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2013版高中全程复习方略配套课件:7.3空间点、直线、平面之间的位置关系(人教A版·数学理)浙江专用_图文

第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系

三年9考

高考指数:★★★

1.理解空间直线、平面位置关系的定义; 2.了解可以作为推理依据的公理和定理; 3.理解两条异面直线所成的角; 4.能证明一些空间图形的位置关系的简单命题.

1.点、线、面的位置关系是本节的重点,也是高考的热点. 2.从考查形式看,以考查点、线、面的位置关系为主,同时考 查逻辑推理能力和空间想象能力.

3.从考查题型看,多以选择题、填空题的形式考查,有时也
出现在解答题中,一般难度不大,属低中档题.

1.平面的基本性质
图形 公 理 1 文字语言 如果一条直线上 两点 的______在一个平 面内,那么这条 直线在此平面内.

符号语言
A ?l ? B?l ? ? ??l ?? A ? ?? B?? ? ?

l
α A B

图形
公 理 2 B C

文字语言
一条直线 过不在________ 上的三点 ________,有且 只有一个平面.

符号语言
A,B,C三点不 共线?有且只有 一个平面α ,使 A∈α ,B∈α , C∈α . 若P∈α 且 P∈β ,则 α ∩β =a, 且P∈a.

A

α
α a

公 理 3

β

P

如果两个不重合 的平面有一个公 共点,那么它们 有且只有一 ___________条过 该点的公共直线.

【即时应用】 (1)思考:①三个公理的作用分别是什么? ②你能说出公理2的几个推论吗? 提示:①公理1的作用:(ⅰ)判断直线在平面内;(ⅱ)由直线 在平面内判断直线上的点在平面内.

公理2的作用:确定平面的依据,它提供了把空间问题转化为
平面问题的条件.

公理3的作用:(ⅰ)判定两平面相交;(ⅱ)作两平面的交线;
(ⅲ)证明点共线.

②公理2的三个推论为:
(ⅰ)经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面;

(ⅱ)经过两条相交直线,有且只有一个平面;
(ⅲ)经过两条平行直线,有且只有一个平面.

(2)判断下列说法的正误.(请在括号中填写√或×) ①如果两个不重合的平面α ,β 有一条公共直线a,就说平面 α ,β 相交,并记作α ∩β =a ( )

②两个平面α ,β 有一个公共点A,就说α ,β 相交于过A点的任 意一条直线 ( )

③两个平面α ,β 有一个公共点A,就说α ,β 相交于A点,并记 作α ∩β =A ( )

④两个平面ABC与DBC相交于线段BC

(

)

【解析】根据平面的性质公理3可知①对;对于②,其错误在 于“任意”二字上;对于③,错误在于α∩β=A上;对于④, 应为平面ABC和平面DBC相交于直线BC.

答案:①√

②×

③×

④×

(3)平面α ,β 相交,在α ,β 内各取两点,这四点都不在交线 上,这四点能确定_______个平面.

【解析】如果这四点在同一平面内,那么确定一个平面;如果
这四点不共面,则任意三点可确定一个平面,所以可确定四

个.
答案:1或4

2.空间中两直线的位置关系

(1)空间两直线的位置关系
图形语言 平行 直线 符号语言 公共点 0个

a α b
a∥b

图形语言 相交 直线

符号语言

公共点

A

a b

a∩b=A

1个

b
异面 直线

a

α

a,b是异 面直线

0个

(2)平行公理和等角定理 ①平行公理 同一条直线 平行于___________的两条直线平行.用符号表示:设a,b,c为 三条直线,若a∥b,b∥c,则a∥c.

②等角定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角 相等或互补 ____________.

(3)异面直线所成的角 ①定义:已知两条异面直线a,b,经过空间中任一点O作直线 锐角(或直角) a′∥a,b′∥b,把a′与b′所成的_____________叫做异面直 线所成的角(或夹角).
? (0, ] ②范围:______. 2

【即时应用】
(1)思考:不相交的两条直线是异面直线吗?不在同一平面内 的直线是异面直线吗? 提示:不一定.因为两条直线没有公共点,这两直线可能平行 也可能异面;因为不同在任何一个平面内的直线为异面直线, 故该结论不一定正确.

(2)和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是______.

【解析】画出图形分析.

