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江苏省扬州中学2016届高三数学下学期开学考试试题

江苏省扬州中学 2015—2016 学年度第二学期期初质量检测 数学Ⅰ
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卷相应位置) 1.复数 i ?1 ? i ? ( i 是虚数单位)的虚部是__________. 2.从编号为 0,1,2,?,79 的 80 件产品中,采用系统抽样的方法 取容量为 5 的一个样本,若编号为 42 的产品在样本中,则该样本 产品的最小编号为 . 3.若圆锥的底面周长为 2? ,侧面积也为 2? ,则该圆锥的体积为 ______________. 4.右图是一个算法的流程图,则输出的 n 的值是________. 5.已知一个三角形的三边长分别是 5,5,6,一只蚂蚁在其内部爬行, 不考虑蚂蚁的大小,则某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离 超过 2 的概率是 . 抽 中

若 均

?| log3 ( x ? 1) |,?1 ? x ? 0 3 ? 6.设函数 f ( x) ? ? ,则 f [ f ( ? 1)] = ? 3 tan x,0 ? x ? 1 ? 2 ?



2 7.已知 p :关于 x 的不等式 x ? 2ax ? a ? 0 有解, q : a ? 0 或 a ? ?1 , 则 p 是 q 的

条件. (空格处请填写“充分不必要条件” 、 “必要不充分条件” 、 “充要条件”或“既 不充分也不必要条件” ) 8.已知 sin ? x ?

? ?

??

1 ?5 ? ? 2 ?? ? ? ,则 sin ? ? ? x ? ? sin ? ? x ? = 6? 4 ?6 ? ?3 ?



9.已知 F1 , F2 是椭圆 椭圆的离心率为

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点,弦 AB 过 F1 ,若 ?ABF2 的周长为 8,则 k ? 2 k ?1


?x ≥ m ? 10. 设 m ? R , 实 数 x , y 满 足 ? 2 x ? 3y ? 6≥ 0, 若 | x ? 2 y |? 18 , 则 实 数 m 的 取 值 范 围 ? ?3 x ? 2y ? 6≤ 0
是 .

11.在矩形 ABCD 中, AB ? 5, BC ? 3, P 为矩形内一点,且 AP ?

5 , 2


AP ? ? AB ? ? AD(?, ? ? R) ,则 5? ? 3? 的最大值为

12.数列 {an } 中, a1 ? ?1 , Sn 为数列 {an } 的前 n 项和,且对 ?n ? 2 ,都有 则 {an } 的通项公式 an = .

2an ? 1. an Sn ? Sn 2

-1-

13.不等式 ? x ? 1? x ? 4 x ? 3 ? 0 有多种解法,其中有一种方法如下,在同一直角坐标系中
2

?

?

作出 y1 ? x ? 1和 y2 ? x ? 4x ? 3 的图像然后进行求解,请类比求解以下问题:
2

设 a , b ? Z ,若对任意 x ? 0 ,都有 ( ax ? 2)( x ? 2b) ? 0 ,则 a ? b ? __________.
2

14.对于函数 y ? f ( x) ,若存在定义域 D 内某个区间 [a , b] ,使得 y ? f ( x) 在 [a , b] 上的值 域也是 [a , b] ,则称函数 y ? f ( x) 在定义域 D 上封闭.如果函数 f ( x) ?

kx ( k ? 0 )在 1 ? x2

R 上封闭,那么实数 k 的取值范围是______________.
二、解答题(本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分 14 分)已知 f ? x ? ? 3 cos 2 x ? 2sin( (1)求函数 f ( x) 的单调增区间; (2)已知锐角 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c ,且 f ? A? ? ? 3 , a ? 3 ,求 BC 边 上的高的最大值.

3? ? x) sin(? ? x), x ? R . 2

16. (本小题满分 14 分)正方形 ABCD 所在的平面与三角形 CDE 所在的平面交于 CD ,且

AE ? 平面 CDE .
(1)求证: AB / / 平面 CDE ; (2)求证:平面 ABCD ? 平面 ADE .

