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高考数学 考前冲刺大题精做 专题06 圆锥曲线综合篇(学生版)

高考数学 考前冲刺大题精做 专题 06 圆锥曲线综合篇(学生版)
【2013 高考会这样考】 1、 在解椭圆中的最值与范围问题时,要考虑到椭圆的限制条件对自变量取值的影响; 2、 与平面向量等知识的结合,综合考查圆锥曲线的相关运算; 3、 以直线和圆锥曲线为载体,研究弦长、最值、取值范围、三角形的面积问题是高考考查 的热点.

【原味还原高考】 【 高 考还 原 1 : ( 2012 年 高 考( 上 海理 ) ) 】 在平 面 直角 坐 标 系 x O y 中 , 已 知双 曲 线

C1 : 2 x2 ? y 2 ? 1 .
(1)过 C1 的左顶点引 C1 的一条渐近线的平行线,求该直线与另一条渐近线及 x 轴围成 的三角形的面积; (2)设斜率为 1 的直线 l 交 C1 于 P、Q 两点,若 l 与圆 x 2 ? y 2 ? 1相切,求证:OP⊥OQ; (3)设椭圆 C2 : 4 x 2 ? y 2 ? 1. 若 M、N 分别是 C1 、C2 上的动点,且 OM⊥ON,求证:O 到直线 MN 的距离是定值.

【 高 考还 原 2 : ( 2012 年 高 考( 山 东理 ) ) 】 在平 面 直角 坐 标系 xOy 中 , F 是 抛物 线

C : x2 ? 2 py( p ? 0) 的焦 点, M 是抛物线 C 上位于第一象限内的任意一点,过 M , F , O 三
点的圆的圆心为 Q ,点 Q 到抛物线 C 的准线的距离为 (Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)是否存在点 M ,使得直线 MQ 与抛物线 C 相切于点 M ?若存在,求出点 M 的坐标; 若不存在,说明理由; (Ⅲ)若点 M 的横坐标为 2 ,直线 l : y ? kx ? 圆 Q 有两个不同的交点 D, E ,求当

3 . 4

1 与抛物线 C 有两个不同的交点 A, B , l 与 4

1 2 2 ? k ? 2 时, AB ? DE 的最小值. 2

【高考还原 3: (2012 年高考(江苏理) ) 】如图,在平面直角坐标系 xoy 中,椭圆
1

? x2 y 2 3? ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦 F2 点分别为 F1 (?c , e) 和 ? e , ? 都在 0) .已知 (1 , 0) , F2 (c , 2 ? a b 2 ? ? ?
椭圆上,其中 e 为椭圆的离心率.

(1)求椭圆的方程; (2)设 A, B 是椭圆上位于 x 轴上方的两点,且直线 AF1 与直线 BF2 平行, AF2 与 BF1 交于点 P.

6 ,求直线 AF1 的斜率; 2 (ii)求证: PF1 ? PF2 是定值.
(i)若 AF1 ? BF2 ?

【细品经典例题】 【经典例题 1】设椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1?a ? 0? 的左、右顶点分别为 A 、 B ,点 P 在椭圆上 2 a2

且 异于 A 、 B 两点, O 为坐标原点. (1)若直线 AP 与 BP 的斜率之积为 ?

1 ,求椭圆的离心率; 2

(2)对于由 (1)得到的椭圆 C ,过点 P 的直线 l 交 x 轴于点 Q?? 1,0? ,交 y 轴于点 M , 若 MP ? 2 PQ ,求直线 l 的斜率.

【经典例题 2】已知中心在原点,焦点在坐标轴上的椭圆 ? ,它的离心率为 1 ,一个焦点是
2

? ?1,0? ,过直线 l : x ? 4 上一点 M 引椭圆 ? 的两条切线,切点分别是 A,B .
(1)求椭圆 ? 的方程;
2 2 xx y y (2)若在椭圆 Ω : x2 ? y2 ? 1? a ? b ? 0? 上的点 ? x0 , y0 ? 处的切线方程是 02 ? 02 ? 1 . a b a b

求证:直线 AB 恒过定点 C,并出求定点 C 的坐标.

2

(3)是否存在实数 ? ,使得 AC ? BC ? ? AC ? BC 恒成立?(点 C 为直线 AB 恒过的定点) 若存在,求出 ? 的值;若不存在,请说明理由.

【精选名题巧练】 【名题巧练 1】已知椭圆 C1 :

x2 ? y2 ? 1 . 2

(Ⅰ)我们知道圆具有性质:若 E 为圆 O: x2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) 的弦 AB 的中点,则直线 AB 的斜率 k AB 与直线 OE 的斜率 kOE 的乘积 k AB ? kOE 为定值。 类比圆的这个性质, 写出椭圆 C1 的 类似性质,并加以证明; (Ⅱ)如图(1) ,点 B 为 C1 在第一象限中的任意一点,过 B 作 C1 的切线 l , l 分别与 x 轴和 y 轴的正半轴交于 C,D 两点,求三角形 OCD 面积的最小值;

x2 y 2 ? ? 1 上任意一点 P 作 C1 的两条切线 PM 和 PN,切点分 (Ⅲ)如图(2) ,过椭圆 C2 : 8 2
别为 M,N.当点 P 在椭圆 C2 上运动时,是否存在定圆恒与直线 MN 相切?若存在,求出圆的 方程;若不存在,请说明理由.

