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三角函数图像变换导学案


y ? A sin(?x ? ? ) 的图像和性质
一、探索 A, ?, ? , k对函数y ? A sin(?x ? ? ) ? k的图像的影响 1、探索 ?对y ? A sin(?x ? ? ) ? k,x ? R 的图像的影响并把结论记录到笔记本上。 2、探索 ?对y ? A sin(?x ? ? ) ? k,x ? R 的图像的影响并把结论记录到笔记本上。 3、探索 A对y ? A sin(?x ? ? ) ? k,x ? R 的图像的影响并把结论记录到笔记本上。 4、探索 k对y ? A sin(?x ? ? ) ? k,x ? R 的图像的影响并把结论记录到笔记本上。 变换的两种基本方法:周期变换 ?相位变换 ?振幅变换 ?上下平移 相位变换 ?周期变换 ?振幅变换 ?上下平移 练习:请你用 y ? sin x 的图像变换到 y ? 2 sin( 3 x ?

?

4

) 为例用两种方法进行变换。

二、三角函数的图像和性质 请你在笔记本上总结下列几个函数的性质。 1、 y ? A sin(?x ? ? ) 图像和性质: 2、 y ? A sin(?x ? ? ) ? k 图像和性质: 3、 y ? A cos(?x ? ? ) 图像和性质: 4、 y ? A cos(?x ? ? ) ? k 图像和性质:

? 5、 y ? A tan( x ? ? ) 图像和性质: ? 6、 y ? A tan( x ? ? ) +k( k ? 0 )图像和性质:
三、 y ? A sin(?x ? ? ) 各字母的名称: 简谐运动的图像对应的函数解析式的形式如下: y ? A sin(?x ? ? ) 1) A 叫简谐运动的( ) ,它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离。 2) ( )是简谐运动的周期,它是做简谐运动的物体往复运动一次所需的时间。 3) ( )是简谐运动的频率,它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动 的次数。 4) ?x ? ? 称为( ) ,x=0 时的相位 ? 称为( ) 。

四、典型例题:

例:由函数 y ? sin x怎样变换得到 y ? 3 sin( 2 x ?

?
6

) ? 1的图像?(两种方法)

1 π 练习:试述如何由 y= sin(2x+ )的图象得到 y=sinx 的图象。 3 3

y/cm 2 A 0.4 O B C
例:如图是某简谐运动的图像。试根据图像回答下列问题: 1) 这个简谐运动的振幅、周期与频率各是多少? 2) 从 O 点算起,到曲线上哪一点,表示完成了一次往复运动?如从点 A 算起呢? 3) 写出这个简谐运动的函数表达式?

E 0.8 D 1.2 F x/s

练习:函数y ? 3 sin(2 x ? 相位、频率。

?
3

)表示一种简谐振动,求 它的振幅、周期、初相 、

例:为了得到 ? sin(2 x ? y A、右移

?
6

)的图像,可以将 ? cos 2 x的图像怎样移动? y C、左移

?
6

B、右移

?
3

?
6

D、左移

?
3
)

π 练习.要得到函数 y=sinx 的图象,只需将函数 y=cos(x- )的图象( 3

π A.向右平移 个单位 6 π C.向左平移 个单位 3

π B.向右平移 个单位 3 π D.向左平移 个单位 6

例:函数f ( x) ? M sin(?x ? ? )(? ? 0)在区间 a, b]上是增函数, [ 且f (a) ? ? M , f (b) ? M , 则g ( x) ? M cos(?x ? ? )在[a, b]上( A、增函数 B、减函数 C、取最大值M ) D、取最小值? M

x 3 例:在同一平面直角坐 标系中,函数y ? cos( ? ? ),x ? [0,2? ]的图像 2 2 1 和直线y ? 的交点个数是( )。 2

练习:方程lg x ? sin 2 x的实根个数有(

)个。

练习: π? ? 1.设函数 f(x)=sin?2x- ?,x∈R,则 f(x)是( ) 2? ? A.最小正周期为 π 的奇函数 B.最小正周期为 π 的偶函数 π π C.最小正周期为 的奇函数 D.最小正周期为 的偶函数 2 2 π? ? 2.y=sin?x- ?的图象的一个对称中心是( ) 4? ? ? 3π ? ?3π ? ?π ? A.(-π ,0) B.?- ,0? C.? ,0? D.? ,0?. ? 4 ? ? 2 ? ?2 ? 2 3.函数 y=sin x+sin x-1 的值域为( ) 5? ? 5 ? ? 5 ? ? A.[-1,1] B.?- ,-1? C.?- ,1? D.?-1, ? 4? ? 4 ? ? 4 ? ? ?4π ? 4. 如果函数 y=3cos(2x+φ )的图象关于点? ,0?中心对称, 那么|φ |的最小值为( 3 ? ? π π π π A. B. C. D. 6 4 3 2 5、为得到函数 y=cos(2x+

