( 2 x ?

?
3

), x ? R
), x ? R

C. y ? sin( x ?

1

?
6

2

D. y ? sin( x ?

1 2

?
6

8.一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示,则其俯视图不可能为①长方形;②正方形; ③圆;④椭圆, 其中正确的是( A.①② C.③④ B.②③ D.①④ )

1

9.某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查, 现从中随机抽出 100 名司机,已知抽到的司机年龄 都在[20,45) 岁之间,根据调查结果得出司机的年 龄情况残缺的频率分布直方图如图所示,利用这个 残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的 中位数大约是( A.31.6 岁 ) B. 32.6 岁 C.33.6 岁 D.36.6 岁

10. 已知向量 a ? ( x , 2 ), b ? (1, y ), 其中 x ? 0, y ? 0. 若 a ? b ? 4, 则 A.

1 2 ? 的最小值为( x y

)

3 2

B. 2

C.

9 4

D. 2 2

二、填空题:本大共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) 11.某学校三个社团的人员分布如下表(每名同学只参加一个社团) 合唱社 高一 高二 45 15 粤曲社 30 10 书法社 a 20

学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查,按分层抽样的方法从社团成员中抽取 30 人,结果合唱社被抽出 12 人,则这三个社团人数共有_____________.

?y ? x ? 12.已知不等式组 ? y ? ? x , 表示的平面区域的面积为 4,点 P ( x, y ) 在所给平面区域内, ?x ? a ?
则 z ? 2 x ? y 的最大值为__________. 13. 对任意实数 a, b,函数 F ( a , b ) ?

1

2 g ( x ) ? x ? 1, 那么函数 G ( x ) ? F ( f ( x ), g ( x )) 的最大值等于_________.

( a ? b ? | a ? b |), 如果函数 f ( x ) ? ? x 2 ? 2 x ? 3,

(二)选做题(14 - 15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程)在极坐标系下,已知直线 l 的方程为 ? cos ( ? ?

?
3

)?

1 2

, 则点

M (1, ) 到直线 l 的距离为__________. 2
15. (几何证明选讲)如图,P 为圆 O 外一点,由 P 引圆 O 的切线 PA 与圆 O 切于 A 点,引 圆 O 的割线 PB 与圆 O 交于 C 点. 已知 AB ? AC , PA ? 2, PC ? 1. 则圆 O 的面积为____________.

?

2

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 B ? 60 , cos(B ? C ) ? ? 且
?

11 . 14

(1)求 cos C 的值; (2)若 a ? 5, 求 ?ABC 的面积.

17.(本题满分 12 分) 文科班某同学参加广东省学业水平测试,物理、化学、生物获得等级 A 和获得等级不是 A 的机会相等, 物理、 化学、 生物获得等级 A 的事件分别记为 W1、 W2、 W3, 物理、 化学、

W W 生物获得等级不是 A 的事件分别记为 W1、 2、 3 .
(1)试列举该同学这次水平测试中物理、化学、生物成绩是否为 A 的所有可能结果(如三 科成绩均为 A 记为 (W1 , W2 , W3 ) ) ; (2)求该同学参加这次水平测试获得两个 A 的概率; (3)试设计一个关于该同学参加这次水平测试物理、化学、生物成绩情况的事件,使该事 件的概率大于 85%,并说明理由。

l8. (本题满分 14 分) 如图,三棱锥 P ? ABC 中,PB⊥底面 ABC, ?BCA ? 90 , PB ? BC ? CA ? 4, E 为
?

PC 的中点,M 为 AB 的中点,点 F 在 PA 上,且 AF ? 2FP. (1)求证:BE⊥平面 PAC: (2)求证: CM // 平面 BEF; (3)求三棱锥 F ? ABE 的体积.

3

19.(本题满分 14 分) 已知圆 C1 : ( x ? 4) ? y ? 1, 圆 C 2 : x ? ( y ? 2) ? 1, 圆 C1 , C 2 关于直线 l 对称.
2 2 2 2

(1)求直线 l 的方程; (2)直线 l 上是否存在点 Q,使 Q 点到 A(? 2 2 ,0 ) 点的距离减去 Q 点到 B ( 2 2 ,0 ) 点的 距离的差为 4,如果存在求出 Q 点坐标,如果不存在说明理由.

