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人教版高中数学必修二2.3.3


2.3.3 直线与平面垂直的性质 1.掌握直线与平面垂直的性质定理;(重点) 2.能运用性质定理解决一些简单问题;(难点) 3.了解直线与平面的判定定理和性质定理间的相互联系。 各树均与地面垂直,各树所在的直线有何位置关系? 两桥柱与水面垂直,两桥柱所在的直线有何位置关系? 如图,长方体ABCD—A1B1C1D1中,棱AA1,BB1,CC1,DD1所在直线与底面 ABCD的位置关系如何?它们彼此之间具有什么位置关系? 垂直 平行 D1 B1 C1 a b A1 ? D C A B 如图,已知直线a,b和平面α,如果 a⊥α,b⊥α,那么,直线a,b一定平 行吗? b’ a b ? .O 反证法 反证法的步骤 1.否定结论 证明:假设a与b不平行. 记直线b和α的交点为O, 则可过O作 b′∥a. 直线b 与b′确定平面β, 设α∩β=c ∵a⊥α , b⊥α ∴a⊥c,b⊥c,又∵b′∥a,∴b′⊥c. 3.导出矛盾肯定 结论 2.正确推理 这样在平面β内过点O有两条直线b和b′都垂直 直线c , 这不可能! ∴a∥b. 线面垂直的性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行. a b 符号语言: a ? ?,b ? ? ? a / / b 作用:判断线线平行 线面垂直 ? 线线平行 空间中的平行 平行于同一直线的 两直线平行 垂直于同一个平面的 两条直线平行 a b ? a ⊥α, b ⊥ α a ∥ b 交换“平行”与“垂直” a⊥α, b b⊥α a l a∥b α 如图,已知 a / / b, a ?, 则?与 的位置如何? b ? a b O b ? ?. ? 线面垂直 m n 线线平行 设直线a,b分别在正方体中两个不同的平面内,欲使a//b,a,b应满足什么条件? a,b满足下面条件中的任何 一个,都能使a∥b, (1)a,b同垂直于正方体一个面; (2)a,b分别在正方体两个相对的 面内且共面; (3)a,b平行于同一条棱. A D B C D A 1 1 C B 1 1 例1 如图,已知α∩β=l,CA⊥α于点A,CB⊥β于点B, 求证:a∥ l. a ? ? , a ? AB , C β B α l A 分析: l ? 平面ABC, a ? 平面ABC. a 证明: CA ? ? , l ? ? .? CA ? l 同理可得CB ? l CA CB ? C .? l ? 面ABC CA ? ? , a ? ? .? CA ? a 又 a ? AB, AB AC ? A ? a ? 面ABC. 又 l ? 面ABC , a ? ? ,l ? ? , ? a∥ l C β B α l A a 如图,已知PA⊥矩形ABCD所在平面,M,N分别是AB,PC的中点. (1)求证:MN⊥CD; (2)若∠PDA=45°,求证:MN⊥平面PCD. P 分析:(1)AE⊥CD, MN∥AE. (2)AE⊥PD,则MN ⊥PD. N E A B M C D 1.给出以下命题,其中错误的是( ) (A)如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,则这条直线垂直于这 个平面 (B)垂直于同一平面的两条直线互相平行 (C)垂直于同一直线的两个平面互相平行 (D)两条平行直线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面 解:选A.A中的无数条直线可能互相平行,则这条直线与该平面也可能平 行

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