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重庆市南开中学2015-2016学年高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)


2015-2016 学年重庆市南开中学高二(上)期末数学试卷(理科)
一、选择题(每题 5 分,共 60 分) 1.已知命题 p 为真命题,命题 q 为假命题,则以下命题为真命题的是( A.¬p 或 q B.p 且 q C.p 或 q D.¬p 且¬q 2.椭圆 A. (±1,0) 3.若复数 A.﹣1 B.1
2



的焦点坐标为( B.

) D. )

C. (0,±1)

的实部与虚部互为相反数,则 b=( C.﹣7 D.7

4. B, F 为抛物线焦点, 抛物线 y =2x 上两点 A, 已知 AB 的中点在直线 x=2 上, 则|AF|+|BF|= ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 5. AC 与 BD 交于点 M, 如图, 平行六面体 ABCD﹣A1B1C1D1 中, 设 = ,则 =( )

A. 6.椭圆 A.2 B.

B.

C. )

D.

=1 上的点 P 到上顶点距离的最大值为( C. D.不存在最大值

7.命题“? x∈R,f(x)<g(x)<h(x)”的否定形式是( ) A.? x0∈R,f(x0)≥g(x0)≥h(x0) B.? x0∈R,f(x0)≥g(x0)或 g(x0)≥h (x0) C.? x∈R,f(x)≥g(x)≥h(x) D.? x∈R,f(x)≥g(x)或 g(x)≥h(x) 8.由函数 y=ex,y= ,x=e 所围成的封闭图形的面积为( )

A.ee﹣e B.ee﹣2e C.2e﹣1 D.1 x 9.已知函数 f(x)=e [lnx+(x﹣m)2],若对于? x∈(0,+∞) ,f′(x)﹣f(x)>0 成立, 则实数 m 的取值范围是( ) A. B. C. D.

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10.如图,矩形 ABCD 中 AB=2,BC=

,M,N 分别为 AB,CD 中点,BD 与 MN 交 ,则折起后 cos∠DOB

于 O,现将矩形沿 MN 折起,使得二面角 A﹣MN﹣B 的大小为 为( )

A.

B.

C.

D.

11.过双曲线

右焦点作双曲线其中一条渐近线的垂线与两渐近线

B 两点, O 为坐标原点, 分别交于 A, 且△AOB 的面积为 A. B. C. D.

, 则该双曲线的离心率为 (



12.F1,F2 分别为椭圆

+

=1 的左右焦点,P 为椭圆上一动点,F2 关于直线 PF1 的对称 为( )

点为 M,F1 关于直线 PF2 的对称点为 N,则当|MN|最大时,S A.2 B. C. D.

二、填空题(每题 5 分,共 20 分) 13.f(x)=cos3x,则 = .

14.z=a+2i(a∈R) ,若 z2+8i 为纯虚数,则 a= . 15.用长为 18m 的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为 2:1,该 长方体的最大体积是 . 16.若存在实数 m,n,k(m<n<k)使得关于 x 的不等式 ex﹣a(x2﹣x+1)≥0 的解集为 [m,n]∪ [k,+∞) ,则实数 a 的取值范围是 . 三、解答题(共 70 分) 17.已知函数 f(x)=x2+ax 与 g(x)=ln(x+1)在原点处有公共的切线. (1)求实数 a 的值; (2)求 h(x)=f(x)﹣g(x)的极植.

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18.如图,在三棱锥 S﹣ABC 中,△ABC 是边长为 4 的正三角形,平面 SAC⊥平面 ABC, SA=SC=2 ,M、N 分别为 AB、SB 的中点. (1)求证:AC⊥SB; (2)求二面角 N﹣CM﹣B 的大小; (3)求点 B 到平面 CMN 的距离.

19. 已知椭圆 C 的中心在坐标原点, 焦点在 x 轴上, 椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值为 +1,最小值为 ﹣1. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)过右焦点的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,且以 AB 为直径的圆过原点,求直线 的斜率 k. 20.如图,直线 PA,QC 都与正方形 ABCD 所在平面垂直,AB=PA=2QC=2,AC 与 BD 相 交于点 O,E 在线段 PD 上且 CE∥平面 PBQ (1)求证:OP⊥平面 QBD; (2)求二面角 E﹣BQ﹣P 的平面角的余弦值.

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21.如图,已知点 A(﹣1,0)是抛物线的准线与 x 轴的交点,M,N 两点在抛物线上且直 线 MN 过 A 点,过 M 点及 B(1,﹣1)的直线交抛物线于 Q 点. (1)求抛物线的方程; (2)求证:直线 QN 过一定点,并求出该点坐标.

