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【精品一轮 特效提高】2014高考总复习(理数)-题库:8.8 立体几何中的向量方法(Ⅱ)----求空间角、距离

8.8 立体几何中的向量方法(Ⅱ)----求空间角、 距离
一、选择题 1.如图所示,在正方体 ABCD?A1B1C1D1 中,O 是底面正方形 ABCD 的中心,M 是 D1D 的中点,N 是 A1B1 上的动点,则直线 NO、AM 的位置关系是( ).

A.平行

B.相交

C.异面垂直

D.异面不垂直

解析 建立坐标系如图,设正方体的棱长为 2,

则 A(2,0,0),M(0,0,1),

→ O(1,1,0),N(2,t,2),NO=(-1,1-t,-2),



→→

AM=(-2,0,1),NO·AM=0,则直线 NO、AM 的

位置关系是异面垂直.

答案 C

2.正方体 ABCD?A1B1C1D1 的棱长为 a,点 M 在 AC1 上且A→M=12M→C1,N 为 B1B 的中点,

→ 则|MN|为( ).

A. 621a

B. 66a

C. 615a

D. 315a

解析 以 D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 D?xyz,则 A(a,0,0),C1(0,

a,a),N???a,a,a2???. 设 M(x,y,z),

∵点 M 在 AC1 上且A→M=12M→C1,

∴(x-a,y,z)=12(-x,a-y,a-z)

∴x=23a,y=a3,z=a3.

得 M???23a,a3,a3???,

→ ∴|MN|=

???a-23a???2+???a-a3???2+???a2-a3???2= 621a.

答案 A

→→ 3.在正方体 ABCD?A1B1C1D1 中,M、N 分别为棱 AA1 和 BB1 的中点,则 sin〈CM,D1N〉
的值为( ).

A.19

B.49 5

C.29 5

D.23

解析 设正方体的棱长为 2,以 D 为坐标原点,

DA 为 x 轴,DC 为 y 轴,DD1 为 z 轴建立空间直角





坐标系(如图),可知CM=(2,-2,1),D1N=(2,2,-1),

cos〈C→M,D→1N〉=-19,sin〈C→M,D→1N〉=4 9 5,

答案 B

4.两平行平面 α ,β 分别经过坐标原点 O 和点 A(2,1,1),且两平面的一个法 向量 n=(-1,0,1),则两平面间的距离是( )

3

2

A.2

B. 2

C. 3

D.3 2

解析

两平面的一个单位法向量

n0=??- ?

22,0,

22???,故两平面间的距离

d=

|O→A·n0|= 22.

答案 B 5.已知直二面角 α ?l?β ,点 A∈α ,AC⊥l,C 为垂足,点 B∈β ,BD⊥l,D 为垂足,若 AB=2,AC=BD=1,则 CD=( ).

A.2

B. 3

C. 2

解析 如图,建立直角坐标系 D?xyz,由已

知条件 B(0,0,1),A(1,t,0)(t>0),

D.1

由 AB=2 解得 t= 2.

答案 C

6.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是棱 BB1 中点,G 是 DD1 中点,F 是 BC 上一点且 FB

=14BC,则 GB 与 EF 所成的角为(

). [来源:Zxxk.Com]

A.30°

B.120°

C.60°

解析 如图建立直角坐标系 D?xyz,

设 DA=1,由已知条件

G???0,0,12???,B(1,1,0),

D.90°

E???1,1,12???,F???34,1,0???,

G→B=???1,1,-12???,E→F=???-14,0,-12???

→→ cos〈GB,EF〉=

→→ GB·EF →→

→→ =0,则GB⊥EF.

|GB||EF|

答案 D

7.如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠ACB=90°,2AC=AA1=BC=2.若二面角 B1-DC-C1 的大小为 60°,则 AD 的长为( )

A. 2

B. 3

C.2

D.

2 2

解析 如图,以 C 为坐标原点,CA,CB,CC1 所在的直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴 建立空间直角坐标系,则 C(0,0,0),A(1,0,0),B1(0,2,2), C1(0,0,2),D(1,0,1) 设 AD=a,则 D 点坐标为(1,0,a), CD =(1,0,a),

CB1 =(0,2,2), 设平面 B1CD 的一个法向量为 m=(x,y,z).

则???m· CB1 =0 ??m· CD =0

????2xy++a2zz==00 ,令 z=-1,

得 m=(a,1,-1),又平面 C1DC 的一个法向量为 n(0,1,0),

m·n 则由 cos60°=|m||n|,得

11 a2+2=2,即

a=

2,

故 AD= 2.