17. (本小题满分 15 分)某企业接到生产 3000 台某产品的 A,B,C 三种部件的订单,每台产 品需要这三种部件的数量分别为 2,2,1(单位:件). 已知每个工人每天可生产 A 部件 6 件, 或 B 部件 3 件,或 C 部件 2 件.该企业计划安排 200 名工人分成三组分别生产这三种部件,生 产 B 部件的人数与生产 A 部件的人数成正比,比例系数为 k(k 为正整数). (1)设生产 A 部件的人数为 x,分别写出完成 A,B,C 三种部件生产需要的时间; (2)假设这三种部件的生产同时开工,试确定正整数 k 的值,使完成订单任务的时间最短, 并给出时间最短时具体的人数分组方案.

-2-

18. (本小题满分 15 分)已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的下顶点为 P(0, ?1) , P 到焦点 a 2 b2

的距离为 2 . (1)设 Q 是椭圆上的动点,求 | PQ | 的最大值; (2)若直线 l 与圆 O : x2 ? y 2 ? 1 相切,并与椭圆 C 交于不同的两点 A、B.当 OA? OB ? ? , 且满足

2 8 ? ? ? 时,求 ?AOB 面积 S 的取值范围. 3 9

-3-

19.(本小题满分 16 分)函数 f ( x) ? (1)讨论 f ( x ) 的单调性;

a ? ln x ,其中 a 为实常数. x

(2)不等式 f ( x) ? 1 在 x ? (0,1] 上恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)若 a ? 0 ,设 g (n) ? 1 ?

1 1 1 1 2 3 n ?1 ? ? ? ? , h(n) ? 3 ? 3 ? 3 ? ? ? 3 ( n ? 2, 2 3 n 2 3 4 n

n ? N * ). 是 否 存 在 实 常 数 b , 既 使 g (n) ? f (n) ? b 又 使 h( n)? f ( n ? 1)? b 对一切

n ? 2, n ? N * 恒 成 立 ? 若 存 在 , 试 找 出 b 的 一 个 值 , 并 证 明 ; 若 不 存 在 , 说 明 理 由 .
( [ln( x ? 1)]' ?

1 ) x ?1

? an ? 3 (an ? 3, n ? N * ) 20. (本小题满分 16 分)已知数列 ?an ? 满足: a1 ? a, an ?1 ? ? . * ?4 ? an (an ? 3, n ? N )
(1)若 a ? 20 2 ,求数列 ?an ? 的前 30 项和 S30 的值; (2)求证:对任意的实数 a ,总存在正整数 m ,使得当 n ? m ( n ? N )时, an? 4 ? an 成
*

立.

-4-

数学Ⅱ(附加题)
?1 0 ? ? ?4 3 ? 21. (本小题满分 10 分)已知 ? B?? ? ? ,求矩阵 B . ?1 2? ? 4 ? 1?

22. (本小题满分 10 分)在极坐标系中,圆 C 是以点 C (2, ? ) 为圆心, 2 为半径的圆. 6 (1)求圆 C 的极坐标方程; (2)求圆 C 被直线 l : ? ?

?

?
6

所截得的弦长.

-5-

23. (本小题满分 10 分)现有甲、乙两个项目,对甲项目每投资十万元,一年后利润是 1.2 1 1 1 万元、1.18 万元、1.17 万元的概率分别为 、 、 ;已知乙项目的利润与产品价格的调整有 6 2 3 关,在每次调整中,价格下降的概率都是 p(0<p<1).设乙项目产品价格在一年内进行 2 次独 立的调整,记乙项目产品价格在一年内的下降次数为 ξ ,对乙项目投资十万元,ξ 取 0、1、 2 时,一年后相应利润是 1.3 万元、1.25 万元、0.2 万元.随机变量 ξ 1、ξ 2 分别表示对甲、 乙两项目各投资十万元一年后的利润. (1)求 ξ 1、ξ 2 的概率分布和数学期望 E(ξ 1)、E(ξ 2); (2)当 E(ξ 1)<E(ξ 2)时,求 p 的取值范围.

