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高考数学总复习精品课件9-7用向量方法证明平行与垂直(理) 74张(人教版)_图文

走向高考· 数学 人教A版 ·高考一轮总复习 路漫漫其修远兮 吾将上下而求索 第九章 立体几何 第九章 第七节 用向量方法证明平行与垂直(理) 基础梳理导学 3 考点典例讲练 思想方法技巧 4 课堂巩固训练 5 课后强化作业 基础梳理导学 重点难点 引领方向 重点:用向量方法讨论空间中的平行、垂直关系. 难点:将立体几何问题转化为向量问题. 夯实基础 稳固根基 一、用空间向量解决立体几何问题的思路 1.坐标法:如果所给问题的图形中存在互相垂直的直线 (或平面),比较方便建立空间直角坐标系写出点的坐标,这种 情况下,一般是建立恰当的空间直角坐标系,用坐标法通过 坐标运算来解决. 2.基向量法 如果在所给问题中,不好寻找交于一点的互相垂直的三 条直线,或者其坐标难于求出,这时常选图中不共面的三条 直线上的线段构造基底,将所给问题的条件和待解决的结论, 用基底及其线性表示来表达,通过向量运算来解决. 二、运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的一般 步骤 ①建立恰当的空间直角坐标系;②求出相关点的坐标; ③写出向量的坐标;④结合公式进行计算,论证;⑤转化为 几何结论. 三、平面的法向量 1.如果表示向量 a 的有向线段所在直线垂直于平面 α, 则称这个向量垂直于平面 α,记作 a⊥α,如果 a⊥α,那么向 量 a 叫做平面 α 的法向量. 2.求平面的法向量的方法 设 n 是平面 M 的一个法向量,AB、CD 是 M 内的两条相 → → 交直线, 则 n· AB=0, n· CD=0.由此可求出一个法向量 n(向量 → → AB及CD已知). 疑难误区 点拨警示 1.建立坐标系一定要符合右手系原则. 2.证明线面平行时,一定要说明直线在平面外. 思想方法技巧 一、如何用空间向量解决立体几何问题 1.思考方向: (1)要解决的问题可用什么向量知识来解决?需要用到哪 些向量? (2)所需要的向量是否已知?若未知,是否可用已知条件 转化成的向量直接表示? (3)所需要的向量若不能直接用已知条件转化成的向量表 示,则它们分别最易用哪个未知向量表示?这些未知向量与 由已知条件转化的向量有何关系? (4)怎样对已经表示出来的所需向量进行运算,才能得到 需要的结论? 2.空间问题如何转化为向量问题 (1)平行问题?向量共线,注意重合; (2)垂直问题?向量的数量积为零,注意零向量; (3)距离问题?向量的模; (4)求角问题?向量的夹角,注意角范围的统一. 3.向量的分解与合成是用向量法解决立体几何问题中经 常遇到的问题,确定合适的基向量或建立恰当的空间直角坐 标系是关键. 二、用空间向量研究空间线面的平行与垂直关系 1.用向量方法研究两直线间的位置关系 设直线 l1、l2 的方向向量分别为 a、b. (1)l1∥l2 或 l1 与 l2 重合?a∥b?存在实数 t,使 a=tb. (2)l1⊥l2?a⊥b?a· b=0. 2.用向量方法研究直线与平面的位置关系 设直线 l 的方向向量为 a,平面 α 的法向量为 n,v1、v2 是与 α 平行的两个不共线向量. (1)l∥α 或 l?α?存在两个实数 λ、 μ, 使 a=λv1+μv2?a· n =0. (2)l⊥α?a∥n?存在实数 t,使 a=tn. ? ?a⊥v1, l⊥α?? ? ?a⊥v2. ? v1=0, ?a· ?? ? v2=0. ?a· 3.用向量方法研究两个平面的位置关系 设平面 α、β 的法向量分别为 n1、n2. (1)α∥β 或 α 与 β 重合?n1∥n2?存在实数 t,使 n1=tn2. (2)α⊥β?n1⊥n2?n1· n2=0. 若 v1、v2 是与 α 平行的两个不共线向量,n 是平面 β 的 法向量. 则①α∥β 或 α 与 β 重合?v1∥β 且 v2∥β?存在实数 λ、 μ, 对 β 内任一向量 a,有 a=λv1+μv2. ? ?n⊥v1, ②α⊥β?? ? ?n⊥v2. ? v1=0, ?n · ?? ? v2=0. ?n · 考点典例讲练 用向量证明线面平行 [例 1] 如图所示, 平面 PAD⊥平面 ABCD, 四边形 ABCD 为正方形,△PAD 是直角三角形,且 PA=AD=2,E、F、G 分别是线段 PA、PD、CD 的中点.求证:PB∥平面 EFG. 分析:欲证线面平行,可考虑找出平面 EFG 的一个法向 → → 量 n,证明PB· n=0,也可以考虑将PB用平面 EFG 内两不共 线向量线性表示,由于四边形 ABCD 为正方形,平面 PAD⊥ 平面 ABCD,PA⊥AD,故可建立空间直角坐标系,用向量的 坐标运算证明. 证明: ∵平面 PAD⊥平面 ABCD 且 ABCD 为正方形,△PAD 为 直角三角形,PA⊥AD, ∴AB、AP、AD 两两垂直,以 A 为坐标原点,建立如图 所示的空间直角坐标系 A-xyz, 则 A(0,0,0)、 B(2,0,0)、 C(2,2,0)、 D(0,2,0)、 P(0,0,2)、 E(0,0,1)、 F(0,1,1)、G(1,2,0). → → → ∴PB=(2,0,-2),FE=(0 ,-1,0),FG=(1,1,-1), → → → 设PB=sFE+tFG, 即(2,0,-2)=s(0,-1,0)+t(1,1,-1), ?t=2, ? ∴?t-s=0, ?-t=-2, ? 解得 s=t=2. → → → ∴PB=2FE+2FG, → → → → → 又∵FE与FG不共线,∴PB、FE与FG共面. ∵PB?平面 EFG,∴PB∥平面 EFG. → 自己再用平面 EFG 的法向量与PB垂直的方法证明之. 点评:(1)证明直线 l1∥l2 时,分别取 l1、l2 的一个方向向 a1 a2 量 a、b,则 a∥b?存在实数 k,使 a=kb 或利用

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