22.已知函数 f(x)=xlnx. (1)不等式 f(x)>kx﹣ 对于任意正实数 x 均成立,求实数 k 的取值范围; (2)是否存在整数 m,使得对于任意正实数 x,不等式 f(m+x)<f(m)ex 恒成立?若存 在,求出最小的整数 m,若不存在,说明理由.

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2015-2016 学年重庆市南开中学高二(上)期末数学试卷 (理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(每题 5 分,共 60 分) 1.已知命题 p 为真命题,命题 q 为假命题,则以下命题为真命题的是( A.¬p 或 q B.p 且 q C.p 或 q D.¬p 且¬q 【考点】复合命题的真假. 【分析】利用复合命题真假的判定方法即可得出. 【解答】解:∵命题 p 为真命题,命题 q 为假命题, ∴¬p 或 q,p 且 q,¬p 且¬q 为假命题. 只有 p 或 q 为真命题. 故选:C.



2.椭圆 A. (±1,0) B.

的焦点坐标为(

) D.

C. (0,±1)

【考点】椭圆的简单性质. 【分析】利用椭圆性质求解. 【解答】解:∵椭圆 ,

∴c=

=1,

∴椭圆焦点坐标为(±1,0) . A 故选: .

3.若复数 A.﹣1 B.1

的实部与虚部互为相反数,则 b=( C.﹣7 D.7



【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数 与虚部互为相反数,列出等式求解即可得到 b 的值. 【解答】解: 又复数 ∴ 的实部与虚部互为相反数, .
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,又已知复数

的实部

=



解得 b=1. 故选:B. 4. B, F 为抛物线焦点, 抛物线 y2=2x 上两点 A, 已知 AB 的中点在直线 x=2 上, 则|AF|+|BF|= ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 【考点】抛物线的简单性质. 【分析】求出准线方程,利用抛物线的定义及 AB 的中点在直线 x=2 上,求得结果. 【解答】解:抛物线 y2=2x 的准线方程为 x=﹣ , 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , ∴|AF|+|BF|=x1+ +x2+ =x1+x2+1 ∵AB 的中点在直线 x=2 上,∴x1+x2=4, ∴|AF|+|BF|=5, 故选:C.

5. AC 与 BD 交于点 M, 如图, 平行六面体 ABCD﹣A1B1C1D1 中, 设 = ,则 =( )

A.

B.

C.

D.

【考点】空间向量的加减法. 【分析】由于 【解答】解: ∴ = 故选:D. = + , = = + + , , , , ,代入化简即可得出. ,

6.椭圆 A.2 B.

=1 上的点 P 到上顶点距离的最大值为( C. D.不存在最大值
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【考点】椭圆的简单性质. 【分析】设椭圆 =1 上的点 P(2cosθ,sinθ) ,上顶点 B(0,1) ,由此利用两点间距

离公式和三角函数性质能求出结果. 【解答】解:设椭圆 上顶点 B(0,1) , |PB|= = = ∴椭圆 故选:C. 7.命题“? x∈R,f(x)<g(x)<h(x)”的否定形式是( ) A.? x0∈R,f(x0)≥g(x0)≥h(x0) B.? x0∈R,f(x0)≥g(x0)或 g(x0)≥h x ( 0) C.? x∈R,f(x)≥g(x)≥h(x) D.? x∈R,f(x)≥g(x)或 g(x)≥h(x) 【考点】命题的否定. 【分析】根据全称命题的否定方法,结合已知中的原命题,可得答案. 【解答】解:命题“? x∈R,f(x)<g(x)<h(x)”可化为:“? x∈R,f(x)<g(x) , 且 g(x)<h(x)” 故命题“? x∈R,f(x)<g(x)<h(x)”的否定是“? x∈R,f(x)≥g(x) ,或 g(x)≥ h(x)”, 故选:B 8.由函数 y=ex,y= ,x=e 所围成的封闭图形的面积为( ≤ = . . =1 上的点 P(2cosθ,sinθ) ,

=1 上的点 P 到上顶点距离的最大值为



A.ee﹣e B.ee﹣2e C.2e﹣1 D.1 【考点】定积分在求面积中的应用. 【分析】先求出两曲线的交点坐标(1,e) ,再由面积与积分的关系将面积用积分表示出来, 由公式求出积分,即可得到面积值. 【解答】解:由 ex= ,可得 x=1, ∴由函数 y=ex,y= ,x=e 所围成的封闭图形的面积为 ﹣2e. 故选:B. 9.已知函数 f(x)=ex[lnx+(x﹣m)2],若对于? x∈(0,+∞) ,f′(x)﹣f(x)>0 成立, 则实数 m 的取值范围是( )
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(ex﹣ )dx=(ex+



=ee

A.