【名题巧练 2】已知椭圆

x2 y2 6 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 . 2 3 a b

(I)若原点到直线 x ? y ? b ? 0 的距离为 2, 求椭圆的方程; (II)设过椭圆的右焦点且倾斜角为 45 ? 的直线 l 和椭圆交于 A,B 两点. (i)当 | AB |?

3 ,求 b 的值;

(ii)对于椭圆上任一点 M,若 OM ? ?OA ? ?OB ,求实数 ? , ? 满足的关系式.

3

【名题巧练 3】已知椭圆 C1 的中心在坐标原点,两个 焦点分别为 F1 (?2,0) , F2 2,0 ,点

?

?

A(2, 3) 在椭圆 C1 上, 过点 A 的直线 L 与抛物线 C2 : x2 ? 4 y 交于 B,C 两点, 抛物线 C2 在
点 B,C 处的切线分别为 l1,l2 ,且 l1 与 l2 交于点 P . (1)求椭圆 C1 的方程;

P ? 若存在, (2) 是否存在满足 PF 指出这样的点 P 有几个 (不 1 ? PF 2 ? AF 1 ? AF 2 的点
必求出点 P 的坐标); 若不存在,说明理由. 【名题巧练4】在矩形ABCD中,|AB|=2 3 ,|AD|=2 , E、 F、 G、 H分别为矩形四条边的中 点,以HF、GE所在直线分别为 x,y轴建立直角坐标系 (如图所 示 ) .若 R 、R ′分 别 在 线 段 0F 、 CF 上 , 且

| OR | | CR'| 1 = = . | OF | | OF | n

x2 (Ⅰ)求证:直线ER与GR′的交点P在椭圆 ? : + y 2 =1上; 3
(Ⅱ)若M、 N 为椭圆 ? 上的两点, 且直线GM与直线GN的斜率之积为 并求△GMN面积 的最大值.

2 , 求证: 直线MN过定点; 3

【名题巧练 5】已知抛物线 C : y2 ? 2 px( p ? 0), M 点的坐标为(12,8) ,N 点在抛物线 C 上,且满足 ON ?

3 OM , O 为坐标原点. 4

(I)求抛物线 C 的方程; (II)以点 M 为起点的任意两条 射线 l1 , l2 关于直线 l:y=x—4,并且 l1 与抛物线 C 交于 A、 B 两点, l2 与抛物线 C 交于 D、E 两点,线段 AB、DE 的中 点分别为 G、H 两点求证:直线 GH 过定点,并求出定点坐标.

4

【名题巧练 6】已知直线 3x ? 2 y ?2 3 ? 0 过椭圆 E : (1) 求椭圆 E 的标准方程;

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两个顶点。 a 2 b2

(2)F 为椭圆 E 的左焦点,且 P ( x0 , y0 ) 椭圆上的动点,过点 M ( x 0 ,0) 作直线 PF 的垂线, 垂足为 N,当 x0 变化时,线段 PN 的长度是否为定值?若是,请写 出这个定值,并证明你的结论;若不是,请说明理由。 【名题巧练

1 4

x2 y 2 7 】 如 图 , A , B 是 椭 圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0 )的 两 个 顶 a b
点. | AB | ? 5 ,直线 AB 的斜率为 ? (1)求椭 圆的方程; (2) 设直线 l 平行于 AB , 与 x, y 轴分别交于点 M , N , 与椭圆相交于 C , D . 证明: △ OCM 的面积等于△ ODN 的面积.

1 . 2

x2 y 2 【名题巧练 8】如图,在平面直坐标系 xOy 中,已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,经过 a b
点 (1, e) ,其中 e 为椭圆的离心率.且椭圆 C 与直线 y ? x ? 3 有且只有一个交点。 (1)求椭圆 C 的方程; (2)设不经过原点的直线 l 与椭圆 C 相交 与 A,B 两点,第一象限内 的点 P (1, m) 在椭圆上, 直线 OP 平分线段 AB ,求:当 ?PAB 的面积取得最大值时直线 l 的方程。

x2 y 2 【名题巧练 9】如图所示,椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a b

的离心 率 e ?

2 ,左焦 2

5

点为 F 右焦点为 F ,短轴两个端点为 A、B .与 x 轴不垂直的直线 l 与 ( , 0), ( , 0) 1 -1 2 1 椭圆 C 交于不同的两点 M 、 N ,记直线 AM 、 AN 的斜率分别为 k1 、 k2 ,且 k1k 2 ? (1)求椭圆 C (2)求证直线 l (3)当弦 MN 的方程; 与 y 轴相交于定点,并求出定点坐标. 的中点 P 落在 ?MF 1F2 内(包括边界)时,求直线 l 的斜率的取值。

3 . 2

【名题巧练 10】设椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左右顶点分别为 A(?2, 0), B(2, 0) ,离心 a 2 b2

率e ?

3 .过该椭圆上任一点 P 作 PQ ? x 轴,垂足为 Q ,点 C 在 QP 的延长线上,且 2

| QP |?| PC | .
(1)求椭圆的方程; (2)求动点 C 的轨迹 E 的方程; (3)设直线 AC ( C 点不同于 A, B )与直线 x ? 2 交于点 R , D 为线段 RB 的中点,试判 断直线 CD 与曲线 E 的位置关系,并证明你的结论.

6


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