24. (本小题满分 10 分)
?2a ,an ≤18 , …? . 已知数列 ?an ? 满足: a1 ? N* , a1 ≤ 36 ,且 an ?1 ? ? n ? n ? 1,2 , ?2an ? 36 ,an ? 18

记集合 M ? an | n ? N* . (Ⅰ)若 a1 ? 6 ,写出集合 M 的所有元素; (Ⅱ)求集合 M 的元素个数的最大值.

?

?

参考答案 1. 1 2. 10 3.

3 ? 3

4.3

5. 1 ?

? 6

6. 1

7. 必要不充分条件

8.

19 16

-6-

9.

1 2

10. -3≤m≤6

11.

10 2

12.

?2 n(n ? 1)

13. ?1 14. (?? , ? 1) ? (1 , ? ?)

15. (1)整理得 f ( x) ? ?2sin(2 x ? 增区间为 [k? ?

?
3

) , ??3 分

5 11 ? , k? ? ? ]( k ? Z ) ??6 分 12 12

(2) f ( A) ? ? 3 , sin(2 A ?

?
3

)?

3 ? ? ? 2? ,? 0 ? A ? ,? ? ? 2 A ? ? , 2 2 3 3 3

? 2A ?

?
3

?

?
3

?A?

?
3

??9 分

1 1 ? ? ? a ? h ? AB ? AC ? sin 2 2 3

? h ? AB ? AC ?

3 ,??10 分 6

由余弦定理及基本不等式可知 AB ? AC ? 9 ,? h ? 所以 BC 边的最大值为

3 3 ,此时 AB ? AC ? 3 2

3 3 .??14 分 2 16. (1)正方形 ABCD 中, AB / / CD ,又 AB ? 平面 CDE , CD ? 平面 CDE , 所以 AB / / 平面 CDE .??????????7 分 (2)因为 AE ? 平面 CDE ,且 CD ? 平面 CDE ,所以 AE ? CD ,又正方形 ABCD 中, CD ? AD ,且 AE ?AD ? A , AE、AD ? 平面 ADE ,所以 CD ? 平面 ADE ,又 CD ? 平 面 ABCD ,所以平面 ABCD ? 平面 ADE .??????????14 分
17. (1)设完成 A,B,C 三种部件的生产任务需要的时间(单位:天)分别为 T1(x),T2(x), T3(x),由题设有:T1(x)= 2 ? 3000= 1000,??2 分

6x

x

T2(x)= 2000 ,??4 分,

kx

T3(x)=

1500 ,??6 分 200 ? (1 ? k ) x

其中 x,kx,200-(1+k)x 均为 1 到 200 之间的正整数. ??7 分 ( 2 ) 完 成 订 单 任 务 的 时 间 为 f ( x) = max{ T1(x) , T2(x) , T3(x)} , 其 定 义 域 为 {0<x< 200 ,x∈N*}. 易知, T1(x), T2(x)为减函数, T3(x)为增函数, 注意到 T2(x)= 2 ·T1(x),

1? k

k

于是①当 k=2 时, T1(x)=T2(x), 此时, f ( x) =max{ T1(x), T3(x)}=max{ 1000, 1500 },

x

200 ? 3x

由函数 T1(x),T3(x)的单调性知,当 1000= 1500 时, f ( x) 取得最小值,

x

200 ? 3x

解得 x = 400 ,由于 44< 400 <45 ,而 f (44) = T1(44) = 250 , f (45) = T3(45) = 300 ,

9

9

11

13

∵ f (44) < f (45) ,∴当 x=44 时完成订单任务的时间最短,且最短时间为 f (44) = 250 .