B.

C.

D.

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值. 【分析】问题转化为 m< +x 在 x∈(0,+∞)恒成立,根据基本不等式的性质求出 +x

在 x∈(0,+∞)上的最小值,从而求出 m 的范围即可. 【解答】解:∵f′(x)﹣f(x)=ex[ +2(x﹣m)]>0, ∴m< 而 +x 在 x∈(0,+∞)恒成立, = ,当且仅当 x= 时“=”成立,

+x≥2

故 m< , 故选:A.

10.如图,矩形 ABCD 中 AB=2,BC=

,M,N 分别为 AB,CD 中点,BD 与 MN 交 ,则折起后 cos∠DOB

于 O,现将矩形沿 MN 折起,使得二面角 A﹣MN﹣B 的大小为 为( )

A.

B.

C.

D.

【考点】二面角的平面角及求法. 【分析】先求出 BO=DO= ,再以 N 为原点,NM 为 x 轴,NC 为 y 轴,过 N 垂直于平

面 NMBC 的直线为 z 轴,建立空间直角坐标系,求出|BD|,由此利用余弦定理能求出折起 后 cos∠DOB. 【解答】解:∵矩形 ABCD 中 AB=2,BC= 交于 O, 现将矩形沿 MN 折起,使得二面角 A﹣MN﹣B 的大小为 ∴BO=DO= = , , ,M,N 分别为 AB,CD 中点,BD 与 MN

如图,以 N 为原点,NM 为 x 轴,NC 为 y 轴,过 N 垂直于平面 NMBC 的直线为 z 轴,建 立空间直角坐标系, 则 B( |BD|= ,1,0) ,D(0, ) , = ,

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∴cos∠DOB=

=

= ,

∴折起后 cos∠DOB= . 故选:C.

11.过双曲线

右焦点作双曲线其中一条渐近线的垂线与两渐近线

B 两点, O 为坐标原点, 分别交于 A, 且△AOB 的面积为 A. B. C. D.

, 则该双曲线的离心率为 (



【考点】双曲线的简单性质. 【分析】求出双曲线的渐近线方程,设两条渐近线的夹角为 θ,由两直线的夹角公式,可得 tanθ=tan∠AOB,求出 F 到渐近线 y= x 的距离为 b,即有|OB|=a,△OAB 的面积可以表 示为 ?a?atanθ,结合条件可得 a,b 的关系,再由离心率公式即可计算得到.

【解答】解:双曲线



=1(a>b>0)的渐近线方程为 y=± x,

设两条渐近线的夹角为 θ,

则 tanθ=tan∠AOB=

=



设右焦点为 F,FB⊥OB,则 F 到渐近线 y= x 的距离为 d=

=b,

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即有|OB|=

=a,

则△OAB 的面积可以表示为 ?a?atanθ= 即为 6a2﹣5ab﹣6b2=0, 解得 b= a,即有 c= 则 e= = 故选:D. . = a,

=



12.F1,F2 分别为椭圆

+

=1 的左右焦点,P 为椭圆上一动点,F2 关于直线 PF1 的对称 为( )

点为 M,F1 关于直线 PF2 的对称点为 N,则当|MN|最大时,S A.2 B. C. D.

【考点】椭圆的简单性质. 【分析】由题意画出图形,得到当 P,M,N 共线时,|MN|最大,由此可知∠F1PF2=60°, 然后利用余弦定理求得 .再代入三角形面积公式得答案. =1,得 a2=4,b2=2,则 c2=a2﹣b2=2,

【解答】解:由

+





连接 PM,PN, ∵|PM|+|PN|=|PF1|+|PF2|=2a, ∴当 P,M,N 共线时,|MN|最大, 此时∠MPF1=∠F1PF2,∠F1PF2=∠F2PN, 由∠MPF1+∠F1PF2+F2PN=180°, 得∠F1PF2=60°, 在△F1PF2 中,由余弦定理可得: , ∴ 即 ∴S 故选:C.
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, . = .

二、填空题(每题 5 分,共 20 分) 13.f(x)=cos3x,则 = ﹣ .

