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正弦函数y=sinx的图象 性质

1.3.1 正弦函数的图象和性质
一. 教学内容:
二. 教学目的
1、掌握用几何法绘制正弦函数 y ? sin x, x ? R 的图象的方法;掌握用五点法画正弦函数
的简图的方法及意义;
2、掌握正弦函数 y ? sin x, x ? R 的性质及应用; 3 、 掌 握 正 弦 型 函 数 y ? A s i n?( ?x ? ) ,?x 的R图 象 ( 特 别 是 用 五 点 法 画 函 数 y ? A s i n?( ?x ? ) ,?x 的图R 象)、性质及应用。
三. 教学重点、难点 重点:
1、用五点法画函数 y ? Asin(?x ? ?), x ? R 的简图; 2、函数 y ? Asin(?x ? ?), x ? R 的性质及应用; 3、函数 y ? sin x, x ? R 与 y ? Asin(?x ? ?), x ? R 的图象的关系。
难点:
1、正弦函数 y ? sin x, x ? R 的周期性和单调性的理解; 2、函数 y ? sin x, x ? R 与 y ? Asin(?x ? ?), x ? R 的图象的关系。
四. 知识分析
1、正弦函数图象的几何作法
采用弧度制, x、y 均为实数,步骤如下: (1)在 x 轴上任取一点 O1 ,以 Ol 为圆心作单位圆; (2)从这个圆与 x 轴交点 A 起把圆分成 12 等份;
?? (3)过圆上各点作 x 轴的垂线,可得对应于 0、 6 、 3 、 、 2? 的正弦线; (4)相应的再把 x 轴上从原点 O 开始,把这 0~ 2? 这段分成 12 等份;
(5)把角的正弦线平移,使正弦线的起点与 x 轴上对应的点重合; (6)用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来。

2、五点法作图

描点法在要求不太高的情况下,可用五点法作出, y ? sin x, x ?[0, 2?] 的图象上有五

(0, 0), ( ? ,1), (?, 0), (3? , ?1), (2?, 0)

点起决定作用,它们是

2

2

。描出这五点后,其图象的形状

基本上就确定了。 因此,在精确度要求不太高时,我们常常先描出这五个点,然后用平滑的曲线将它们连

接起来,就得到在相应区间内正弦函数的简图,这种方法叫做五点法。

注意:

(1)描点法所取的各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值,不易描出对应点的精确位 置,因此作出的图象不够精确。
(2)几何法作图较为精确,但画图时较繁。 (3)五点法是我们画三角函数图象的基本方法,要切实掌握好,与五点法作图有关的 问题曾出现在历届高考试题中。

(4)作图象时,函数自变量要用弧度制,这样自变量与函数值均为实数,因此在 x 轴、 y 轴上可以统一单位,作出的图象正规,便于应用。

( 5 ) 如 果 函 数 表 达 式 不 是 y ? sin x , 则 那 五 点 就 可 能 不 是

(0, 0), (? ,1), (?, 0), (3? , ?1),

2

2

(2?, 0)

如:用“五点法”作函数 y ? 1? sin x, x ?[0, 2?] 的简图,所用的五个关键点列表就是:

y ? sin(2x ? ?)

而用“五点法”作函数

3 的简图,开始的一段图象所用的五个关键点列

表就是:

x

??

6

2x ? ? 3

0

y

0

?

?

12

3

10

?

28

π

1

0

6

7?

5?

12

6

3?

2



-1

0

3、正弦曲线
4
下面是正弦函数 y ? sin x, x ? R 的图象的一部分:

2

-15

-10

-5

5

10

15

-2

4、正弦函数的值域

-4

从正弦线可以看出:正弦线的长度小于或等于单位圆半径的长度;

从正弦曲线也可以看出:正弦曲线分布在-6 y = 1 和 y=-1 之间,说明|sinx|≤1,即正

弦函数的值域是[-1 , 1 ]。

注意:这里所说的正弦函数的值域是[-l,-18 ],是指整个正弦曲线或一个周期内的正弦曲

线 。 如 果 定 义 域 不 为 全 体 实 数 , 那 么 正 弦 函 数 的 值 域 就 可 能 不 是 [ - 1,1 ]。 如

-10

y

?

sin

x,

x

?