11

??10 分

-7-

②当 k>2 时,T1(x)>T2(x),由于 k 为正整数,∴k≥3,此时,

1500 1500 ≥ = 375 .记 T(x)= 375 ,? ( x) =max{T1(x),T(x)},易 200 ? (1 ? k ) x 200 ? (1 ? 3) x 50 ? x 50 ? x
知,T(x)是增函数,则 f ( x) =max{ T1(x),T3(x)}≥max{ T1(x),T(x)}= ? ( x) =max{ 1000,

x

375 }, 由函数 T1(x),T(x)的单调性知,当 1000= 375 时, ? ( x) 取最小值,解得 x 50 ? x x 50 ? x = 400 ,由于 36< 400 <37,而 ? (36) =T1(36)= 250 > 250 , ? (37) =T(37)= 375 > 250 , 11 11 11 9 13 11
此时,完成订单任务的最短时间大于 250 .??12 分

11

③当 k<2 时,T1(x)<T2(x),由于 k 为正整数,故 k=1,此时,

f ( x) =max{ T2(x),T3(x)}=max{ 2000 , 750 }, x 100? x
由函数 T2(x),T3(x)的单调性知,当 2000 = 750 时, f ( x) 取最小值,解得 x= 800 ,类

x

100? x 9

11

似①的讨论,此时完成订单任务的最短时间为 250 ,大于 250 .??14 分

11

综上所述,当 k=2 时,完成订单任务的时间最短,此时,生产 A,B,C 三种部件的人数分别 为 44,88,68. ??15 分 18. (1)易知 b ? 1, a ? 则 PQ ?

2 ,所以椭圆的方程为

x2 ? y 2 ? 1 ;设 Q( x, y ) , 2

x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 2(1 ? y 2 ) ? ( y ? 1) 2 ? ?( y ? 1) 2 ? 4(?1 ? y ? 1) .

∴当 y ? 1 时, PQ max ? 2 . ????????5 分 (2)依题结合图形知的斜率不可能为零,所以设直线 l 的方程为 x ? my ? n ( m ? R ) .
2 2 ∵直线 l 即 x ? m y ? n ? 0 与圆 O: x ? y ? 1 相切,

∴有:

|n| m ?1
2

? 1 得 n 2 ? m 2 ? 1 .????????7 分
? x ? my ? n
2 2 ?x ? 2 y ? 2 ? 0

又∵点 A、B 的坐标( x1 , y1 ) 、 ( x 2 , y 2 )满足: ? 消去整理得 (m ? 2) y ? 2mny ? n ? 2 ? 0 ,
2 2 2

n2 ? 2 2mn 由韦达定理得 y1 ? y 2 ? ? 2 , y1 y 2 ? 2 . m ?2 m ?2
其判别式 ? ? 4m n ? 4(m ? 2)(n ? 2) ? 8(m ? n ? 2) ? 8 ,
2 2 2 2 2 2

-8-

又由求根公式有 y1、 2 ?
? ?

? 2mn ? ? . 2(m 2 ? 2)

∵ ? = OA? OB = x1 x2 ? y1 y2 ? (my1 ? n)(my2 ? n) ? y1 y2

? (m 2 ? 1) y1 y 2 ? m n( y1 ? y 2 ) ? n 2 ?

3n 2 ? 2m 2 ? 2 m 2 ? 1 ? 2 .???????12 分 m ?2 m2 ? 2

S ?AOB ?

? ? ? 1 ? 1 ? 2 ? 2 | OA || OB | sin ?AOB ? OA ? OB ? (OA? OB) 2 2 2

?

1 1 1 | x1 y 2 ? x2 y1 | ? | (my1 ? n) y 2 ? (my2 ? n) y1 |? | n( y 2 ? y1 ) | 2 2 2
m2 ?1 1 1 ? m2 ? 1 ? 2 ? ? 2 | n|? 2 ? 2? . 2 2 2 m ?2 m ?2 2 m ?2 (m ? 2)

?

m2 ? 1 ? 2 8 ? m2 ? 1 1 ∵ 2 ? ? 1 ,且 ? ? 2 ? , ?. m ?2 ? m ? 2 m2 ? 2 ?3 9?
∴ S ?AOB ?