图①中,AB、CD与异面直线a、b都相交,此时AB、CD异面;
图②中,AB、AC与异面直线a、b都相交,此时AB、AC相交. 答案:异面或相交

3. 空间直线与平面、平面与平面的位置关系 图形语言 符号语言 公共点

a
相交 直 线 与 平行 平 面
α

A

a∩α=A

1个

a
α

a∥α

0个

在平 面内

a

α

a?α

无数 个

平 平行 面 与 平 面 相交

α β

α∥β

0 个

β α
l

α∩β =l

无数 个

【即时应用】
(1)判断下列说法是否正确.(请在括号中填写“√”或“×”)

①经过三点确定一个平面
②梯形可以确定一个平面 ③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面 ④如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合

(
( ( (

)
) ) )

(2)两个不重合的平面可把空间分成_________部分.

【解析】(1)经过不共线的三点可以确定一个平面, ∴①不正确;两条平行线可以确定一个平面,∴②正确;

两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面,
∴③正确;命题④中没有说清三个点是否共线,

∴④不正确.
(2)当两平面平行时可分为3部分;当两平面相交时分为4部分. 答案:(1)①× (2)3或4 ②√ ③√ ④×

平面的基本性质及其应用 【方法点睛】 考查平面基本性质的常见题型及解法

(1)判断所给元素(点或直线)是否能确定唯一平面,关键是
分析所给元素是否具有确定唯一平面的条件,此时需要利用公 理2及其推论.

(2)证明点或线共面问题,一般有两种途径:①首先由所给条 件中的部分线(或点)确定一个平面,然后再证其余的线(或

点)在这个平面内;②将所有条件分为两部分,然后分别确定
平面,再证两平面重合. (3)证明点共线问题,一般有两种途径:①先由两点确定一条 直线,再证其他各点都在这条直线上;②直接证明这些点都在 同一条特定直线上. (4)证明线共点问题,常用的方法是:先证其中两条直线交于 一点,再证其他直线经过该点.

【例1】(1)给出以下四个命题
①不共面的四点中,其中任意三点不共线;

②若点A、B、C、D共面,点A、B、C、E共面,则点A、B、C、D、
E共面; ③若直线a、b共面,直线a、c共面,则直线b、c共面; ④依次首尾相接的四条线段必共面. 正确命题的个数是( (A)0 (B)1 (C)2 ) (D)3

(2)如图,平面ABEF⊥平面ABCD,四边形ABEF与ABCD都是直角

梯形,∠BAD=∠FAB=90°,BC∥AD且
BC= 1 AD,BE∥AF且BE=
2 1 AF,G, 2

H分别为FA,FD的中点.
①证明:四边形BCHG是平行四边形; ②C,D,F,E四点是否共面?为什么?

【解题指南】(1)根据确定平面的公理及推论进行判断. (2)①证明BC、GH平行且相等即可;②证明EF∥CH,由此构成 平面,再证点D在该平面上.

【规范解答】(1)选B.①假设其中有三点共线,则该直线和直

线外的另一点确定一个平面.这与四点不共面矛盾,故其中任
意三点不共线,所以①正确.②从条件看出两平面有三个公共 点A、B、C,但是若A、B、C共线,则结论不正确;③不正确; ④不正确,因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面 上,如空间四边形.

(2)①由题设知,FG=GA,FH=HD, 所以GH∥AD且GH= AD, 又BC∥AD且BC= 1 AD,
2 1 2

故GH∥BC且GH=BC, 所以四边形BCHG是平行四边形.

②C,D,F,E四点共面.理由如下:

由BE∥AF且BE= 1 AF,G是FA的中点知,
2

BE∥GF且BE=GF,

所以四边形EFGB是平行四边形,
所以EF∥BG. 由①知BG∥CH,所以EF∥CH, 故EC,FH共面. 又点D在直线FH上,所以C,D,F,E四点共面.

【反思·感悟】点共线和线共点问题,都可转化为点在直线上
的问题来处理,实质上是利用公理3,证明点在两平面的交线 上,解题时要注意这种转化思想的运用.

空间中两直线的位置关系 【方法点睛】 判定空间直线位置关系的方法

空间中两直线位置关系的判定,主要是异面、平行和垂直的判
定,对于异面直线,可采用直接法或反证法;对于平行直线,

可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面
面平行的性质定理;对于垂直关系,往往利用线面垂直的性质 来解决.

【提醒】在空间中两直线的三种位置关系中,验证异面直线及

其所成角是考查的热点.