【考点】导数的运算. 【分析】先求导,再代值计算即可. 【解答】解:∵f(x)=cos3x, ∴f′(x)=﹣3sin3x, ∴ =﹣3sin =﹣ ,

故答案为:﹣ . 14.z=a+2i(a∈R) ,若 z2+8i 为纯虚数,则 a= 2 . 【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简复数 z2+8i,由其实部为 0 且虚部不为 0 求得 a 值. 【解答】解:∵z=a+2i(a∈R) , 2 2 2 z 8i= a 2i 8i= a 4 ∴ + ( + ) + ( ﹣ )+(4a+8)i, 又 z2+8i 为纯虚数, 则 ,解得 a=2.

故答案为:2. 15.用长为 18m 的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为 2:1,该 长方体的最大体积是 3 . 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用;棱柱、棱锥、棱台的体积. 【分析】根据题意知,长方体的所有棱长和是 18m,故可设出宽,用宽表示出长和高,将体 积表示成宽的函数,用导数来求其最大值即可.

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【解答】解:设该长方体的宽是 x 米,由题意知,其长是 2x 米,高是 ( ) ,

米,

则该长方体的体积 V(x)=

由 V′(x)=0,得到 x=1,且当 0<x<1 时,V′(x)>0;当 1<x< 时,V′(x)<0, 即体积函数 V(x)在 x=1 处取得极大值 V(1)=3,也是函数 V(x)在定义域上的最大值. 所以该长方体体积最大值是 3. 故答案为:3. 16.若存在实数 m,n,k(m<n<k)使得关于 x 的不等式 ex﹣a(x2﹣x+1)≥0 的解集为 [m,n]∪[k,+∞) ,则实数 a 的取值范围是 ( 【考点】其他不等式的解法. 【分析】化简可得 a≤ 而解得. 【解答】解:∵ex﹣a(x2﹣x+1)≥0, ∴a(x2﹣x+1)≤ex, ∴a≤ , ,令 f(x)= ,从而求导确定函数的单调性,从 ,e) .

令 f(x)=



则 f′(x)=



故 f(x)在(﹣∞,1)上是增函数,在[1,2]上是减函数,在(2,+∞)上是增函数; 故 fmax(x)=e,fmin(x)= ;

∵关于 x 的不等式 ex﹣a(x2﹣x+1)≥0 的解集为[m,n]∪[k,+∞) , ∴ <a<e, ,e) .

故答案为(

三、解答题(共 70 分) 17.已知函数 f(x)=x2+ax 与 g(x)=ln(x+1)在原点处有公共的切线. (1)求实数 a 的值; (2)求 h(x)=f(x)﹣g(x)的极植.
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【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】 (1)求出函数的导数,得到 f′(0)=g′(0) ,解出即可; (2)求出 h(x)的导数, 解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间,从而求出函数的极值即可. 【解答】解: (1)f′(x)=2x+a,g′(x)= 由题意得:f′(0)=g′(0) ,解得:a=1; (2)h(x)=f(x)﹣g(x) , h′(x)=2x+1﹣ = , (x>﹣1) , ,

令 h′(x)>0,解得:x>0,令 h′(x)<0,解得:x<0, ∴h(x)在(﹣1,0)递减,在(0,+∞)递增, ∴h(x)极小值=h(0)=0. 18.如图,在三棱锥 S﹣ABC 中,△ABC 是边长为 4 的正三角形,平面 SAC⊥平面 ABC, SA=SC=2 ,M、N 分别为 AB、SB 的中点. (1)求证:AC⊥SB; (2)求二面角 N﹣CM﹣B 的大小; (3)求点 B 到平面 CMN 的距离.

【考点】点、线、面间的距离计算;二面角的平面角及求法. 【分析】 (1)取 AC 的中点 D,连结 SD、DB,证明 AC⊥平面 SDB,即可证明 AC⊥SB; (2)过 N 点作 NE⊥BD 于 E,则 NE⊥平面 ABC,过 E 点作 EF⊥CM 于 F,连结 NF,则 NF⊥CM,可得∠NFE 为二面角 N﹣CM﹣B 的平面角,即可求二面角 N﹣CM﹣B 的大小; (3)由 VB﹣CMN=VN﹣BCM 求点 B 到平面 CMN 的距离. 【解答】 (1)证明:取 AC 的中点 D,连结 SD、DB, ∵SA=SC,AB=BC, ∴AC⊥SD,AC⊥BD, ∴AC⊥平面 SDB, ∵SB? 平面 SDB, ∴AC⊥SB; (2)解:∵AC⊥平面 SDB,AC? 平面 ABC, ∴平面 SDB⊥平面 ABC, 过 N 点作 NE⊥BD 于 E,则 NE⊥平面 ABC, 过 E 点作 EF⊥CM 于 F,连结 NF,则 NF⊥CM,∴∠NFE 为二面角 N﹣CM﹣B 的平面角, ∵NE= SD= ,EF= MB= , ,∴
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在 Rt△NEF 中,tan∠NFE=

(3)解:在 Rt△NEF 中,NF= ,

, , = ,

设 B 到平面 CMN 的距离为 h,由 VB﹣CMN=VN﹣BCM 得 ∴h= .

