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山东省日照市2016年高三校际联合检测试题(二模)数学试题(理)

2016 年高三校际联合检测

理科数学
2016.05 本试卷分第 I 卷和第Ⅱ卷两部分,共 5 页。满分 150 分。考试时间 120 分钟。考试结 束后,将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项: 1.答题前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将姓名、座号、考生号、县区和科类填 写在答题卡和试卷规定的位置上。 2.第 I 卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。 3.第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内 相应的位置;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、 胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。 4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 参考公式:V柱体 =Sh (S 是柱体的底面积,h 是柱体的高);V球 = ? R (R 是球的半径)
3

4 3

如果事件 A 在一次试验中发生的概率为 p,那么在 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生
k k k 次的概率为 Pn ? k ? ? Cn p ?1 ? p ? n?k

? k ? 0,1, 2, ???, n ? .

第 I 卷(共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. (1)若复数 z 满足 z ? 1 ? (i 为虚数单位),则复数 z 的共轭复数 z 的模为 (A)0 (B)1 (C)

1 i

2

(D)2

x (2) 若集合 A ? x 2 ? 1 ,集合 B ? x ln x ? ? ,则“x∈A”是“x∈B”的

?

?

?

?

(A)充分不必要条件 (C)充要条件

(B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

(3)设随机变量 ? 服从正态分布 N ? 0,1? , P ?? ? 1? ? p,

则? P ?1 ? ? ? 0? =
(A)

1 p 2

(B) 1 ? p

(C) 1 ? 2 p

(D)

1 ?p 2

(4) 一个算法的程序框图如图所示,若该程序输出的结果为 10, 则判断框中应填入的条件是 (A) k ? ?3 (B) k ? ?2 (C) k ? ?3 (D) k ? ?3 (5)把函数 f ? x ? ? sin ? 2 x ?

? ?

??

? ? 图象向左平移 4 个单位后所得图 3?

象与 y 轴距离最近的对称轴方程为 (A)

x?

?
3

(B)

x??

?
6

(C)

x??

?
24

(D)

x?

11? 24

(6)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 A)

4? 3

(B)

5? 3
cos x

(C) 2 ?

2? 3

(D) 4 ?

2? 3

(7) 函数 y ? e 的大致图象为

? ?? ? x ? ? ?

(其中 e 为自然对数的底数)

(8) ?ABC 三内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, b ? c ? bc ? a ? 0 , 则
2 2 2

an s i3 0?

?

?C?

b?c

的值为 (A) ?

1 2

(B)

1 2
2

(C) ?
2

3 2

(D)

3 2

(9)已知直线 x ? y ? 0 ? k ? 0? 与圆 x ? y ? 4 交于不同的两点 A,B,O 为坐标原点,且 有 OA ? OB ? (A) ? 2, 2 2

??? ? ??? ?

? 3 ??? AB ,则 k 的取值范围是 3

?

?

(B)

?

3, ??

?

(C) ? 2, ??

?

?

(D) ? 3, 2 2 ?

?

?

x2 y 2 (10) 如图, 已知双曲线 C : 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的右顶点为 A, O 为坐标原点, 以A a b
为圆心的圆与双曲线 C 的一条渐近线交于 P,Q 两点,若 ?PAQ ? 60? , 且OQ ? 3OP , 则双曲线 C 的离心率为 (A)

????

??? ?

2 3 3 39 6

(B)

7 2

(C)

(D)

3

第 II 卷(共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. (11)将某班参加社会实践的 48 名学生编号为:l,2,3,?,48,采用系统抽样的方法从 中抽取一个容量为 6 的样本,已知 5 号,21 号,29 号,37 号,45 号学生在样本中,则 样本中还有一名学生的编号是____________. (12)不等式 x ?1 ? x ? 2 ? 4 的解集为_________.