???0,

? 2

? ??

,则值域就是[0,1],

因而在确定正弦函数的值域时,要特别注意其

定义域。

5、周期函数的定义
一般地,对于函数 y=f ( x ) ,如果存在一个不为零的常数 T ,使得当 x 取定义域内 的每一个值时, f(x+T)=f(x)都成立,那么就把函数 y = f(x)叫做周期函数,不为零的常数 T 叫做这个函数的周期。
注意:( 1)定义应对定义域中的每一个 x 值来说,只有个别的 x 值或只差个别的 x 值 满足 f(x+T)=f(x)或不满足都不能说 T 是 f(x)的周期。

sin( ? ? ?) ? sin ?

例如: 4 2

4

sin( ? ? ?) ? sin ?

但是 3 2

3

?

sin(x ? ?) ? sin x

?

就是说, 2 不能对 x 的定义域内的每一个值都有

2

, 因此 2 不是 sinx

的周期 。

(2)从等式 f(x+T)=f(x)来看,应强调的是与自变量 x 本身相加的常数才是周期,如

f[2(x ? T)]

T

f (2x + T) = f (2x) , T 不是 f(2x)的周期,而应写成 f(2 x + T)=

2 = f( 2x ) ,则 2

是 f ( 2x)的周期。

(3)对于周期函数来说,如果所有的周期中存在着一个最小的正数,就称它为最小正

周期,今后提到的三角函数的周期,如未特别指明,一般都是指它的最小正周期。

(4)并不是所有周期函数都存在最小正周期.例知,常数函数 f ( x ) = C ( C 为常数) ,

x ∈R ,当 x 为定义域内的任何值时,函数值都是 C ,即对于函数 f( x)的定义域内的每

一个值 x ,都有 f ( x + T ) = C ,因此 f (x)是周期函数,由于 T 可以是任意不为零的常

数,而正数集合中没有最小者,所以 f (x)没有最小正周期。

?1(x是有理数) 再如函数 D(x) ? ??0(x是无理数)
设 r 是任意一个有理数,那么当 x 是有理数时, x + r 也是有理数,当 x 为无理数 时, x + r 也是无理数,就是说 D ( x )与 D ( x + r )或者等于 1 或者等于 O ,因此在两种 情况下,都有 D ( x + r ) = D ( x ) ,所以 D ( x )是周期函数, r 是 D ( x )的周期,由于 r 可以是任一有理数,而正有理数集合中没有最小者,所以 D (x)没有最小正周期。
(5)“f ( x + T )=f ( x ) ”是定义域内的恒等式,即对定义域内的每一个值都成立, T 是非零常数,周期 T 是使函数值重复出现的自变量 x 的增加值。
(6)周期函数的周期不只一个,若 T 是周期,则 kT ( k∈N* )一定也是周期。 (7)在周期函数 y =f(x)中,T 是周期,若 x 是定义域内的一个值,则 x + kT 也 一定属于定义域,因此周期函数的定义域一定是无限集。

6、正弦函数的周期性
(1)从正弦线的变化规律可以看出,正弦函数是周期函数, 2k?(k ? Z且k ? 0) 是它
的周期,最小正周期是 2π 。 (2)正弦函数的周期也可由诱导公式 sin ( x + 2kπ )=sinx ( k∈Z)得到。

7、正弦函数的奇偶性
正弦函数 y = sinx ( x∈R )是奇函数。 (1)由诱导公式 sin(-x ) =-sinx 可知上述结论成立, (2)反映在图象上,正弦曲线关于原点 O 对称; (3)正弦曲线是中心对称图形,其所有的对称中心为( kπ , 0 )。正弦曲线也是轴对

x ? k? ? ? , x ? Z

称图形,其所有的对称轴方程为

2



注意:正弦曲线的对称轴一定是经过正弦曲线的最高点或最低点,此时正弦值为最大值

或最小值。

8、正弦函数的单调性

??

?