【例2】如图,在四面体ABCD中,截面PQMN是正方形,则在下

列命题中,错误的为(
(A)AC⊥BD

)

(B)AC∥截面PQMN
(C)AC=BD (D)异面直线PM与BD所成的角为45°

【解题指南】结合图形,根据有关的知识逐一进行判断.注意

本题选择的是错误选项!
【规范解答】选C.因为四边形PQMN为正方形,所以PQ∥MN,又

PQ?平面ADC,MN?平面ADC,所以PQ∥平面ADC. ?
又平面BAC∩平面DAC=AC,所以PQ∥AC. 同理可证QM∥BD.由PQ∥AC,QM∥BD,PQ⊥QM可得AC⊥BD,故A 正确;由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN,故B正确;异面直线PM与 BD所成的角等于PM与PN所成的角,故D正确;综上知C错误.

【反思·感悟】解决此类问题常出现的错误是不善于挖掘题中 的条件,不能将问题适当地转化;另外,图形复杂、空间想象 力不够、分析问题不到位等,也是常出现错误的原因.

异面直线所成的角 【方法点睛】 1.找异面直线所成的角的方法 一般有三种找法:利用图中已有的平行线平移;利用特殊点(线 段的端点或中点)作平行线平移;补形平移.

2.求异面直线所成角的步骤
(1)作:通过作平行线,得到相交直线; (2)证:证明相交直线所成的角或其补角为异面直线所成的角; (3)算:通过解三角形,求出该角.

【例3】(1)(2012·余姚模拟)如图,在正方体ABCD—

A1B1C1D1中,P为DC的中点,则D1P与BC1所在直线所成角的余弦
值等于( )

(A)

4 5

(B) 10
5

(C)

1 2

(D) 5
10

(2)已知三棱锥A—BCD中,AB=CD,且直线AB与CD成60°角, 点M、N分别是BC、AD的中点,求直线AB和MN所成的角. 【解题指南】(1)利用平移法作出D1P与BC1所成的角,利用余 弦定理求解. (2)取AC中点P,连PM,PN,利用三角形中位线性质可得PM∥AB, PN∥CD,从而得∠MPN的大小,然后解三角形可得所求角.

【规范解答】(1)选B.连接AD1,AP, ∵D1C1 AB,

∴四边形ABC1D1是平行四边形,∴AD1∥BC1, ∴∠AD1P即为D1P与BC1所在直线所成的角.

设正方体棱长为2a,则D1P= 5a,
AD1 ? 2 2a,AP ? 5a, D1P 2 ? AD12 ? AP 2 ∴ cos?AD1P ? 2AD1 gD1P 5a 2 ? 8a 2 ? 5a 2 10 = ? . 5 2g2 2a g 5a

∴D1P与BC1所成角的余弦值为 10 .
5

(2)如图,取AC的中点P.连接PM、PN,

A

则PM∥AB,且PM= AB.
1 PN∥CD,且PN= CD, 2

1 2

N
B M C P D

所以∠MPN为AB与CD所成的角 (或所成角的补角). 则∠MPN=60°或∠MPN=120°, 若∠MPN=60°,

因PM∥AB,所以∠PMN是AB与MN所成的角(或所成角的补角).

又因为AB=CD,所以PM=PN,则△PMN是等边三角形,

所以∠PMN=60°,
即AB与MN所成的角为60°. 若∠MPN=120°,则易知△PMN是等腰三角形. 所以∠PMN=30°,即AB与MN所成的角为30°. 故直线AB和MN所成的角为60°或30°.

【反思·感悟】1.证明两直线为异面直线时可利用结论“过平
面内一点与平面外一点的直线,与平面内不过该点的直线为异 面直线”;也可用反证法,即证明这两直线共面时不成立. 2.在求异面直线所成的角时常犯的错误是忽视角的范围,如在 解三角形的过程中求得三角形内角的余弦值为负时,必须转化 为(0,? ]内的角.
2

【满分指导】求异面直线所成角主观题的规范解答 【典例】(14分)(2011·上海高考改编)

已知ABCD—A1B1C1D1是底面边长为1的正
四棱柱,高AA1=2,求

(1)异面直线BD与AB1所成角的余弦值;
(2)四面体AB1D1C的体积.