? x ? y ? 0, ? (13) 设不等式组 ? x ? y ? 4, 表示的平面区域为 M, 若直线 l : y ? k ? x ? 2? 上存在区域 M ?x ? 1 ?
内的点,则实数 k 的取值范围是___________. (14) 已知函数 f ? x ? ? 2 且f ? x ? ? g ? x ? ? h ? x ? , 其中 g ? x ? 为奇函数,h ? x ? 为偶函数,
x

若不等式 2ag ? x ? ? h ? 2x ? ? 0对x ??1,2? 恒成立,则实数 a 的取值范围是__________. (15) 设 集 合 A ?

?? m , m , m?
1 2 3

m i? 2? ,3 ,则集合 A 中满足条件: ? 1, ? i ?? ?2 , 0 , 2 ,

?

“ 2 ? m1 ? m2 ? m3 ? 5 ”的元素个数为__________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. (16)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? cos x 2 3 sin x ? cos x ? a sin x 的一个零点是
2

?

?

? . 12

(I)求函数 f ? x ? 的最小正周期;

(II)令 x ? ? ?

? ? ?? ,求此时 f ? x ? 的最大值和最小值. , ? 6 4? ?

(17)(本小题满分 12 分) 如图,已知平面 OBC 与直线 PA 均垂直于已知函数 Rt ?ABC 所 在的平面,且 PA ? AB ? AC . (I)求证: PA / / 平面 QBC; (II)若 PQ ? 平面 QBC,求二面角 Q ? PB ? A 的余弦值.

(18)(本小题满分 12 分) 某公司做了用户对其产品满意度的问卷调查, 随机抽取了 20 名用户(其中有 7 名男性用户 和 13 名女性用户)的评分,得到如图所示茎叶图.对不低于 75 的评分,认为用户对产品 满意,否则,认为不满意.已知对产品满意用户中男性有 4 名. (I)以此“满意”的频率作为概率,求在 3 人中恰有 2 人满意的概率; (II)从以上男性用户中随机抽取 2 人,女性用户中随机抽取 1 人,其中满意的人数为 ? , 求 ? 的分布列与数学期望.

(19)(本小题满分 12 分) 设 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 是函数 f ? x ? ? 中点,已知点 M 的横坐标为

1 x ? log 2 图象上任意两点,M 为线段 AB 的 2 1? x

1 ?1? .若 Sn ? f ? ? ? 2 ?n?

?2? ? n ?1 ? ? f ? ? ? ??? ? f ? ?, n ? N ,且 ?n? ? n ?

n ? 2.
(I)求 Sn ;

?2 , n ? 1, ? ?3 ? (II) 已 知 an ? ? 其中 n? N .T n 为 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 , 若 1 ? , n ? 2. ? ? ? Sn ? 1?? Sn ?1 ? 1?

Tn ? ? ? Sn?1 ?1? 对一切 n∈N*都成立,试求实数 ? 的取值范围.

(20)(本小题满分 13 分) 已知函数 f ? x ? ? (I)设函数 g ? x ? ?

f ? ?1? 1 3 x ? ax ? ln x ? 1? ? x ? a ? R且a ? 0 ? . 6 2

1 3 x x ? ? f ? x ? ,求函数 g ? x ? 的单调递增区间; 6 2 1 (II)当 a ? 0 时,设函数 h ? x ? ? f ? ? x ? ? ; 2
①若 h ? x ? ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围; ②证明: ln ?1 ? 2 ? 3 ????? n ? (21)(本小题满分 14 分) 已知椭圆 C1 :
2e

? 12 ? 22 ? 32 ? ??? ? n 2 ( n ? N * , e 为自然对数的底数).

x2 y 2 ? 3? ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 左右两个焦点分别为 F1 , F2 , R ?1, ? 为椭圆 C1 上一 2 a b ? 2?

点,过 F2 且与 x 轴垂直的直线与椭圆 Cl 相交所得弦长为 3.抛物线 C2 的顶点是椭圆 C1 的中心,焦点与椭圆 C1 的右焦点重合. (I)求椭圆 C1 和抛物线 C2 的方程: (II)过抛物线 C2 上一点 P(异于原点 O)作抛物线 切线 l 交椭圆 C1 于 A,B 两点.求 ?AOB 面积 的最大值; (III)过椭圆 C1 右焦点 F2 的直线 l1 与椭圆相交于 C,D 两点,过 R 且平行于 CD 的直线交椭圆于 另一点 Q ,问是否存在直线 l1 ,使得四边形 RQDC 的对角线互相平分?若存在,求出 l1 的方程;若不存在,说明理由.