由正弦曲线可以看出:当 x 由 2 增大到 2 时,曲线逐渐上升,sinx 由-1 增大到 1;

?

3?

当 x 由 2 增大到 2 时,曲线逐渐下降,sinx 由 1 减小到-1。

由正弦函数的周期性知道:

正弦函数

y

?

sin

x

?
在每一个闭区间[

? 2

?

2k?,

? 2

?

2k?

](

k

?Z

)上都从-1



? ? 2k?, 3? ? 2k?

大到 1,是增函数;在每一个闭区间[ 2

2

]( k ?Z )上,都从 1 减小到

-1,是减函数。也就是说正弦函数

y

?

sin

x 的单调区间是:[

?

? 2

?

2k?,

? 2

?

2k?

]及

? ? 2k?, 3? ? 2k?

[2

2

]( k ?Z )

9、函数图象的左右平移变换

?

?

y ? sin(x ? ) y ? sin(x ? )

如在同一坐标系下,作出函数

3和

4 的简图,并指出它们

与 y ? sin x 图象之间的关系。

y ? sin(x ? ? )

解析:函数

3 的周期为 2? ,我们来作这个函数在长度为一个周期的闭区

间上的简图。

x?? ?Z

sin(x ? ? ) ? sin Z x ? Z ? ?

设 3 ,那么

3



3

? 、?、 3 ?、2?

? ? 、 ? 、 2? 、 7? 、 5?

当 Z 取 0、 2

2

时,x 取 3 6 3 6 3 。所对应的五点

y ? sin(x ? ? ) x ?[? ? , 5? ]

是函数

3,

3 3 图象上起关键作用的点。

列表:

x

??

?

2?

7?

5?

3

6

3

6

3

? x?

0

?

?

3?

2?

3

2

2

sin(x ? ? )

0

1

0

-1

0

3

? y ? sin(x ? )

类似地,对于函数

4 ,可列出下表:

x

?

3?

5? 7?

9?

4

4

4

4

4

x?? 4

0

?

2

?

3?

2?

2

sin(x ? ? )

0

1

0

-1

0

4

描点作图(如下)

y ? sin(x ? ? )

利用这类函数的周期性,可把所得到的简图向左、右扩展,得出

3 ,x ?R

y ? sin(x ? ? )



4 , x ?R 的简图(图略)。

由图可以看出,

y

?

sin(

x

?

? 3

)

的图象可以看作是把

y

?

sin

x

的图象上所有的点向左

平行移动

? 3

个单位而得到的,

y

?

sin( x

?

? 4

)

的图象可以看作是把

y

?

sin

x

的图象上所有

?

的点向右平行移动 4 个单位得到的。

注意:一般地,函数 y ? sin(x ? ?)(? ? 0) 的图象,可以看作是把 y ? sin x 的图象上

所有的点向左(当? ? 0 时)或向右(当? ? 0 时)平行移动 |?|个单位而得到的。
推广到一般有:

将函数 y ? f (x) 的图象沿 x 轴方向平移 |a|个单位后得到函数 y ? f (x ? a)(a ? 0) 的
图象。当 a>0 时向左平移,当 a<0 时向右平移。

10、函数图象的横向伸缩变换

如作函数

y

?

sin 2x



y

?

sin

1 2

x

的简图,并指出它们与

y

?

sin

x

图象间的关系。

解析:函数 y ? sin 2x 的周期 T

?

2? 2

??

,我们来作 x ?[0,? ] 时函数的简图。

? 、?、 3? 、2?

设 2x ? Z ,那么 sin2x ? sin Z ,当 Z 取 0、 2

2

时,所对应的五点是

函数

y

?

sin Z,Z

?[0,2? ]图象上起关键作用的五点,这里 x

?

Z 2

,所以当

x取

? 0、 4



? 2



3? 4

、?

时,所对应的五点是函数

y

?

sin 2x,x

?[0,?

] 的图象上起关键作用的五

点。

列表:

x

0

?

?

3?

?

4

2

4

2x

0

?

?

3?

2?

2

2

sin 2x

0

1

0

-1

0

y
函数

?

sin 1 x

T

2 的周期

?

2? 1 2

?

4?

