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2017版高考数学一轮复习第八章立体几何第6讲立体几何中的向量方法一——证明平行与垂直练习理新人教A版

第八章 立体几何 第 6 讲 立体几何中的向量方法(一)——证明平行 与垂直练习 理 新人教 A 版 基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、选择题 1.平面 α 的法向量为(1,2,-2),平面 β 的法向量为(-2,-4,k),若 α ∥β ,则 k =( A.2 ) B.-4 C.4 D.-2 -2 -4 k 解析 ∵α ∥β ,∴两平面法向量平行,∴ = = ,∴k=4. 1 2 -2 答案 C → → → 2.若AB=λ CD+μ CE,则直线 AB 与平面 CDE 的位置关系是( A.相交 C.在平面内 B.平行 D.平行或在平面内 ) → → → → → → 解析 ∵AB=λ CD+μ CE,∴AB,CD,CE共面.则 AB 与平面 CDE 的位置关系是平行或在平 面内. 答案 D 3.已知平面 α 内有一点 M(1,-1,2),平面 α 的一个法向量为 n=(6,-3,6),则下列 点 P 中,在平面 α 内的是( A.P(2,3,3) C.P(-4,4,0) ) B.P(-2,0,1) D.P(3,-3,4) → 解析 逐一验证法,对于选项 A,MP=(1,4,1), → → ∴MP·n=6-12+6=0,∴MP⊥n, ∴点 P 在平面 α 内,同理可验证其他三个点不在平面 α 内. 答案 A 4.如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,AA1= 3,AD=2 2,P 为 C1D1 的中点,M 为 BC 的中点.则 AM 与 PM 的位置关系为( A.平行 B.异面 C.垂直 ) D.以上都不对 1 解析 以 D 点为原点,分别以 DA,DC,DD1 所在直线为 x,y,z 轴, 建立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz,依题意,可得,D(0,0, 0),P(0,1, 3),C(0,2,0),A(2 2,0,0),M( 2,2,0). → ∴PM=( 2,2,0)-(0,1, 3)=( 2,1,- 3), AM=( 2,2,0)-(2 2,0,0)=(- 2,2,0), → → ∴PM·AM=( 2,1,- 3)·(- 2,2,0)=0, → → 即PM⊥AM,∴AM⊥PM. 答案 C 5.如图所示,在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 M,P,Q 分别为棱 AB, → CD,BC 的中点,若平行六面体的各棱长均相等,则 ①A1M∥D1P; ②A1M∥B1Q; ③A1M∥平面 DCC1D1; ④A1M∥平面 D1PQB1. 以上正确说法的个数为( A.1 B.2 ) C.3 D.4 → → → → 1→ → → → → 1→ → → 解析 A1M=A1A+AM=A1A+ AB,D1P=D1D+DP=A1A+ AB,∴A1M∥D1P,所以 A1M∥D1P,由 2 2 线面平行的判定定理可知,A1M∥面 DCC1D1,A1M∥面 D1PQB1.①③④正确. 答案 C 二、填空题 6.已知直线 l 的方向向量为 ν =(1,2,3),平面 α 的法向量为 u=(5,2,-3),则 l 与 α 的位置关系是________. 解析 ∵ν ·u=0,∴ν ⊥u,∴l∥α 或 l? α . 答案 l∥α 或 l? α → → → → → 7.(2016·青岛模拟)已知AB=(1,5,-2),BC=(3,1,z),若AB⊥BC,BP=(x-1,y,- 3),且 BP⊥平面 ABC,则实数 x+y=________. 2 3+5-2z=0, ? ? 解析 由条件得?x-1+5y+6=0, ? ?3(x-1)+y-3z=0, 40 15 40 15 25 解得 x= ,y=- ,z=4,∴x+y= - = . 7 7 7 7 7 答案 25 7 → → 8.已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在的平面外一点,如果AB=(2,-1,-4),AD=(4,2, → → 0),AP=(-1,2,-1).对于结论:①AP⊥AB;②AP⊥AD;③AP是平面 ABCD 的法向量; → → ④AP∥BD.其中正确的序号是________. → → → → 解析 ∵AB·AP=0,AD·AP=0,∴AB⊥AP,AD⊥AP,则①②正确. → → → 又AB与AD不平行,∴AP是平面 ABCD 的法向量,则③正确. → → → → 由于BD=AD-AB=(2,3,4),AP=(-1,2,-1), → → ∴BD与AP不平行,故④错误. 答案 ①②③ 三、解答题 9.(2016·北京房山一模)如图,四棱锥 P-ABCD 的底面为正方形, 侧棱 PA⊥底面 ABCD,且 PA=AD=2,E,F,H 分别是线段 PA,PD, AB 的中点. 求证:(1)PB∥平面 EFH; (2)PD⊥平面 AHF. 证明 建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz. ∴A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0, 0,2),E(0,0,1),F(0,1,1),H(1,0,0). → → (1)∵PB=(2,0,-2),EH=(1,0,-1), → → ∴PB=2EH,∴PB∥EH. ∵PB?平面 EFH,且 EH? 平面 EFH,∴PB∥平面 EFH. → → → (2)PD=(0,2,-2),AH=(1,0,0),AF=(0,1,1), 3 → → ∴PD·AF=0×0+2×1+(-2)×1=0, PD·AH=0×1+2×0+(-2)×0=0, ∴PD⊥AF,PD⊥AH,又∵AF∩AH=A,∴PD⊥平面 AHF. 10.(2016·日照调研)如图所示, 四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 1 的正 方形,PA⊥CD,PA=1,PD= 2,E 为 PD 上一点,PE=2ED. (1)求证:PA⊥平面 ABCD; (2)在侧棱 PC 上是否存在一点 F, 使得 BF∥平面 AEC?若存在, 指出 F 点的位置,并证明;若不存在,说明理由. (

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