2016 年高三模拟考试

理科数学参考答案
2016.05 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. CBDAB, BCBAB (1)解析:答案 C, z ? 1 ? = 1 ? i , z ?

1 i

2.

x (2)解析:答案 B,集合 A ? {x 2 ? 1} ? {x x ? 0} ,集合 B ? {x ln x ? 0} ? {x x ? 1} ,

则 B ? A ,即“ x ? A ”是“ x ? B ”的必要不充分条件, (3)解析:答案 D.据正态曲线可以有 P (?1 ? (4)解析:答案A. k =1, s ? 0 , 第一次 s ? ?2, k ? 0 , 第二次 s ? ?2, k ? ?1 , 第三次 s ? 0, k ? ?2 , 第四次 s ? 4, k ? ?3 , 第五次 s ? 10, k ? ?4 , 所以 k ≥-3. (5)解析:答案B.函数

? ? 0) ?

1 ? 2 P(? ? 1) 1 ? ? p. 2 2

f ( x) ? sin(2 x ?

?
3

)

所对应的图象向左平移

? 4



f ( x) ? sin 2( x ?

?
6

?

?
4

) ,即

f ( x) ? sin(2 x ?

5? ) 6

,对称轴方程为

2x ?

5? ? k? ? ? k? ? , x ? ? . 6 2 2 6

(6)答案 B.解析:几何体是由直径为 2 的半球,和底面直径为 2 高 为 2 的半圆柱(被轴截面一分为二)构成,所以 体积 V ?

1 4 3 1 1 4 1 5 ? πR ? ? πR 2 h ? ? π ?13 ? ? π ?12 ? 2 ? π . 2 3 2 2 3 2 3
cos x

(7)答案 C.解析:函数 y ? e

(?π ? x ? π) 是偶函数,

在 [0, π ] 是减函数,故可排除 B、D、A 选项.

b2 ? c2 ? a 2 bc 1 ? ? ,? A ? 120? . (8)答案 B.解析:? cos A ? 2bc 2bc 2
a sin(30? ? C ) sin 120? sin(30? ? C) ? ? ? b?c sin(60? ? C) ? sin C 3 3 sin(30? ? C) sin(30? ? C) 1 2 ? 2 ? 2 3 3 3 sin(30? ? C) cos C ? sin C 2 2

(9)答案 A.解析:由已知得圆心到直线的距离小于半径, 即

|k | ? 2, 2
由 k ? 0 得 0 ? k ? 2 2 ,----①

? 3 ??? | AB | ,得 3 ? 3 | OM |? | BM | ? ?MBO ? , 6 3 |k| ? 1 ? k ? 2 ,----② 因 | OB |? 2 ,所以 | OM |? 1 ,故 1+1 综①②得 2 ? k ? 2 2 .
如图,又由 | OA ? OB |? (10)答案 B.解析:因为 ?PAQ ? 60 且 OQ ? 3OP ,所以 ?QAP 为等边三角形.设
0

??? ? ??? ?

AQ ? 2R, 则 OP ? R , 渐 近 线 方 程 为 y ?

b x, A(a,0), 则 点 A 到 PQ 的 距 离 a

d?

| ?ab | a ?b
2 2

? 3R, ?(ab)2 ? 3R2 (a 2 ? b2 ) .........①

(3R) 2 ? (2 R) 2 ? a 2 1 ? ,可得 a 2 ? 7 R 2 ........② 在 ?OQA中, 2 ? 3R ? 2 R 2
由①②结合 c ? a ? b ,可得 e ?
2 2 2

c 7 ? . a 2

故选 B.