,我们来作 x

?[0,4? ] 时函数的简图。

列表:

x

0

1x

0

2

sin 1 x

0

2

?

2?

3?

4?

?

?

3?

2?

2

2

1

0

-1

0

描点作图,如图:

利用这类函数的周期性,我们可以把上面的简图向左、右扩展,得出 y ? sin 2x ,x ?R

y ? sin 1 x



2 , x ?R 的简图(图略)。

x0 从上图可以看出,在函数 y ? sin 2x 的图象上横坐标为 2 ( x0 ? R )的点的纵坐标同

y

?

sin x 上横坐标为 x0 的点的纵坐标相同(例如,当 x0

?

? 2

sin(2 ?
时,

x0 2

)

?

sin ? 2

?1


? sin x0 ? sin 2 ? 1)。因此,y ? sin 2x 的图象可以看作是把 y ? sin x 的图象上所有点的横

1

坐标缩短到原来的 2 倍(纵坐标不变)而得到的。

类似地,

y

?

sin

1 2

x

的图象可以看作是把

y

?

sin

x

的图象上所有点的横坐标伸长到原

来的 2 倍(纵坐标不变)而得到的。

注意:一般地,函数 y ? sin?x(? ? 0且? ? 1) 的图象,可以看作是把 y ? sin x 的图

1

象上所有点的横坐标缩短(当? ? 1时)或伸长(当 0 ? ? ? 1时)到原来的 ? 倍(纵坐标
不变)而得到的。 推广到一般有:

函数 y ? f (?x)(? ? 0,? ? 1) 的图象,可以看作是把函数 y ? f (x) 的图象上的点的

1

横坐标缩短(当? ? 1)或伸长(当 0 ? ? ? 1)到原来的 ? 倍(纵坐标不变)而得到。

11、函数图象的纵向伸缩变换

如在同一坐标系中作出

y

?

2 s i nx



y

?

1 2

sin

x

的简图,并指出它们的图象与

y ? sin x 的关系。

解析:函数

y

?

2 sin

x



y

?

1 2

sin

x

的周期 T

?

2?

,我们先来作

x

?[0,2?

]

时函数

的简图。

列表:

x

0

?

?

3?

2?

2

2

sinx

0

1

0

-1

0

2sinx

0

2

1 sin x

0

1

2

2

0

-2

0

0

?1

0

2

描点作图,如图:

利用这类函数的周期性,我们可以把上图的简图向左、向右扩展,得到

y

?

2

sin

x,x

?

R



y

?

1 2

sin

x,x

?R

的简图(图略)。

从上图可以看出,对于同一个 x 值, y ? 2 sin x 的图象上点的纵坐标等于 y ? sin x 的
图象上点的纵坐标的两倍(横坐标不变),从而 y ? 2 sin x,x ? R 的值域为[-2,2],最
大值为 2,最小值为-2。

类似地,

y

?

1 2

sin

x

的图象,可以看作是把

y

?

sin

x

的图象上所有点的纵坐标缩短到

1

y ? 1 sin x,x ? R

?1,1

原来的 2 倍(横坐标不变)而得到的,从而 2

的值域是[ 2 2 ],最

1

?1

大值为 2 ,最小值为 2 。

注意:对于函数 y ? Asin x (A>0 且 A≠1)的图象,可以看作是把 y ? sin x 的图象
上所有点的纵坐标伸长(当 A>1 时)或缩短(当 0<A<1 时)到原来的 A 倍(横坐标不变)
而得到的, y ? A sin x,x ? R 的值域为[-A,A],最大值为 A,最小值为-A。
推广到一般有:

函数 y ? Af (x) (A>0 且 A≠1)的图象,可以看作是把函数 y ? f (x) 图象上的点的
纵坐标伸长(当 A>1)或缩短(当 0<A<1)到原来的 A 倍(横坐标不变)而得到。

12、函数 y ? Asin(?x ? ?) 的图象

作函数 y ? Asin(?x ? ?) 的图象主要有以下两种方法:
(1)用“五点法”作图
用“五点法”作 y ? Asin(?x ? ?) 的简图,主要是通过变量代换,设 z ? ?x ? ? ,由

?