19. 已知椭圆 C 的中心在坐标原点, 焦点在 x 轴上, 椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值为 +1,最小值为 ﹣1. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)过右焦点的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,且以 AB 为直径的圆过原点,求直线 的斜率 k. 【考点】椭圆的简单性质. 【分析】 (1) 设椭圆的方程为 + =1 (a>b>0) , 由椭圆的性质可得 a+c=1+ a﹣c= ,

﹣1,解方程可得 a,c,进而得到 b,可得椭圆的方程; (2)设直线 l:y=k(x﹣1) ,A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,代入椭圆方程,消去 y,运用韦达 定理,以及直径所对的圆心角为直角,结合向量垂直的条件:数量积为 0,化简整理,解方 程可得 k. 【解答】解: (1)设椭圆的方程为 由题意可得 a+c=1+ 解得 a= ,c=1,b= +y2=1; ,a﹣c= + =1(a>b>0) ,

﹣1, =1,

即有椭圆方程为

(2)设直线 l:y=k(x﹣1) ,A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 2 2 2 2 代入椭圆方程可得, (1+2k )x ﹣4k x+2k ﹣2=0, x1+x2= ,x1x2= ,

由以 AB 为直径的圆过原点,可得 OA⊥OB,
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=0,即为 x1x2+y1y2=0, 即有(1+k )x1x2﹣k2(x1+x2)+k2=0, 即有 ?
2

代入韦达定理,可得 化简即为 k2=2,解得 k=± .

=0,

20.如图,直线 PA,QC 都与正方形 ABCD 所在平面垂直,AB=PA=2QC=2,AC 与 BD 相 交于点 O,E 在线段 PD 上且 CE∥平面 PBQ (1)求证:OP⊥平面 QBD; (2)求二面角 E﹣BQ﹣P 的平面角的余弦值.

【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的判定. 【分析】 (1)连结 OQ,由已知得 BD⊥OP,OP⊥OQ,由此能证明 OP⊥平面 QBD. (2)以 A 为原点,AB 为 x 轴,AB 为 y 轴,AP 为 z 轴,建立空间直角坐标系,利用向量 法能求出二面角 E﹣BQ﹣P 的余弦值. 【解答】 (1)证明:连结 OQ,由题意知 PA∥QC,∴P,A,Q,C 共面, ∵BD⊥AC,BD⊥PA,PA∩AC=A, ∴BD⊥平面 PACQ,∴BD⊥OP, 由题意得 PA=2,AO=OC= ,OP= ,QC=1,OQ= , ∴△PAO∽△OCQ,∴∠POA=∠OQC, ∵∠POA+∠OPA=90°,∴∠POA+∠COQ=90°, ∴OP⊥OQ, ∵OP⊥BD,OP⊥OQ,BD∩OQ=O, ∴OP⊥平面 QBD. (2)解:以 A 为原点,AB 为 x 轴,AB 为 y 轴,AP 为 z 轴, 建立空间直角坐标系, B(2,0,0) ,Q(2,2,1) ,P(0,0,2) , =(2,0,﹣2) , =(2,2,﹣1) , 设平面 PBQ 的法向量 =(x,y,z) , 则 设 = ∵CE∥平面 PBQ, = ,则 , ,取 x=2,得 =(2,﹣1,2) , =(1+λ) =(0,2,﹣2) , ,

与平面 PBQ 的法向量 =(2,﹣1,2)垂直,

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=﹣4+

+ ,

=0,解得 =(0,2,1) ,

,∴E(0, , ) ,

设平面 BEQ 的法向量 =(a,b,c) , 则 ,取 b=1,得 =(﹣1,1,﹣2) ,

设二面角 E﹣BQ﹣P 的平面角为 θ, cosθ=| >|=| |= . .