第Ⅱ卷(共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. (11)答案 13 . (12)答案[-

17 1 3 5 , ?? ) .(15)答 , ] , (13)答案[ , 1] .(14)答案 [ ? 3 12 2 2

案 18. (11)答案 13 .解析:系统抽样也叫等距抽样,因共 48 人,抽取样本容量为 6 ,所以抽 样距为 8 ,所以这 6 个样本编号由小到大是以 8 为公差的等差数列,故样本中另一名学生 的编号为 13 . (12)答案[-

3 5 , ]. 2 2

?? 1 ; 解析:x ? ?1 时,? x ? 1 ? x ? 2 ? 4 , 得? ? x

3 2 ?1 ? x ? 2 时, x ? 1 ? x ? 2 ? 4 ,得 ?1 ? x ? 2 ; 5 x ? 2 时, x ? 1 ? x ? 2 ? 4 ,得 2 ? x ? ; 2

3 5 , ]. 2 2 1 ( 13 )答案 [ , 1] .解析:据题意画出平面区域 M ,如图 . 直线 l : y ? k ( x ? 2) 过点 3
答案[-

D(?2,0) ,要使得直线 l : y ? k ( x ? 2) 上存在区域 M 内的点,只需要 k DA ? k ? k DC , 即
1 ? k ? 1. 3
(14)答案 [ ?

17 , ?? ) .解:由已知得 g ( x) + h( x)=2x , ??????????①, 12

所以 g (- x) + h(- x)=2- x , 又因为 g ( x) 为奇函数, h( x) 偶函数, 故 - g ( x) + h( x)=2- x , ????????②

①②联立解得 h( x)=

2 x +2- x 2 x - 2- x , g ( x) = . 2 2 22 x + 2- 2 x ≥0 在 [1, 2] 上恒成立. 2

x -x 代入不等式 2ag ( x) + h(2 x)≥0, 得: a(2 - 2 ) +

3 15 ? [ , ] ,则 22 x + 2- 2 x =t 2 + 2 . 2 4 1 2 3 15 则原不等式可化为 a≥ ? 2 (t ? t ), t ? [ 2 , 4 ] 恒成立
令t ? 2 ? 2
x ?x

显然当 t = 2 时,右式取得最大值为 - 12 , a≥ - 12 . (15)答案 18. 解析:对于 2≤|m1|+|m2|+|m3|≤5 分以下几种情况: ①|m1|+|m2|+|m3|=2,即此时集合 A 的元素含有一个 2,或﹣2,两个 0,2 或﹣2 从三个位 置选一个有 3 种选法,剩下的位置都填 0,这种情况有 3×2=6 种; ②|m1|+|m2|+|m3|=4,即此时集合 A 含有两个 2,或﹣2,一个 0;或者一个 2,一个﹣2, 一个 0; 当是两个 2 或﹣2,一个 0 时,从三个位置任选一个填 0,剩下的两个位置都填 2 或﹣2, 这种情况有 3×2=6 种; 当是一个 2,一个﹣2,一个 0 时,对这三个数全排列即得到 3×2×1=6 种; ∴集合 A 中满足条件“2≤|m1|+|m2|+|m3|≤5”的元素个数为 6+6+6=18. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. (16)解: (Ⅰ) f ( x) ? cos x(2 3 sin x ? cos x) ? a sin 2 x

3

17

17

? 2 3 sin x cos x ? cos2 x ? a sin 2 x
1 1 ? 3 sin 2 x ? (cos 2 x ? 1) ? a(1 ? cos 2 x) 2 2 1 1 ? 3 sin 2 x ? (a ? 1) cos 2 x ? (a ? 1) , ????????????3 分 2 2 π 由已知 f ( ) ? 0 ,即 12 π 1 π 1 3 sin ? (a ? 1) cos ? (a ? 1) ? 0 , 6 2 6 2 解得 a ? 1 . ????????????4 分 1 1 所以 f ( x) ? 3 sin 2 x ? (1 ? 1) cos 2 x ? (1 ? 1) 2 2 π ? 3 sin 2 x ? cos2 x ? 2 sin( 2 x ? ) . 6 2π ?π. 所以函数 f ( x) 的最小正周期 T ? ????????????7 分 2 π π π π π π (Ⅱ)? x ? [ ? , ] ,? ? ? 2 x ? ? ? , 6 4 2 6 3 2 π π 所以 f ( x) 在 [ ? , ] 上是增函数, ????????????10 分 6 4 π π π 当 x ? ? 时, f ( x) min ? f (? ) ? 2 sin( ? ) ? ?2 ; 6 6 2

当x ?