【解题指南】(1)利用平行平移法得到异面直线所成的角,转 化为解三角形的问题;(2)利用割补法求体积即可. 【规范解答】(1)连BD,AB1,B1D1,AD1.???????2分

∵BD∥B1D1,∴异面直线BD与AB1所成角为∠AB1D1(或其补角),
记∠AB1D1=θ, ??????????????????4分 由已知条件得AB1=AD1= 5 , 在△AB1D1中,由余弦定理得
AB12 ? B1D12 ? AD12 10 cos? ? ? 2?AB1 ?B1D1 10

???????????8分
10 . ?????10分 10

∴异面直线BD与AB1所成角的余弦值为

(2)连接AC,CB1,CD1,则所求四面体的体积
1 2 V ? VABCD?A1B1C1D1 ? 4VC?B1C1D1 ? 2 ? 4 ? ? . ???????14分 3 3

【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结,我们可以 得到以下失分警示和备考建议: 在解答本题时有两点容易造成失分: 失 分 警 (1)在用平行平移将异面直线所成的角转化为三角形 的内角时,忽视对三角形的内角“即为两异面直线所成 的角(或其补角)”的叙述;



(2)在求几何体的体积时,不知将其转化为四棱柱的
体积与四个三棱锥体积的差.

解决异面直线所成角的问题时,还有以下几点容易造成失分,
在备考时要高度关注:


考 建

(1)辅助线的作法不灵活,不能利用已知条件中的平行或 中点; (2)对立体几何计算题的解答规范不熟悉,书写不条理; (3)通过解三角形得到某一内角的余弦值为负值后,忽视 角的范围,不知将其转化为正值来处理. 建议在备考中要强化对立体几何中解答题的训练,这是高考



中的考查重点之一.同时要注重解答题的规范表达和准确计
算.

1.(2011·浙江高考)若直线l不平行于平面α ,且l? α , ? 则( )

(A)α 内的所有直线与l异面
(B)α 内不存在与l平行的直线

(C)α 内存在唯一的直线与l平行
(D)α 内的直线与l都相交

【解析】选B.由题意可得直线l与平面α相交,如图:

对A,由于α内所有不过交点的直线与l异面,故A错误;对B,

如果α内存在与l平行的直线,则直线l与α平行,直线不存在,
故B正确;对C,可得直线l与α平行,与题设不符,故C错误;

对D,α内所有不过交点的直线与l异面,故D错误.

2.(2011·四川高考)l1,l2,l3是空间三条不同的直线,则下列命题
正确的是( )

(A) l1⊥l2,l2⊥l3?l1∥l3 (B) l1⊥l2,l2∥l3?l1⊥l3 (C) l1∥l2,l2∥l3?l1,l2,l3共面 (D) l1,l2,l3共点?l1,l2,l3共面

【解析】选B.对于A:空间中垂直于同一条直线的两条直线不 一定平行,如图

l1,l3可以相交或异面,故命题错误.对于B:由异面直线所成的角
可知,∵l2∥l3,则l1与l3所成的角与l1与l2所成的角相等,故 l1⊥l3,故命题正确.对于C:空间中三条互相平行的直线不一定共 面,如三棱柱的三条侧棱不共面,故命题错误.对于D:空间中共 点的三条直线不一定共面,如三棱锥中共顶点的三条棱不共面.

3.(2011·大纲版全国卷)已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为C1D1
的中点,则异面直线AE与BC所成角的余弦值为________. 【解析】取A1B1的中点M,连接EM,AM,AE,则∠AEM就是异面直 线AE与BC所成的角.设正方体棱长为2,则在△AEM中,
22 ? 32 ? 5 2 cos?AEM ? ? . 2? 2?3 3 2 答案: 3

4.(2012·郑州模拟)已知:空间四边形ABCD(如图所示),E、F

分别是AB、AD的中点,G、H分别是BC、CD上的点,且
CG= 1 BC,CH= 1 DC.求证:
3 3

(1)E、F、G、H四点共面;
(2)三直线FH、EG、AC共点.

D
【解析】(1)连接EF、GH. 由E、F分别为AB、AD的中点, ∴EF ∴HG
1 BD,又CG= 1 BC,CH= 1 DC, 3 2 3 1 BD,∴EF∥HG且EF≠HG. A 3

F C

H

O

G
E B

∴EF、HG可确定平面α,即E、F、G、H四点共面.

(2)由(1)知:EFHG为平面图形,且EF∥HG,EF≠HG. ∴四边形EFHG为梯形,设直线FH∩直线EG=O, ∵点O∈直线FH,直线FH?面ACD, ∴点O∈平面ACD.

同理点O∈平面ABC.
又∵面ACD∩面ABC=AC,∴点O∈直线AC(公理3).

∴直线FH、EG、AC交于点O,即三直线共点.


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