?4 2? 2 ? ? ? (1 ? ? ) ? ? , ? . ????????15 分 ?9 3?
a 1 x?a ? ? 2 , x2 x x

19. 解: (1)定义域为 (0, ??), f ?( x) ? ?

① 当 a ? 0 时,? x ? 0,? x ? a ? 0,? f ?( x) ? 0 ,

? f ( x) 在定义域 (0, ??) 上单增;??2 分
②当 a ? 0 时,当 x ? a 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 单增;当 0 ? x ? a 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 单减。

? 增区间: (a, ??) ,减区间: (0, a ) 。
综上可 知:当 a ? 0 时,增区间 (0, ??) ,无减区间;当 a ? 0 时,增区间: (a, ??) ,减区间:

(0, a ) 。??4 分
(2) f ( x) ? 1 ?

a a ? ln x ? 1 ? ? ? ln x ? 1 ? a ? ? x ln x ? x 对任意 x ? (0,1] 恒成立 x x

? a ? [? x ln x ? x]max , x ? (0,1] ,令 g ( x) ? ? x ln x ? x, x ? (0,1] ,
1 g ?( x) ? ? ln x ? x ? ? 1 ? ? ln x ? 0( x ? (0,1]) ,??6 分 x

? g ( x) 在 x ? (0,1] 上单增,

-9-

? g ( x)max ? g (1) ? 1,? a ? 1 ,故 a 的取值范围为 [1, ??) 。??8 分
(3)存在,如 b ? 0 等。??9 分

1 1 1 ? ? ? ? ? ln n (n ? 2, n ? N ? ) 2 3 n 1 2 3 n ?1 及 3 ? 3 ? 3 ? ? ? 3 ? ln(n ? 1) (n ? 2, n ? N ? ) 成立。 2 3 4 n 1 1 1 2 3 n ①先证 1 ? ? ? ? ? ? ln n (n ? N ? ) ,注意 ln n ? ln ? ln ? ? ? ln , 2 3 n 1 2 n ?1 1 k 1 ? ln ? ln(1 ? ) (k ? 2,3,? n) (*)即可, 这只要证 k ?1 k ?1 k ?1 1 (k ? 2) 即可得上式成立。 容易证明 x ? ln(1 ? x) 对 x ? 0 恒成立(这里证略),取 x ? k ?1 1 1 1 ? ln n (n ? N ? ) , 让 k ? 2,3,?, n 分别代入(*)式再相加即证: 1 ? ? ? ? ? 2 3 n ?1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? 1? ? ?? ? ? ln n (n ? N ? ) 。??12 分 于是 1 ? ? ? ? ? 2 3 n ?1 n 2 3 n ?1 1 2 3 n ?1 ②再证 3 ? 3 ? 3 ? ? ? 3 ? ln(n ? 1) (n ? 2, n ? N ? ) , 2 3 4 n
下面证明: 1 ? 法一:?

1 2 3 n ?1 ? ? ? ? ? 3 ? ln(n ? 1) (n ? 2, n ? N ? ) 23 33 43 n

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 3 ) ? ( 2 ? 3 ) ? ( 2 ? 3 ) ? ? ? ( 2 ? 3 ) ? ln( n ? 1) ? ln[(1 ? )(1 ? )(1 ? ) ? (1 ? )] 2 2 2 3 3 4 4 n n 1 2 3 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ( 2 ? 3 ) ? ( 2 ? 3 ) ? ( 2 ? 3 ) ? ? ? ( 2 ? 3 ) ? ln(1 ? ) ? ln(1 ? ) ? ln(1 ? ) ? ? ? ln(1 ? ) 2 2 3 3 4 4 n n 1 2 3 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ( 2 ? 3 ) ? ( 2 ? 3 ) ? ( 2 ? 3 ) ? ? ? ( 2 ? 3 ) ? ln(1 ? ) ? ln(1 ? ) ? ln(1 ? ) ? ? ? ln(1 ? ) 1 1 2 2 3 3 n n 1 2 3 n 1 1 1 2 3 只须证 2 ? 3 ? ln(1 ? )( k ? N ? ) ,构造证明函数不等式: x ? x ? ln(1 ? x) ( x ? 0) , k k k ?(
2 令 u( x) ? x ? x ? ln( x ? 1) , u?( x) ? 2 x ? 3x ?