π π π 时, f ( x) max ? f ( ) ? 2 sin( ) ? 3 .????????????12 分 4 4 3

(17) (Ⅰ)证明:过点 Q 作 QD ? BC 于点 D ,? 平面 QBC 与平面 ABC 交线为 BC ,

? 平面 QBC ? 平面 ABC ,?QD ? 平面 ABC ,
又? PA ? 平面 ABC ,?QD / / PA , 又? QD ? 平面 QBC , PA ? 平面 QBC , PA / / 平面 QBC. ??????5 分 (Ⅱ)解法一:? PQ ? 平面 QBC ,

??PQB ? ?PQC ? 90o ,又? PA ? AB ? AC ,
? PB ? PC , PQ ? PQ ,??PQB ? ?PQC ,? BQ ? CQ .

? 点 D 是 BC 的中点,连接 AD ,则 AD ? BC ,? 平面 QBC ? 平面 ABC ,
? AD ? 平面 QBC ,

? PQ / / AD , AD ? QD ,又? QD / / PA,

? 四边形 PADQ 是矩形..
分别以 AC , AB , AP 为 x, y , z 轴建立空间直角坐标 系 O ? xyz . 不妨设 PA ? 2 ,则 Q(1,1, 2) , B(0, 2, 0) , P(0, 0, 2) , 设平面 QBP 的法向量为 n ? ( x,y,z) ,

?

? ??? ? ??? ? ??? ? ? ?n ? PQ ? 0 ? x ? y ? 0 ,? ? , ? PQ ? (1,1,0), PB ? (0, 2 ? 2), 则 ? ? ??? ? 2 y ? 2 z ? 0 n ? PB ? 0 ? ? ? ? 可求平面 QBP 的一个法向量 n ? (1, ?1, ?1) .
又? 平面 PAB 的法向量为 m ? (1,0,0) ,

??

? ?? ? ?? n?m 3 ?= , cos ? n, m ?? ? ?? | n||m| 3
因为二面角 Q ? PB ? A 的平面角为钝角,

所以二面角 Q ? PB ? A 的余弦值为 ? 解法二:? PQ ? 平面 QBC ,

3 . 3

???????????12 分

??PQB ? ?PQC ? 90o ,又? PA ? AB ? AC ,
? PB ? PC , PQ ? PQ ,??PQB ? ?PQC ,? BQ ? CQ .

? 点 D 是 BC 的中点,连接 AD ,则 AD ? BC ,? 平面 QBC ? 平面 ABC ,
? AD ? 平面 QBC ,

? PQ / / AD , AD ? QD ,又? QD / / PA,

? 四边形 PADQ 是矩形.
设 PA ? 2a, PQ ? AD ? 2a, PB ? 2 2a, ? BQ ? 6a . 过 Q 作 QR ? PB 于点 R,

? QR ?

PQ 2 2 2a ? 6a 6 ? a, ? a, PR ? PB 2 2 2 2a

取 PB 的中点 M , 连接 AM , 取 PA 的中点 N , 连接 RN ,

? PR ?

1 1 1 PB ? PM , PN ? PA, 4 2 2

? MA / / RN , ? PA ? AB, ? AM ? PB,? RN ? PB, ??QRN 为二面角 Q ? PB ? A 的平面角.
2 2 连接 QN , 则 QN ? QP ? PN ?

2a 2 ? a 2 ? 3a.

又 RN ?

2 a, 2
2 2 2

3 2 1 2 a ? a ? 3a 2 QR ? RN ? QN 3 2 ??QRN ? ?2 ?? . 2QR ? RN 3 6 2 2? a? a 2 2
所以二面角 Q ? PB ? A 的余弦值为 ?