答案:A [来源:学,科,网 Z,X,X,K]

二、填空题 [来源:学科网]
8.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1,点 P 在线段 BD1上.当 ∠APC 最大时,三棱锥 P-ABC 的体积为________.
[来源:学科网]
解析 以 B 为坐标原点,BA 为 x 轴,BC 为 y 轴,BB1 为 z 轴建立空间直角坐标系(如

图),设 BP =λ BD1 ,可得 P(λ ,λ ,λ ),

再由 cos∠APC= |

AP · CP AP || CP

可求得当 |

λ

=13时,∠APC 最大,

故 VP-ABC=13×12×1×1×13=118.

1 答案 18 9.如图,在空间直角坐标系中有棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1,点 M 是线段 DC1 上的动点,则点 M 到直线 AD1 距离的最小值为________.

解析 设 M(0,m,m)(0≤m≤a),A→D1=(-a,0,a),直线 AD1 的一个单位方向向



s0=??- ?

2 2 ,0,

22???,由M→D1=(0,-m ,a-m),故点

M

到直线

AD1 的距离

d=

|M→D1|2-|M→D1·s0|2= m2+ a-m 2-12 a-m 2= 32m2-am+12a2,根

式内的二次函数当 m=-2-×a32=a3时取最小值32???a3???2-a×a3+12a2=13a2,故 d 的最小

值为 33a.

答案 33a

10.若向量 a=(1,λ ,2),b=(2,-1,2)且 a 与 b 的夹角的余弦值为89,则 λ

=________.

解析

由已知得89

a·b =|a||b|=

2-λ +4 , 5+λ 2· 9

∴8 5+λ 2=3(6-λ ),解得 λ =-2 或 λ =525.

2 答案 -2 或55

11.正四棱锥 S ?ABCD 中,O 为顶点在底面上的射影,P 为侧棱 SD 的中点,且

SO=OD,则直线 BC 与平面 PAC 的夹角的大小为________.

解析 如图所示,以 O 为原点建立空间

直角坐标系 O?xyz.

设 OD=SO=OA=OB=OC=a,

则 A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0),

P???0,-a2,a2???. 则C→A=(2a,0,0),A→P=???-a,-a2,a2???,C→B=(a,a,0). 设平面 PAC 的法向量为 n,可求得 n=(0,1,1),



→ 则 cos〈CB,n〉=

CB·n →



a 2a2·

2=12.

|CB||n|

→ ∴〈CB,n〉=60°,

∴直线 BC 与平面 PAC 的夹角为 90°-60°=30°.

答案 30°

12.已知点 E、F 分别在正方体 ABCD?A1B1C1D1 的棱 BB1,CC 1 上,且 B1E=2EB,CF =2FC1,则面 AEF 与面 ABC 所成的二面角的正切值为________. 解析 如图,建立直角坐标系 D?xyz,

设 DA=1 由已知条件 A(1,0,0),

E???1,1,13???,F???0,1,23???, A→E=???0,1,13???,A→F=???-1,1,23???, 设平面 AEF 的法向量为 n=(x,y,z),

面 AEF 与面 ABC 所成的二面角为 θ ,

??n·A→E=0, 由???n·A→F=0

??y+13z=0, 得???-x+y+23z=0.

令 y=1,z=-3,x=-1,则 n=(-1,1,-3)

平面 ABC 的法向量为 m=(0,0,-1)

cos

θ

=cos〈n,m〉=

3 ,tan 11

θ



32.

2 答案 3 三、解答题 13. 如图,四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD.四边形 ABCD 中,AB⊥AD,AB+AD=4,CD= 2,∠CDA=45°. (1)求证: 平面 PAB⊥平面 PAD; (2)设 AB=AP.若直线 PB 与平面 PCD 所成的角为 30°,求线段 AB 的长. 解析:(1)证明:因为 PA⊥平面 ABCD, AB?平面 ABCD, 所以 PA⊥AB. 又 AB⊥AD,PA∩AD=A, 所以 AB⊥平面 PAD.
[来源:学科网 ZXXK]
又 AB?平面 PAB,所以平面 PAB⊥平面 PAD. (2)以 A 为坐标原点,建立空间直角坐标系 A-xyz(如图). 在平面 ABCD 内,作 CE∥AB 交 AD 于点 E,则 CE⊥AD.

在 Rt△CDE 中,DE=CD·cos45°=1,CE=CD·sin45°=1.

设 AB=AP=t,则 B(t,0,0),P(0,0,t).