∴二面角 E﹣BQ﹣P 的余弦值为

21.如图,已知点 A(﹣1,0)是抛物线的准线与 x 轴的交点,M,N 两点在抛物线上且直 线 MN 过 A 点,过 M 点及 B(1,﹣1)的直线交抛物线于 Q 点. (1)求抛物线的方程; (2)求证:直线 QN 过一定点,并求出该点坐标.

【考点】抛物线的简单性质. 【分析】 (1)由题意,抛物线的准线方程为 x=﹣1,即可求出抛物线的方程;

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(2)设 AM 的方程为 y=k(x+1) ,代入抛物线的方程,可得 ky2﹣4y+4k=0,设 M(x1,y1) , N(x2,y2) ,Q(x3,y3) ,则 y1y2=4,直线 MB 的方程为 y+1= (x﹣1) ,可得 y2y3+4

(y2+y3)+4=0,直线 QN 的方程为 y﹣y2=

(x﹣x2) ,可得 y2y3﹣y(y2+y3)+4x=0,

即可得出直线 QN 过定点. 【解答】 (1)解:由题意,抛物线的准线方程为 x=﹣1, ∴抛物线的方程为 y2=4x; (2)证明:设 AM 的方程为 y=k(x+1) ,代入抛物线的方程,可得 ky2﹣4y+4k=0 设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,Q(x3,y3) ,则 y1y2=4, 由 kMQ= = ,

直线 MB 的方程为 y+1=

(x﹣1) ,

∴y1+1=

(x1﹣1) ,

可得 y1=﹣





=﹣



∴y2y3+4(y2+y3)+4=0 直线 QN 的方程为 y﹣y2= 可得 y2y3﹣y(y2+y3)+4x=0, ∴x=1,y=﹣4, ∴直线 QN 过定点(1,﹣4) . 22.已知函数 f(x)=xlnx. (1)不等式 f(x)>kx﹣ 对于任意正实数 x 均成立,求实数 k 的取值范围; (2)是否存在整数 m,使得对于任意正实数 x,不等式 f(m+x)<f(m)ex 恒成立?若存 在,求出最小的整数 m,若不存在,说明理由. 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. (x﹣x2)

第 17 页(共 20 页)

【分析】 (1)对于任意正实数 x,不等式 f(x)>kx﹣ 恒成立,即为 k<lnx+ 令 g(x)=lnx+ 的范围; (2)问题转化为 < 恒成立,令 g(x)= 求出 g′(x)

,x>0,

,x>0,求出导数,求得单调区间,得到极小值也为最小值,即可得到 k

=

,设 p(x)=1+(1﹣x)lnx,通过讨论 p(x)的单调性,判断出 g(3+x)

<g(3)恒成立,从而求出满足条件的 m 的值即可. 【解答】解: (1)对于任意正实数 x,不等式 f(x)>kx﹣ 恒成立, 即为 k<lnx+ ,x>0,

令 g(x)=lnx+

,x>0,则 g′(x)= ﹣

=



在(0, )上,g′(x)<0,g(x)递减, 在( ,+∞)上,g′(x)>0,g(x)递增, 即有 g(x)在 x= 处取得极小值,且为最小值 1﹣ln2, 则 k<1﹣ln2, 故实数 k 的取值范围是(﹣∞,1﹣ln2) ; x (2)∵f(m+x)<f(m)e 恒成立, ∴(m+x)ln(m+x)<mlnm?ex, 即 < 恒成立,

令 g(x)=

,g′(x)=



设 p(x)=1+(1﹣x)lnx,p′(x)= ﹣1﹣lnx,而 p′(1)=0 且 p′(x)递减, ∴x∈(0,1)时,p′(x)>0,x∈(1,+∞)时,p′(x)<0, 故 p(x)在(0,1)递增,在(1,+∞)递减; 又 x→0,p(x)→﹣∞,p(1)=1>0,x→+∞时,p(x)→﹣∞, 由零点的存在定理,p(x)=0 在(0,1) , (1,+∞)内各有一根 x1<1<x2, ∴x∈(0,x1) ,g′(x)<0,x∈(x1,x2) ,g′(x)>0,x∈(x2,+∞) ,g′(x)<0, ∴g(x)在(0,x1)递增,在(x1,x2)递减,在(x2,+∞)递增, ∵p(2)=1﹣ln2>0,p(3)=1﹣2ln3<0,故 x2∈(2,3) , ∴m=3 时,g(x)在(3,+∞)递减,此时,g(3+x)<g(3)恒成立, 若 m=1,2,则 g(x2)>g(m) ,矛盾,
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综上,存在最小正整数 m=3.

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2016 年 8 月 22 日

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