3 . ???????????12 分 3

(18)解: (Ⅰ)由频率估计“满意”的概率为 6 ? 0.3 ,

20

2 ∴在 3 人中恰有 2 人满意的概率为 C3 【或 189 】.???5 分 0.32 ? (1 ? 0.3) ? 0.189 ;

( Ⅱ ) ? 的 可 能 取 值 为 0 、 1 、 2 、 3 ,
1 1 1 1 C3 C4 C11 C32 C2 P(? ? 1) ? 2 ? 1 ? 2 ? 1 ? 46 , C7 C13 C7 C13 91

1000 1 C32 C11 P(? ? 0) ? 2 ? 1 ? 11 , C7 C13 91

P(? ? 3) ?

2 1 C4 C2 ? ? 4 , 2 1 91 C7 C13

P(? ? 2) ? 1 ? 11 ? 46 ? 4 ? 30 ,??????10 分 91 91 91 91
0 1 2 3

? 的分布列为
数学期望

?
P

11 91

46 91

30 91

4 91

??????????12 分 E? ? 1? 46 ? 2 ? 30 ? 3 ? 4 ? 118 . 91 91 91 91 (19)解: (Ⅰ)∵ M 是 AB 的中点.设 M 点的坐标为(x,y) , 1 1 由 ( x1 ? x2 ) ? x ? , 得 x1 ? x2 ? 1 , 2 2

f ( x 1 ) ? f ( x2 ) ? 1 ? log 2

x1 x2 ? log 2 1 ? x1 1 ? x2

x x2 ? 1 ? log 2( 1 ? ) 1 ? x1 1 ? x2 ? 1 ? log 2 1 ?1

?

1 2 n ?1 Sn ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( ), n ? N ? 且 n ? 2 , n n n

又 Sn ? f (

n ?1 n?2 1 )? f ( ) ? ? ? f ( ), n ? N ? 且 n ? 2 , n n n

两式相加,得

1 n ?1 2 n?2 n ?1 1 2S n ? [ f ( ) ? f ( )] ? [ f ( ) ? f ( )] ? ? [ f ( ) ? f ( )] n n n n n n =1 ?? 1? ? ? 1 , ? ? ? ?
n ?1

∴ Sn ?

n ?1 (n ? 2, n ? N ? ) . 2

???????????6 分

4 (Ⅱ)当 n ? 1 时,由 T1 ? ?(S2 ? 1) 得 ? ? , 9.
当 n ? 2 时, an ?

1 4 1 1 ? ? 4( ? ). ( Sn ? 1)( Sn ?1 ? 1) (n ? 1)(n ? 2) n ?1 n ? 2 Tn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ?an

?1 1 1 1 ? ( ? )? ? ? ? ?( ? ) 2 ? 4 n ?1 n ?2 ? = ? 4 ? 3 ? 3


2 1 1 2n ? 4( ? )? . 3 3 n?2 n?2 n?2 2n ??? 由 Tn ? ? (Sn?1 ? 1) ,得 n?2 2 ,

∴? ?

4n 4n 4 ? 2 ? . 2 (n ? 2) n ? 4n ? 4 n ? 4 ? 4 n 4 ∵ n ? ? 4 ,当且仅当 n ? 2 时等号成立,∴ n
1 . 2 1 2

4 4 1 ? ? . 4 n? ?4 4?4 2 n

因此 ? ?

综上λ 的取值范围是 ( ,?? ) . (20)解:(I) f ?( x) ?

???????????12 分

1 2 f ?(1) 1 f ?(1) x ? a ln x ? , f ?(1) ? 1 . , f ?(1) ? ? 2 2 2 2 1 g ( x ) ? ax (ln x ? 1), g ?( x ) ? a[(ln x ? 1) ? x ? ] ? a ln x , 令 g? ? x ? ? 0 , x 当 a ? 0 时,解得 x ? 1 ;当 a ? 0 时,解得 0 ? x ? 1 ,
所以 a ? 0 时函数 g ? x ? 的单调递增区间是 ?1, ?? ? ;

a ? 0 时函数 g ? x ? 的单调递增区间是 ? 0,1? .
(II)⑴因为 a ? 0 , h( x) ? f ?( x) ?