)

? )的图象,只需将函数 y=sin 2x 的图象( ) 3 5? 5? A.向左平移 个长度单位; B.向右平移 个长度单位; 12 12 5? 5? C.向左平移 个长度单位 D.向右平移 个长度单位 6 6 ? 2π 2π ? 6.若函数 f(x)=2sin ω x (ω >0)在?- , ?上单调递增,则 ω 的最大值为________. 3 ? ? 3

7.函数 y=lg(sin x)+ 8.把函数 y=cos(2x+ 来的

1 cos x- 的定义域为________________. 2

? ? )的图象向右平移 个单位,再把所得图象上各点的横坐标缩短为原 4 8
.

1 (纵坐标不变) ,则所得图象的解析式为 2

9.(14 分)设函数 f(x)=sin(2x+φ ) (-π <φ <0),y=f(x)图象的一条对称轴是直线 x π = . 8 (1)求 φ ; (2)求函数 y=f(x)的单调增区间.

10.设 f ( x) ? sin(cos x),(0 ? x ? ? ) ,求 f ( x ) 的最大值与最小值.

自我检测:

x π π 1、将 y=2cos( + )的图象向左平移- ,再向下平移 2 个单位,则平移后所得图象的解 3 6 4 析式为( ) x π x π A.y=2cos( + )-2 B.y=2cos( - )+2 3 4 3 4 x π x π C.y=2cos( - )-2 D.y=2cos( + )+2 3 12 3 12
2. 函数 y ? sin(2 x ? ?)(0 ? ? ? ? ) 是 R 上的偶函数,则 ? 的值是( A. )

0

B.

3. 若 A. C.

?
4

? 4

C.

?? ?

?
2

? 2

D.

?

, 则( D ) (45<a<90)
B. D.

sin ? ? cos ? ? tan ?

cos ? ? tan ? ? sin ?

sin ? ? tan ? ? cos ?

tan ? ? sin ? ? cos ?


4. 函数 y ? sin( 2 x ? A. x ? ?

?
2

5 ? ) 的一条对称轴方程( 2
B. x ? ?

?

4

C. x ?

?
8

D. x ?

5 ? 4


5. 使 y ? sin ?x (ω >0)在区间[0,1]至少出现 2 次最大值,则ω 的最小值为( A. ?

5 2

B. ?

5 4

C.π )

D. ?

3 2

6、函数 y=-xcosx 的部分图象是(

7.已知函数 f(x)=2sin ? x( ? >0)在区间[ ? A.

? ?
3
,

4

]上的最小值是-2,则? 的最小值等于 D.3

2 3

B.

3 2

C.2

π 8、 将函数 f(x)=2sin(x- )的图象向右平移 φ (φ >0)个单位, 所得图象对应的函数为奇 6 函数,则 φ 的最小值为________. 9. 函数 y ?

2 ? cos x 的最大值为________. 2 ? cos x

10. 满足 sin x ?

3 的 x 的集合为_________________________________. 2

11. 若 f ( x) ? 2 sin ?x(0 ? ? ? 1) 在区间 [0, 12.方程 2 cos( x ?

?
3

] 上的最大值是 2 ,则? =________.


?
4

) ? 1 在区间 (0, ? ) 内的解是

π? ? ? π ? -5≤f(x)≤1. 13. 分)已知 a>0, (14 函数 f(x)=-2asin?2x+ ?+2a+b, x∈?0, ?时, 当 6? 2? ? ? (1)求常数 a,b 的值; ? π? (2)设 g(x)=f ?x+ ?且 lg g(x)>0,求 g(x)的单调区间. 2? ?

14. f ( x) ? 2 3 sin( 3?x ?

?
3

) (ω >0)
.

(1)若 f (x +θ )是周期为 2π 的偶函数,求ω 及θ 值; ω = 1/3 ,θ = (2)f (x)在(0,

? )上是增函数,求ω 最大值。 3

15.画图y ? sin x ? 2 sin x ,x ? [0,2? ],与直线y ? k有且仅有两个不同 的交点,则k的取值范围是 ( ).1 ? k ? 3


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