20. (本题满分 14 分) 设 a ? R, 函数 f ( x ) ? ln x ? ax (1)讨论函数 f ( x ) 的单调区间和极值; (2)己知 x1 ?

e (e ? 2.71828 ?) 和 x 2 是函数 f ( x ) 的两个不同的零点,
3

求 a 的值并证明: x2 ? e 2 .

21. (本题满分 14 分) 设 n ? N *, C n : x ? y ? Rn ( Rn ? 0) 与 y 轴正半轴的交点为 M, 与曲线 y ?
2 2 2

x 的交

点为 N ( x n , y n ), 直线 MN 与 x 轴的交点为 A( a n ,0) . (1)用 x n 表示 R n 和 a n ; (2)若数列 { xn } 满足: xn ?1 ? 4 xn ? 3, x1 ? 3 ①求常数 p 的值使数列 {a n. ?1 ? p ? a n } 成等比数列; ②比较 a n

2 ? 3n 的大小.

4

参考答案
一、选择题:每小题 5 分,共 50 分. 题号 答案 1 A 2 B 3 B 4 D 5 D 6 A 7 C 8 B 9 C 10 C

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 第 14、15 题为选做题. 11.150 12.6 13.3 14.

3 ?1 2

15. ?

9 4

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. 解:(1)? cos(B ? C ) ? ?

11 14

, ? sin( B ? C ) ? . 1 ? cos 2 ( B ? C ) ?

5 3 …………3 分 14

? cos C ? cos[(B ? C ) ? B ] ? cos(B ? C ) cos B ? sin( B ? C ) sin B
?? 11 1 5 3 3 1 ? ? ? ? ………………………………………6 分 2 4 2 14 7
2

(2)由(1)可得 sin C ? 1 ? cos C ?

4 3 ………………………………………8 分 7 c b a 在 ?ABC 中,由正弦定理 ? ? sin C sin B sin A a sin C b sin A ?c ? ?8 b? ? 5 …………………………………………10 分 sin A a
1 1 3 ac sin B ? ? 5 ? 8 ? ? 10 3. ………………………………12 分 2 2 2

?S ?

17.解:(1)该同学这次水平测试中物理、化学、生物成绩是否为 A 的可能结果有 8 种,

( ( ( ( 分别为 (W1 , W2 , W3 )、W1 , W2 , W3 )、W1 , W2 , W3 )、W1 , W2 , W3 )、W1 , W2 , W3 )、 (W1, W2 , W3 )、 1 , W2 , W 3 )、 1 , W 2 , W3 ) (W (W
…………………………4 分

(W (W (2)由(1)可知,有两个 A 的情况为 (W 1 , W2 , W3 )、 1 , W2 , W3 )、 1 , W2 , W3 ) 三个,
从而其概率为 P ?

3 ………………………………………………………8 分 8

(3)方案一:该同学参加这次水平测试中物理、化学、生物成绩不全为 A 的事件概 率大于 85%, …………………………………………………………10 分 理由如下:该同学参加这次水平测试中物理、化学、生物成绩不全为 A 的事件

( ( 有如下七种情况: (W1 , W2 , W3 )、W1 , W2 , W3 )、 W1 , W2 , W3 ) 、 (W1 , W2 , W3 )、 (W1, W2 , W3 )、 1 , W2 , W3 )、 1 , W 2 , W3 ) , (W (W
概率是 P ?

7 ? 0.875 ? 85 %. …………………………………………12 分 8
5

方案二:该同学参加这次水平测试中物理、化学、生物成绩至少一个 A 的事件 概率大于 85%, ……………………………………………10 分 理由如下:该同学参加这次水平测试中物理、化学、生物成绩不全为 A 的事件

( ( ( 有如下七种情况: (W1 , W2 , W3 )、W1 , W2 , W3 )、W1 , W2 , W3 )、 W1 , W2 , W3 ) 、 (W1 , W2 , W3 )、W1, W2 , W3 )、 1 , W2 , W3 ), ( (W
概率是 P ?