...................4 分

1 1 2 ? x ? a ln x ,由题意得 0 ? h ? x ?min , 2 2 a x 2 ? a ( x ? a )( x ? a ) ? 因为 h? ? x ? ? x ? ? , x x x 所以当 x ? (0, a ) 时, h? ? x ? ? 0 , h ? x ? 单调递减;
当 x ? ( a , ??) 时, h? ? x ? ? 0 , h ? x ? 单调递增;

? h( x) min ? h( a ) ?
由0 ? 分

1 a ? a ln a . 2

1 a ? a ln a 得 ln a ? 1 ,则实数 a 的取值范围是 ? 0,e? (分离参数法亦可).......9 2

⑵由⑴知 a ? e 时, h ? x ? ? 成立,

1 2 x ? e ln x ? 0 在 x ? ? 0, ?? ? 上恒成立,当 x ? e 时等号 2

? x ? N?时, 2eln x ? x2 ,令 x ? 1, 2,3 ???, n ,累加可得 ,

2e ? ln1 ? ln 2 ? ln3 ? L ? ln n? ? 12 ? 22 ? 32 ? L ? n2
即 ln ?1? 2 ? 3 ? L ? n ?
2e

, . ...... ...................13 分

? 12 ? 22 ? 32 ? L ? n 2 , ? n ? N? ?

(21)解析:(Ⅰ)由已知得,∵ RF2 ? x 轴,∴ | RF2 |? 椭圆的定义得: | RF1 | ? ∵

3 ,由 2

3 ? 2a ,又 c ? 1 , 2 9 | RF1 |2 ? (2c ) 2 ? 4





3 9 (2a ? ) 2 ? 4c 2 ? 2 4,
2 ∴ 2a ? 4a ? 0, a ? 2 , c ? b ? a , b ? 3 ,
2 2 2 2

y A P
x

∴所求椭圆 C1 :

x2 y 2 ? ? 1 ,抛物线 C2 : y 2 ? 4x 4 3

O

B
第 21 题图

.???????????4 分 (Ⅱ)设 P(t ,2t )(t ? 0) ,显然切线 l 的斜率存在,
2

设切线 l 的方程为 y ? 2t ? k ( x ? t 2 ) , 即 y ? k ( x ? t 2 ) ? 2t .
2 ? ? y ? k ( x ? t ) ? 2t 由? 2 ,消去 x 得 ky 2 ? 4 y ? 4kt 2 ? 8t ? 0 , y ? 4 x ? ?

2 由 ? ? 16 ? 16k (?kt ? 2t ) ? 0 ,得 k ?

1 . t

从而切线 l 的方程为 x ? ty ? t 2 .

? x ? ty ? t 2 ? 2 2 3 4 由 ? x2 y 2 ,得 (3t ? 4) y ? 6t y ? 3t ? 12 ? 0 , ?1 ? ? 3 ?4
令 36t 6 ? 12(3t 2 ? 4)(t 4 ? 4) ? 0 ,得 0 ? t ? 4 .
2



AB ? 1 ? t 2 y1 ? y2 ? 1 ? t 2 ( y ? y )2 ? 4 y y , 1 2 1 2
6t 3 2 4(3t 4 ? 12) ?t 4 ? 3t 2 ? 4 2 = 4 3 1? t ( 2 ) ? 3t ? 4 3t 2 ? 4 (3t 2 ? 4)2 t2 1 ? t2


= 1? t

2

原点到切线 l 的距离为 d ?

所以 S ?

1 t 4 (?t 4 ? 3t 2 ? 4) AB ? d = 2 3 . 2 (3t 2 ? 4)2
2 2

令 u ? 3t ? 4 , 0 ? t ? 4 , 4 ? u ? 16 .

(u ? 4) 2 (u ? 4) 2 (? ? u) 2 3 (u 2 ? 8u ? 16)( ?u 2 ? 17u ? 16) 9 9 则有 S ? 2 3 = , u2 9 u2
令v ? u ?

