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不等关系与不等式(第二课时)


不等式的性质(2)

Simon-yu

? 两个实数比较大小的基本原理(不等式的基本原理)
? a - b > 0 <=> a > b ? a - b = 0 <=> a = b ? a - b < 0 <=> a < b

不等式的性质
性质1.如果 a

? b , 那么 b ? a ; 如果b ? a , 那么 a ? b

即 a ? b ? b ? a(对称性)

不等式的性质
性质2.如果 a ? b , 且 b ? c , 那 么 a ? c
即 a ? b, b ? c ? a ? c 由性质1,性质2可以表示为如果 (传递性)

c ? b 且b ? a 那么 c ? a

这种传递性可以推广到n个的情形.
性质3:如果a>b, 那么a+c>b+c 性质4:如果a>b, c>0, 那么ac>bc.

如果a>b, c<0, 那么ac<bc

性质5:如果a>b, c>d, 那么 a+c>b+d
(同向不等式的可加性)

证明:∵ a>b,∴a+c>b+c

又∵ c>d,∴c+b>d+b
由性质2(不等式的传递性)得

a+c>b+d

新课讲解
性质 6 . (正数同向不等式的可 乘性) a ? b ? 0 且 c ? d ? 0 ? ac ? bd

a> b>0, a> b> 0,…..,a> b> 0(n个不等式) 利用性质6可得:

性质 7 . (正数同向不等式乘方 a ? b ? 0 ? a
n n

性质)

? b (n ? N , n ? 2)

性质 8 . (正数不等式开方性质 a ? b ? 0 ?
n

)

a ?

n

b (n ? N , n ? 2)

反证法

? 不等式的基本原理
? a - b > 0 <=> a > b ? a - b = 0 <=> a = b ? a - b < 0 <=> a < b

? 它是不等式这一章的理论基础,是证明不等 式以及解不等式的主要依据
如何比较两个数的大小?

只要考察它们 的差就可以

我是最棒的

?

例 1: 已知x≠0,比较( x2+1)2与x4+x2+1的大小
解: ( x2+1)2—( x4+x2+1) =x4+2x2+1-x4-x2-1 =x2 由x ≠0,得x2>0

从而( x2+1)2>x4+x2+1

我是最棒的 例2:

?
c a
1 ab

已知 a ? b ? 0 , c ? 0 , 求证:

?

c b

证明 :∵ a>b>0, 两边同乘以 正数
得 1 b ? 1 a
即 1 a ? 1 b

又∵c<0
? c a ? c b

作差法也 可以 哟

方法小结:
1.多个不等式相乘、相除及不等式 的乘方与开方要特别注意成立的 条件. 2.不等式的证明必须依赖性质形式 来推理. 3.反证法是数学证明中常用的思想 方法之一.

随堂练习
? 1.判断下列各式是否正确?为什么? (1) 如果a >b,那么a-c>b-c 正确 (2)如果a > b,那么
a c ? b c

错误
错误

(3)如果ac<bc,那么a<b

(4) 如果ac2 > bc2,那么a>b 正确

2 .用不等号“

?”或“ ?”填空: b? d

> (1 ) a ? b , c ? d ? a ? c ______

< ( 2 ) a ? b ? 0 , c ? d ? 0 ? ac _______

bd

(3) a ? b ? 0 ?

3

> a _____
1

3

b

(4)a ? b ? 0 ?

a

2

_______ <

1 b
2

锋 芒 初 试
我是最棒的

?

3.比较下列各组数的大小(a≠b)
a ?b 2 (1) 与 (a ? 0, b ? 0) 1 1 2 ? a b

总结比较大小 常用方法,步 骤如何?

( 2) a ? b 与 4 a ( a ? b )
4 4 3

作差法比较大小的步骤
因式 分解、配方、 通分等手段 作差 变形 判断

:

结论

能 力 提 升 : 如 果 1 6 ? x ? 3 2, 4 ? y ? 8, 分 别 求 x ? y , 2 x ? 3 y , xy ,
2

y x

的取值范围

解: 由16<x<32,4<y<8,得 16+4<x+y<32+8 即20<x+y<40 又 32<2x<64 , -24<-3y<-12 所以 32-24<2x-3y<64-12 即8<2x-3y<52 因为16<x<32, 4<y<8 所以16×42<xy2<32×82 即 256< xy2 < 2048

由 16< x < 32 得

1 32
4

?
? y x

1 x
?

?
8 16

1 16

又4 < y < 8 所以有 3 2
即 1 8 ? y x ? 1 2

知识小结:
性质5:如果a>b, c>d, 那么a+c>b+d
性质6、a>b>0,且c>d>0,那么ac>bd 性质7、如果a>b>0,那么an>bn(n? N ,且n≥2)

性质8、如果a>b>0,那么 n a

?

n

b ( n ? N , 且 n ? 2)

1、不等式性质中,有同向不等式相加,得同向不等式,并无相减, 不妨记作“大减小大于小减大” a ? b, c ? d ? a ? d ? b ? c 2、不等式性质有均为正数得同向不等式相乘得同向不等式,并无相 a b 除, 不妨记作“大除小大于小除大”
a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ? d c

各小组课后进行讨论1,2

感悟收获,巩固拓展
自我反思:
我学到了哪些数学知识? 我掌握了哪些数学方法? 我还有哪些问题是感到困惑的?

作业: 完成P75 B 组
1(3),(4),2。

性质6、a>b>0,且c>d>0,那么ac>bd(相乘法则)
证法一:
a ? b ? 0, c ? 0 ? ac ? bc ? ? ? ac ? bd c ? d ? 0, b ? 0 ? bc ? bd ?

证法二: ac-bd=ac-bc+bc-bd=c(a-b)+b(c-d)

因为a>b>0,c>d>0,所以a-b>0,c-d>0
c(a-b)>0,b(c-d)>0 所以c(a-b)+b(c-d)>0,即ac>bd


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