2

3

1 ?3x3 ? ( x ? 1) 2 ? , x ?1 x ?1

当 x ? [0, ??) 时, u?( x) ? 0,? u ( x) 在 [0, ??) 上单调递减,又 u (0) ? 0,

? 当 x ? (0, ??) 时,恒有 u( x) ? u(0) ? 0 ,即 x2 ? x3 ? ln( x ? 1) ( x ? 0) 恒成立。
1 1 1 1 1 ? k ? N ? ,? ? (0, ??) ,取 x ? ,则有 2 ? 3 ? ln(1 ? )(k ? N ? ) , k k k k k
让 k ? 1, 2,3,?, n 分别代入上式再相加即证:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 2 ? 3 ) ? ( 2 ? 3 ) ? ( 2 ? 3 ) ? ? ? ( 2 ? 3 ) ? ln(1 ? ) ? ln(1 ? ) ? ln(1 ? ) ? ? ? ln(1 ? ) 1 1 2 2 3 3 n n 1 2 3 n 1 2 3 n ?1 即证 3 ? 3 ? 3 ? ? ? 3 ? ln(n ? 1) (n ? 2, n ? N ? ) 。??16 分 2 3 4 n
- 10 -

n ?1 n ?1 n ?1 1 1 1 1 ? 3 ? ? 2 ? ? ? , (n ? 2) , 3 2 n n ? 1 (n ? 1)(n ? n ? 1) n ? n ? 1 n(n ? 1) n n ? 1 1 2 3 n ?1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 3 ? 3 ? 3 ? ? ? 3 ? ( ? ) ? ( ? ) ? ?? ? ( ? )? ? ? , 2 3 4 n 2 3 3 4 n n ?1 2 n ?1 2 1 又? n ? 2, ln(n ? 1) ? ln 3 ? ln e ? , 故不等式成立。 2
法二:? 20. (1)∵a=20 2=3×9+(20 2-27),当 an>3 时,an+1=an―3, ∴a1,a2,a3,?,a10,是首项为 20 2、公差为―3 的等差数列. ∵a10=20 2-27?(1,3),当 an≤3 时,an+1=4-an, ∴当 n≥10 时,an?(1,3),且 an+1+an=4. ∴S30=( a1+a2+a3+?+a10)+(a11+a12)+?+(a29+a30) =10·20 2-135+4×10=200 2-95.????????6 分 (2)∵当 an>3 时,an+1=an―3. (Ⅰ)当 a>3 时,不妨设 a=3k+p(k?N ,0≤p<3), 由 an+1=an―3,得 a1,a2,a3,?,ak+1 成等差数列,ak+1=p?[0,3). ①当 p=0 时,则有 ak+2=4,ak+3=1,ak+4=3,ak+5=1,? ∴存在正整数 m=k+2,当 n>m(n?N )时,an+2= an 成立,则 an+4= an 成立. ②当 0<p<1 时,则有 ak+2=4-p?(3,4),ak+3=1-p?(0,1),ak+4=3+p?(3,4),
* *