7 ? 0.875 ? 85 %. ........................................................................12 分 8

18.(1)证明:? PB ? 底面 ABC,且 AC ? 底面 ABC ,? AC ? PB ………………1 分 由 ?BCA ? 90 , 可得 AC ? CB . ..........................................................2 分
?

又? PB ? CB ? B,? AC ? 平面 PBC ......................………………3 分 注意到 BE ? 平面 PBC,? AC ? BE .............………………………4 分

? PB ? BC , E 为 PC 中点,? BE ? PC ...........……………………5 分 ? PC ? AC ? C ,? BE ? 平面 PAC ….................................………6 分
(2) 取 AF 的中点 G,AB 的中点 M,连接 CG,CM,GM, ∵E 为 PC 中点, FA ? 2 FP ,? EF // CG. ...........…………………7 分

? CG ? 平面 BEF , EF ? 平面 BEF ,? CG // 平面 BEF. ………8 分 ?
同理可证: GM // 平面 BEF. 又 CG ? GM ? G ,? 平面 CMG // 平面 BEF.…...........................…9 分

? CD ? 平面 CDG ,? CD // 平面 BEF……………......................…10 分
(3)由(1)可知 BE⊥平面 PAC.又由已知可得 BE ? 2 2

1 1 1 8 S ?PAC ? ? AC ? PC ? 2 ………12 分 3 3 2 3 1 32 ? VF ? ABE ? VB ? AEF ? S ?AEF ? BE ? 3 9 32 所以三棱锥 F ? ABE 的体积为 ……….................................…14 分 9 S ?AEF ?
19. 解:(1)因为圆 C1 , C 2 关于直线 l 对称,圆 C1 的圆心 C1 坐标为 ( 4,0), 圆 C 2 的圆心 C 2 坐标为 (0,2), ……………………………………2 分 显然直线 l 是线段 C1C 2 的中垂线, ……………………………3 分
1 线段 C1C 2 中点坐标是 ( 2,1), C1C 2 的 k ? x ? x 2 ? ? ? , ………5 分 1 2 4?0 2

y ?y

0?2

1

所以直线 l 的方程是 y ? 1 ? ?

1 ( x ? 2), 即 y ? 2 x ? 3 …………………6 分 k

6

(2)假设这样的 Q 点存在. 因为 Q 点到 A(? 2 2 ,0 ) 点的距离减去 Q 点到 B ( 2 2 ,0 ) 点的距离的差为 4,所以 Q 点在以 A(? 2 2 ,0 ) 和 B ( 2 2 ,0 ) 为焦点,实轴长为

x2 y2 4 的双曲线的右支上,即 Q 点在曲线 ? ? 1( x ? 2) 上,…………………10 分 4 4
又 Q 点在直线 l 上, Q 点的坐标是方程组 ? x 2

? y ? 2x ? 3 ? 的解, …………12 分 y2 ? ?1 ? 4 4 ?

消元得 3 x ? 12 x ? 13 ? 0, ? ? 12 ? 4 ? 3 ? 13 ? 0, 方程组无解,
2 2

所以点 P 的轨迹上是不存在满足条件的点 Q.
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……………………14 分

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20.解:(1)在区间 (0,?? ) 上, f ' ( x ) ?

1 1 ? ax ?a ? x x

……………………………2 分

①若 a ? 0, 则 f ' ( x ) ? 0, f ( x ) 是区间 (0,?? ) 上的增函数,无极值;…………4 分 ②若 a ? 0, 令 f ' ( x ) ? 0 得: x ?

1 . a

在区间 ( 0, ) 上, f ' ( x ) ? 0 ,函数 f ( x ) 是增函数; 在区间 ( ,?? ) 上, f ' ( x ) ? 0 ,函数 f ( x ) 是减函数; 在区间 (0,?? ) 上, f ( x ) 的极大值为 f ( ) ? ln

1 a

1 a

1 a

1 ? 1 ? ? ln a ? 1 a

综上所述,①当 a ? 0 时, f ( x ) 的递增区间 (0,?? ) 无极值;………………7 分 ②当 a ? 0 时, f ( x ) 的递增区间是 (0, ), 递减区间是 ( ,?? ) 函数 f ( x ) 的极大值为 f ( ) ? ? ln a ? 1. (2) f ( e ) ? 0,?