16 16 , 因为 4 ? u ? 16 , 所以 v ? u ? 在区间 (4,16) 上为增函数, 得 8 ? v ? 17 . u u

从而 S ?

25 2 3 625 625 2 3 当v ? 时,Smax ? ?v 2 ? 25v ? 136 , ? ? ? 136 = 3 2 9 9 4 2 16 25 25 ? 3 41 3 ? 41 ? ,得 u ? ,有 t ? ? 2, u 2 4 2

由v ? u ?

故当 t ?

3 ? 41 时,面积有最大值 3 . 2

???????????10 分

(Ⅲ)解法一:由题意知直线 l1 的斜率存在,设直线的方程为 y ? m( x ? 1) ,

? x2 y2 ?1 ? ? 联立 ? 4 . 3 ? ? y ? mx ? m
设 C( x1, y1 ), D( x2 , y2 ) 得 (3 ? 4m2 ) x 2 ? 8mx ? 4m2 ? 12 ? 0 , x1 ? x2 ?

8m 2 4m 2 ? 12 x x ? , , 1 2 3 ? 4m 2 3 ? 4m 2

? x2 y2 ? ?1 ? 3 ?4 3 直线 RQ 的方程为 y ? m( x ? 1) ? .与椭圆方程联立 ? ,设 Q( x3 , y3 ) 2 3 ? y ? m ( x ? 1) ? ? ? 2

(3 ? 4m2 ) x2 ? (12 ? 8m)mx ? 4m2 ? 12m ? 3 ? 0
x3 ? 1 ? ?(12 ? 8m)m 4m 2 ? 12m ? 3 x ? 1 ? , 3 3 ? 4m 2 3 ? 4m 2

若四边形 RQCD 的对角线互相平分, 则四边形 RQCD 是平行四边形,RD 与 QC 的 中点重合, 所以

x3 ? x1 x2 ? 1 2 2 2 2 ? 即 ( x1 ? x2 ) ? (1 ? x3 ) ,所以 ( x1 ? x2 ) ? 4 x1x2 ? (1 ? x3 ) 2 2
3 4m 2 ? 12m ? 3 2 16(9 ? 9m 2 ) (1 ? ) ,得 m ? . = 2 2 2 4 3 ? 4m (3 ? 4m )

所以

解法二:由题意知直线 l1 的斜率存在,设直线的方程为 y ? m( x ? 1) ,

? x2 y2 ?1 ? ? 联立 ? 4 . 3 ? ? y ? mx ? m
设 C( x1, y1 ), D( x2 , y2 ) 得 (3 ? 4m2 ) x 2 ? 8mx ? 4m2 ? 12 ? 0 , x1 ? x2 ?

8m 2 4m 2 ? 12 x x ? , , 1 2 3 ? 4m 2 3 ? 4m 2

CD ? 1 ? m 2 x1 ? x2 = 4 1 ? m 2

9 ? 9m 2 , 3 ? 4m 2

? x2 y2 ? ?1 ? 3 ?4 3 直 线 RQ 的 方 程 为 y ? m( x ? 1) ? . 与 椭 圆 方 程 联 立 ? ,设 2 ? y ? m ( x ? 1) ? 3 ? ? 2

Q( x3, y3 ) R( x3 , y4 ) (3 ? 4m2 ) x2 ? (12 ? 8m)mx ? 4m2 ? 12m ? 3 ? 0
x3 ? x4 ? ?(12 ? 8m)m 3 ? 4m 2


x3 x4 ?

4m 2 ? 12m ? 3 3 ? 4m 2



RQ ? 1 ? m 2 x3 ? x4 = 6 1 ? m2

4m 2 ? 4m ? 1 , 3 ? 4m 2

若 四 边 形 RQCD的 对 角 线 互 相 平 分 , 则 四 边 形 RQCD 是 平 行 四 边 形 , 所 以

CD = RQ ,
4 1? m

2

9 ? 9m 2 2 = 4 3 1? m 2 3 ? 4m

9m2 ? 12m ? 3 , 3 ? 4m2
得 ???????????14 分

m?

3 . 4


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