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3.1.2不等式的性质(用)


一、不等式的性质:
性质1:对称性 么 a >b . 如果a>b,那么b<a;如果b<a,那

性质2: 传递性 如果a>b,b>c,那么a>c.
性质3: 可加性 如果a>b,则a+c>b+c.

推论1:移项法则 a+b>c ?a+b+(-b)>c+(-b) ?a>c-b.
推论2:同向可加 如果a>b,c>d,则a+c>b+d.

性质4:如果a>b,c>0,则ac>bc;如果a>b,c<0,则

ac<bc. (不等式的可乘性) 推论1:同向可乘 如果a>b>0,c>d>0,则ac>bd.
推论2:乘方 如果a>b>0,则an>bn,(n∈N+,n>1). 推论3:开方如果a>b>0,则 n a ? n b , (n∈N+,n>1).

1.设a , b, m ? R (正实数集),且a ? b,试比 a?m a 较 与 的大小。 b?m b
b?m b ? . 性质5:(糖水不等式) 如果a>b,m>0,则 a?m a

?

性质6: 如果 a ? b ? 0, 则

1 1 1 1 ? ; a ? b ? 0, 则 ? . a b a b

二、例题
1 1 (1)已知a>b,ab>0,求证: ? ; a b

例1:应用不等式的性质,证明下列不等式:

(2)已知a>b, c<d,求证:a-c>b-d;
a b (3)已知a>b>0,0<c<d,求证:c ? d

例2. 已知a>b,不等式:(1)a2>b2;
1 1 (2) ? a b
1 1 ? ;(3) a ?b a

成立的个数是( A ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3

例3.设A=1+2x4,B=2x3+x2,x∈R,则A, B的大小关系是
A≥B



例4.(1)如果30<x<36,2<y<6,求x-
x 2y及 的取值范围。 y

18<x-2y<32,

x 5 ? ? 18 y

(2)若-3<a<b<1,-2<c<-1,求(a -b)c2的取值范围。 因为-4<a-b<0,1<c2<4, 所以-16<(a-b)c2<0

例5.若 ?

?
2

≤? ? ? ≤

?
2

,求

? ?? ? ??
2 , 2

的取值范围。

?

?
2

?

? ??
2

?

?
2

,?

?
2



? ??
2

?0

例6 已知:函数

f ( x) ? ax2 ? c,

?4 ? f (1) ? ?1, ? 1 ? f (2) ? 5

求: f ( 3) 的取值范围.

练习1.已知-4≤a-b≤-1,-1≤4a-b≤5, 求9a-b的取值范围。 解(待定系数法) 设9a-b=m(a-b)+n(4a-b)
=(m+4n)a-(m+n)b, 令m+4n=9,-(m+n)=-1,解得, 5 8 m ? ? ,n ? 3 3 8 5 所以9a-b= ? (a-b)+ (4a-b) 3 3

由-4≤a-b≤-1,得
5 5 20 ≤ ? ( a ? b) ≤ 3 3 3

由-1≤4a-b≤5,得
8 8 40 ? ≤ (4a ? b) ≤ 3 3 3

以上两式相加得-1≤9a-b≤20.

2.若 1≤a≤5,-3<b≤2,则 a+b2 的取值 2 b 范围是________, 的取值范围是________. a

小结
? 1、掌握不等式的性质及其推论,并能证明

这些结论。 ? 2、进一步巩固不等式性质定理,并能应用 性质解决有关问题。


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