由 AB+AD=4 得 AD=4-t,

所以 E(0,3-t ,0),C(1,3-t,0),D(0,4-t,0), CD =(-1,1,0),

PD =(0,4-t,-t). 设平面 PCD 的一个法向量为 n=(x,y,z),

由 n⊥ CD ,n⊥ PD ,得???-x+-yt=0y,-tz=0.

取 x=t,得平面 PCD 的一个法向量 n=(t,t,4-t).

又 PB =(t,0,-t),故由直线 PB 与平面 PCD 所成的角为 30°得

cos60°=||nn|··|PPBB

|,即 |

|2t2-4t| t2+t2+ -t 2·

1 2t2=2,

解得 t =45或 t=4(舍去,因为 AD=4-t>0),

所以 AB=45.

14.如图所示,四棱锥 A?BCDE 中,底面 BCDE 为矩形,侧面 ABC⊥底面 BCDE,BC

=2,CD= 2,AB=AC.

(1)证明:AD⊥CE; (2)设侧面 ABC 为等边三角形,求二面角 C?AD?E 的大小. 解析 (1)证明 取 BC 中点 O,

连接 AO,则 AO⊥BC 由已知条件 AO⊥平面 BCDE, 如图,建立直角坐标系 O?xyz,

则 A(0,0,t),D(1, 2,0),

C(1,0,0),E(-1, 2,0),
→ AD=(1, 2,-t),
→ CE=(-2, 2,0),
→→ 则AD·CE=0,因此 AD⊥CE.
(2) 作 CF⊥AD 垂足为 F,连接 EF,
由 AD⊥平面 CEF 知 EF⊥AD,
则∠CFE 为二面角 C?AD?E 的平面角.

在 Rt△ACD 中,CF=AC·ADCD=2 3 3,

在等腰△ADE 中 EF=

30 3,

cos∠CFE=CF22+CFE·F2-EFCE2=-

10 10 .

∴二面角 CADE 的余弦值为- 1100.

15.在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 为平行四边形,∠ACB=90°,EA⊥平 面 ABCD,EF∥AB,FG∥BC,EG∥AC,AB=2EF.

(1)若 M 是线段 AD 的中点, 求证:GM∥平面 ABFE; (2)若 AC=BC=2AE,求二面角 A?BF?C 的大小. 解析 (1)证明 法一 因为 EF∥AB, FG∥BC,EG∥AC, ∠ACB=90°, 所以∠EGF=90°,△ABC∽△EFG. 由于 AB=2EF,因此 BC=2FG. 连接 AF,由于 FG∥BC,FG=12BC, 在?ABCD 中,M 是线段 AD 的中点,则 AM∥BC,且 AM=12BC, 因此 FG∥AM 且 FG=AM, 所以四边形 AFGM 为平行四边形,因此 GM∥FA. 又 FA?平面 ABFE,GM?平面 ABFE, 所以 GM∥平面 ABFE. 法二 因为 EF∥AB,FG∥BC,EG∥AC,∠ACB=90°, 所以∠EGF=90°,△ABC∽△EFG, 由于 AB=2EF,所以 BC=2FG. 取 BC 的中点 N,连接 GN, 因此四边形 BNGF 为平行四边形,所以 GN∥FB.

在?ABCD 中,M 是线段 AD 的中点,连接 MN,

则 MN∥AB.

因为 MN∩GN=N,AB∩FB=B,

所以平面 GMN∥平面 ABFE.

又 GM?平面 GMN,

所以 GM∥平面 ABFE.

(2)法一 因为∠ACB=90°,所以∠CAD=90°,

又 EA⊥平面 ABCD, 所以 AC,AD,AE 两两垂直.

分别以 AC,AD,AE 所在直线为 x 轴、y 轴和 z 轴,

建立如图所示的空间直角坐标系,

不妨设 AC=BC=2AE=2,则由题意得

A(0,0,0),B(2,-2,0),C(2,0,0),





E(0,0,1),所以AB=(2,-2,0),BC=(0,2,0).

又 EF=12AB,

→ 所以 F(1,-1,1),BF=(-1,1,1).

设平面 BFC 的法向量为 m=(x1,y1,z1),





则 m·BC=0,m·BF=0,

所以???yx11==0z,1,

取 z1=1,得 x1=1,所以 m=(1,0,1).

设平面 ABF 的法向量为 n=(x2,y2,z2),





则 n·AB=0,n·BF=0,

?x2=y2, 所以??z2=0,

取 y2=1,得 x2=1,则 n=(1,1,0), 所以 cos〈m,n〉=|m|m··|nn|=12.