1 a

1 a

1 a

……………………9 分

1 2

? a e ? 0,
1 2 e
e

解得: a ?

1 2 e

?

........................10 分 .......................11 分

? f ( x ) ? ln x ?
3 2

x.
5

3 5 e3 2 ? 0, ? f (e ) ? f (e 2 ) ? 0 ……13 分 又? f (e ) ? ? ? 0, f ( e ) ? ? 2 2 2 2

3

2

5

3

5

由(1)函数 f ( x ) 在 ( 2 e , ?? ) 递减,故函数 f ( x ) 在区间 (e 2 , e 2 ) 有唯一零点,
3

因此 x2 ? e 2 .
7

.........................14 分

21. 解: (1) y ?

x 与圆 C n 交于点 N,则
2 x n ? x n , ……………………2 分

2 2 2 2 Rn ? xn ? y n ? xn ? xn , Rn ?

由题可知,点 M 的坐标为 ( 0, Rn ), 从而直线 MN 的方程为

x y ? ? 1, ……………………………3 分 a n Rn
x y

由点 N ( xn , y n ) 在直线 MN 上得: an ? n ? 1, .........................4 分 Rh n 将 Rn ?
2 x n ? x n , yn ?

xn 代入化简得: a n ? 1 ? x n ? 1 ? x n ………6 分

(2)由 xn ?1 ? 4 xn ? 3 得: 1 ? xn ?1 ? 4(1 ? xn ), …………………………………7 分 又 1 ? x1 ? 4, 故 1 ? xn ? 4 ? 4 ① a n ?1 ? p ? a n ? 4
n ?1
n ?1

? 4 n , ? a n ? 4 n ? 4 n ? 4 n ? 2 n ………8 分

? 2 n ?1 ? p ? ( 4 n ? 2 n ) ? ( 4 ? p ) ? 4 n ? ( 2 ? p ) ? 2 n ,

an ? 2 ? p ? an ?1 ? 4 n ? 2 ? 2 n ? 2 ? p ? ( 4 n ?1 ? 2 n ?1 ) ? (16 ? 4 p ) ? 4 n ? ( 4 ? 2 p ) ? 2 n
令 a n ? 2 ? p ? a n ?1 ? q ( a n ?1 ? p ? a n ) : 得: (16 ? 4 p ) ? 4 ? ( 4 ? 2 p ) ? 2 ? q ( 4 ? p ) ? 4 ? q ( 2 ? p ) ? 2 ……………9 分
n n n n

由等式 (16 ? 4 p ) ? 2 ? ( 4 ? 2 p ) ? q ( 4 ? p ) ? 2 ? q ( 2 ? p )
n n

对任意 n ? N * 成立得: ?

?16 ? 4 p ? q ( 4 ? p )

? pq ? 8 ?p ? 2 ?p ? 4 ?? 解得: ? 或? ?4 ? 2 p ? q (2 ? p ) ? p ? q ? 6, ?q ? 4 ?q ? 2

故当 p ? 2 时,数列 {a n ?1 ? p ? a n } 成公比为 4 的等比数列; 当 p ? 4 时,数列 {a n ?1 ? p ? a n } 成公比为 2 的等比数列……………11 分 ②由①知: a n ? 4 ? 2 ,
n n

当 n ? 1 时, a1 ? 4 ? 2 ? 6 ? 3 ? 2 ,
1 1 1

当 n ? 2 时, an ? 4 ? 2 ? 2 ? 3 . ..............12 分
n n n

事实上,令 f ( x ) ? ( x ? 1) ? x ( x ? 0), 则 f ' ( x ) ? n ? [( x ? 1)
n n n n

n ?1

? x n ?1 ] ? 0,
n n n n

故 f ( x ) ? ( x ? 1) ? x ( x ? 0) 是增函数,? f (3) ? f ( 2) 即:4 ? 3 ? 3 ? 2 , 即 an ? 4 ? 2 ? 2 ? 3 .
n n n

........................ 14 分

8


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