ak+5=p?(0,1),?,∴存在正整数 m=k,当 n>m(n?N*)时,an+4=an 成立.
③当 p=1 时,则有 ak+2=3,ak+3=1,? ∴存在正整数 m=k,当 n>m(n?N )时,an+2= an 成立,则 an+4=an 成立. ④当 1<p<3 时,则有 ak+2=4-p?(1,3),ak+3=p?(1,3),? ∴存在正整数 m=k,当 n>m(n?N )时,an+2=an 成立,则 an+4=an 成立.????12 分 (Ⅱ)当 a=3 时,a2=1,由(2) (Ⅰ) ③知命题成立. (Ⅲ)当 0<a<3 时,由(2) (Ⅰ) ②③④知命题成立. (Ⅳ)当 a=0 时,由(2) (Ⅰ) ①知命题成立. (Ⅴ)当 a<0 时,则 a2=4-a>3,由(2) 知命题成立. 综上得: 对任意的实数 a, 总存在正整数 m, 使得当 n>m(n∈N )时, an+4=an 成立. ??????16 分
* * *

- 11 -

附加答案
?a b ? 21. 解:设 B ? ? ?, ?c d ?



b ? ?1 0 ? ?a ?1 2? B ? ? a ? 2c b ? 2d ? , ? ? ? ?

????????????2'



?a ? ?4, ?b ? 3, ? . ? ?a ? 2c ? 4, ? ?b ? 2d ? ?1,

????????????6'

? a ? ?4, ?b ? 3, ? ?4 3 ? 解得 ? 故B ? ? ? ? ? 4 ? 2? ?c ? 4, ? ? d ? ?2.

????????????10'

22. (1) ? ? 4cos(? ? ) . 6 (2)截得的弦长为 2 . 23. 解 (1)ξ 1 的概率分布为 ξ
1

?

P
1 6 1 2 1 3

1.2 1 6

1.18 1 2

1.17 1 3

E(ξ 1)=1.2× +1.18× +1.17× =1.18.
(2 分) 故 ξ 2 的概率分布为 1.3 1.25 0.2 2 P (1-p) 2p(1-p) p2 2 2 2 所以 ξ 2 的数学期望是 E(ξ 2)=1.3×(1-p) +1.25×2p(1-p)+0.2×p =1.3×(1-2p+p ) 2 2 2 +2.5×(p-p )+0.2×p =-p -0.1p+1.3. (7 分) 2 (2)由 E(ξ 1)<E(ξ 2),得-p -0.1p+1.3>1.18,整理得(p+0.4)(p-0.3)<0, 解得-0.4<p<0.3.因为 0<p<1,所以,当 E(ξ 1)<E(ξ 2)时,p 的取值范围是 0<p<0.3. (10 分) 24. (1) M ? {6,12, 24} 4分
2

ξ

(2) ①集合 M 中所有元素均不超过 36 ②集合 M 中的元素最多除了前面两个以外都是 4 的倍数,第二个必定是偶数。 ③集合 M 中的数, an ?1 和 2an 除以 9 的余数相等
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当 M 中的元素有 3 的倍数时,可以证明 M 中的所有元素都是 3 的倍数。除以 9 的余数只 能是 3,6,3,6??,6,3,6,3,??,或 0,0,0,??而除以 9 余 3 且是 4 的倍数只有 12,除以 9 余 6 且是 4 的倍数的只有 24, 除以 9 余 0 且是 4 的倍数的只有 36.则 M 中的数从第三项开始 最多只有两项,所以 M 最多只有 4 项。 当 M 中没有 3 的倍数,则 an 都不是 3 的倍数, a3 除以 9 的余数只能是 1,4,7,2,5,8 中 的一个,从 a3 起, an 除以 9 的余数是 1,2,4,8,7,5,??不断的六项循环(可能从 2,4,8, 7,5 开始) , 而除以 9 的余数是 1, 2,4,8,7, 5 且是 4 的倍数 (不大于 36) , 只有 28,20,4,8,16,32, 所 以 加 上 前 两 项 最 多 8 项 。 例 如 M ? {1, 2, 4,8,16,32, 28, 20} , 项 数 为 8 项 。 10 分 第 2 问,猜对 8 项并举出实例给 2 分。

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