3?

z 取 0, 2 , ? , 2 , 2? 来求出相应的 x,通过列表,计算得出五点坐标,描点后得出

图象。

(2)由函数 y ? sin x 的图象通过变换得到 y ? Asin(?x ? ?) 的图象,有两种主要途
径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”。 法一:先平移后伸缩

y ? s i nx ?向?左?(???0)或?向?右(????0)? y ? s i nx( ? ? )
平移 |? |个单位

横坐标变为原来的 1 倍
?????????? y ? sin(?x ? ?) 纵坐标不变

?纵?坐?标变?为原 ?来?的A?倍? y ? A sin(?x ? ?) 横坐标不变
法二:先伸缩后平移

横 坐 标 变 为 原 来1 倍的
y ? s i nx ?????????? 纵坐标不变

y ? s i n?x ?向?左?(???0)或?向?右(????0)? y ? s i n?(x ? ?)
平移|?? |个单位

?纵?坐?标变?为原 ?来?的A?倍? y ? A sin(?x ? ?) 横坐标不变

可以看出,前者平移 |?|个单位,后者平移

|? ?

|

个单位。原因在于相位变换和周期变换

都是针对变量 x 而言的。因此在用这样的变换法作图象时一定要注意平移的先后顺序,否则 必然会出现错误。

当函数 y ? Asin(?x ? ?) (A>0,? ? 0 , x ?[0, ? ?) )表示一个振动量时,A 就
表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离,通常把它叫做这个振动的振幅;往复振动一次

T ? 2?

f ?1? ?

所需要的时间 ? ,它叫做振动的周期;单位时间内往复振动的次数 T 2? ,它

叫做振动的频率;?x ? ? 叫做相位,? 叫做初相(即当 x=0 时的相位)。

【典型例题】
例 1. 作出函数 y ? 1? cos2 x 的图象
分析:首先将函数的解析式变形,化为最简形式,然后作出函数的图象。
解析: y ? 1? c o 2s x 化为 y ?|sin x| ?sin x(2k? ? x ? 2k? ? ? )
即 y ? ??? sin x(2k? ? ? ? x ? 2k? ? 2? ) (k ?Z)
其图象如图:

点评:画 y ?|sin x| 的图象可分为两步完成,第一步先画出 y ? sin x,x ?[0,? ] 和 y ? ? sin x , x ?(?,2? ) 的图象,第二步将得到的图象向左、右平移,即可得到完整的
曲线。

例 2. 求下列函数的周期

y ? sin 1 x

(1)

2

y ? 2 sin( x ? ? )

(2)

36

分析:该例的两个函数都是复合函数,我们可以通过变量替换将它们归结为基本三角函

数去处理。

m ? 1 x sin 1 x ? sin m

解析:(1)如果令 2 ,则 2

是周期函数,且周期为 2?

? s i n1( x ? 2? ) ? s i n1 x

2

2

sin[ 1 (x ? 4? )] ? sin 1 x

即2

2

? s i n1 x 2 的周期是 4?

?2 sin( x

?

?

?

2? )

?

2 sin(

x

?

? )

(2)

36

36

2 sin[1 (x ? 6? ) ? ? ] ? 2 sin( x ? ? )

即3

6

36

?2 s i nx( ? ? ) 3 6 的周期是 6? 。
点评:由上例我们可以看到函数周期的变换仅与自变量 x 的系数有关。一般地,函数
y ? Asin(?x ? ?) 或 y ? Acos(?x ? ?) (其中 A、 ?、? 为常数,A≠0,x∈R)的周期
T ? 2? |?| 。

例 3. 比较下列各组数的大小。

7

5

sin cos

(1)sin194°和 cos160°;(2) 4 和 3 ;

3?

3?

sin(sin ) sin(cos )

(3)

8和

8

分析:先化为同名函数,然后利用单调性来比较函数值的大小。

解析:(1) sin194? ? sin(180? ? 14? ) ? ? sin14?

cos160? ? cos(180? ? 20? ) ? ? cos20? ? ? sin 70?