因此二面角 A?BF?C 的大小为 60°.

法二 由题意知,平面 ABFE⊥平面 ABCD, 取 AB 的中点 H,连接 CH,

因为 AC=BC,所以 CH⊥AB,

则 CH⊥平面 ABFE.

过 H 向 BF 引垂线交 BF 于 R,连接 CR,

则 CR⊥BF,

所以∠HRC 为二面角 A?BF?C 的平面角.

由题意,不妨设 AC=BC=2AE=2.

在直角梯形 ABFE 中,连接 FH,

则 FH⊥AB,又 AB=2 2,

所以 HF=AE=1,BH= 2,

因此在

Rt△BHF

中,HR=

6 3.

由于 CH=12AB= 2,

所以在 Rt△CHR 中,tan∠HRC=

2 =

3,

6

3

因此二面角 A?BF?C 的大小为 60°.

16.如图,已知 AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD,△ACD 为等边三角形,AD=DE=

2AB,F 为 CD 的中点.

(1)求证:AF∥平面 BCE;

(2)求证:平面 BCE⊥平面 CDE;

(3)求直线 BF 和平面 BCE 所成角的正弦值.

解析 方法一: (1)证法一:取 CE 的中点 G,连接 FG、BG. ∵F 为 CD 的中点,∴GF∥DE 且 GF=12DE, ∵AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD, ∴AB ∥DE,∴GF∥AB. 又 AB=12DE,∴GF=AB.又 DE=2AB, ∴四边形 GFAB 为平行四边形,则 AF∥BG. ∵AF?平面 BCE,BG?平面 BCE, ∴AF∥平面 BCE. 证法二:取 DE 的中点 M,连接 AM、FM,

∵F 为 CD 的中点,∴FM∥CE. ∵AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD,∴DE∥AB. 又 AB=12DE=ME, ∴四边形 ABEM 为平行四边形,则 AM∥BE. ∵FM、AM?平面 BCE,CE、BE?平面 BCE, ∴FM∥平面 BCE,AM∥平面 BCE. 又 FM∩AM=M,∴平面 AFM∥平面 BCE. ∵AF?平面 AFM, ∴ AF∥平面 BCE.
(2)证明:∵△ACD 为等边三角形,F 为 CD 的中点, ∴AF⊥CD. ∵DE⊥平面 ACD,AF?平面 ACD,∴DE⊥AF. 又 CD∩DE=D,故 AF⊥平面 CDE. ∵BG∥AF,∴BG⊥平面 CDE. ∵BG?平面 BCE, ∴平面 BCE⊥平面 CDE. (3)在平面 CDE 内,过 F 作 FH⊥CE 于 H,连接 BH, ∵平面 BCE⊥平面 CDE,∴FH⊥平面 BCE. ∴∠FBH 为 BF 和平面 BCE 所成的角.

设 AD=DE=2AB=2a,则 FH=CFsin45°= 22a,

BF= AB2+AF2= a2+ 3a 2=2a, 在 Rt△FHB 中,sin∠FBH=FBHF= 42.

∴直线

BF

和平面

BCE

所成 角的正弦值为

2 4.

方法二:

设 AD=DE=2AB=2a,建立如图所示的坐标系 A-xyz,则 A(0,0,0),C(2a,0,0),

B(0,0,a),D(a, 3a,0),E(a, 3a,2a).

∵F 为 CD的中点,∴F???32a, 23a,0???. (1)证明:A→F=???32a, 23a,0???,B→E=(a, 3a,a),B→C=(2a,0,-a), ∵A→F=12(B→E+B→C),AF?平面 BCE,∴AF∥平面 BCE. (2)证明:∵A→F=???32a, 23a,0???,C→D=(-a, 3a,0),E→D=(0,0,-2a), ∴A→F·C→D=0,A→F·E→D=0,∴A→F⊥C→D,A→F⊥E→D. ∴A→F⊥平面 CDE,又 AF∥平面 BCE, ∴平面 BCE⊥平面 CDE. (3)设平面 BCE 的法向量为 n=(x,y,z),由 n·B→E=0,n·B→C=0 可 得

x+ 3y+z=0,2x-z=0,取 n=(1,- 3,2).

又B→F=???32a, 23a,-a???,设 BF 和平面 BCE 所成的角为 θ ,则

|B→F·n|

2a

2

sinθ =|B→F|·|n|=2a·2

= 2

4

.

∴直线 BF 和平面 BCE 所成角的正弦值为 42.