?0? ? 14? ? 70? ? 90? ,?sin14? ? sin70?

从而 ? sin14? ? ? sin 70?

即 sin194? ? cos160?

?cos 5 ? sin(? ? 5)

(2)

3

23

? ? 7 ? ? ? 5 ? 3? 又2 4 2 3 2

y

?

s

i

nx

在[

? 2



3 2

?

]上是减函数

? s i n7 ? s i n?( ? 5) ? cos 5

4

23

3

sin 7 ? cos 5

即4

3

? cos 3?

?

? sin

(3)

8

8

?0 ? cos 3? ? sin 3? ? 1 ? ?

8

8

2

?

而 y ? sin x 在(0, 2 )内递增

?s i n ( c 3o?s) ? s i n ( s 3i?n)

8

8

点评:

(1)比较同名的三角函数值的大小,首先把三角函数转化为同一单调区间上的同名三

角函数,利用单调性,由自变量的大小确定函数值的大小。

(2)比较不同名的三角函数的大小时,应先化为同名三角函数,然后再进行比较。

例 4. 求下列函数的最大值和最小值

y ? 1 ? 1 sin x

(1)

2

?

y ? 3 ? 2 sin(2x ? )

(2)

3

??

?

y ? 2 sin(2x ? )(? ? x ? )

(3)

36

6

分析:可利用 sinx 与 cosx 的值域求解,求解过程中要注意自变量的取值范围。

?

??1 ? ?

1 2

sin

x

?

0

解析:(1) ???1 ? sin x ? 1

??1 ? s i nx ? 1

6 ?当 sin x ? ?1时, ymax ? 2

当 sin x ? 1时, ymin ?

2 2

? ?1 ? sin(2x ? 2) ? 1

(2)

3

?

sin(2 x ?当

?

) 3

? 1时, ymax

? 5;

?

sin(2x


?

) 3

?

?1
时,

ymin

? 1。

? ? ? ? x ? ? ?0 ? 2x ? ? ? 2?

(3) 6

6,

33

? 0 ? s i n2(x ? ? ) ? 1 3

?

sin(2 x ?当

?

) 3

? 1时, ymax

?

2;

?

sin(2x


?

) 3

?

0
时,

ymin

?

0。

点评:求三角函数的值域或最大值、最小值问题主要得利用 sinx 与 cosx 的有界性,以

及复合函数的有关性质。

例 5.

用两种方法将函数 y

? sin x 的图象变换为函数 y

?

sin(2x ? ? ) 3 的图象。

x ? 2x ? 2(x ? ? ) ? 2x ? ?

分析 1:

6

3

横坐标缩短到原来的 1

y ? sin x ????????2?

解法 1:

纵坐标不变

向左平移 ? 个单位
y ? sin 2x ????6 ???

y ? s i n2[(x ? ? )] ? sin(2x ? ? )

6

3

x ? x ? ? ? 2x ? ?

分析 2:

3

3

向左平移? 个单位
解法 2: y ? sin x ????3 ???

y

?

s

i

nx(

?

?

)

横 坐 标 缩 短 到 原 1来 的
? ? ? ? ? ? ??2 ?

3

纵坐标不变

y ? s i n2(x ? ? ) 3
点评:在解法 1 中,先伸缩,后平移;在解法 2 中,先平移,后伸缩,表面上看来,两

??

种变换方法中的平移是不同的(即 6 和 3 ),但由于平移时平移的对象已有所变化,所以得
到的结果是一致的。

?

y ? 2 sin(2x ? )

例 6. 用五点法作出函数

3 的图象,并指出函数的单调区间。

分析:按五点作图法的要求找出五个点来,然后作图。

解析:(1)列表

? 2x ?

?

3?

列表时

3 取值为 0、 2 、 ? 、 2 、 2? ,再求出相应的 x 值和 y 值。

x

??

?

?

7?

5?

6

12

3

12

6

2x ? ?

0

?

?

3?

2?

3

2

2

y

0

2

0

-2

0

(2)描点 (3)用平滑的曲线顺次连结各点所得图象如图所示:

利用这类函数的周期性,我们可以把上面所得到的简图向左、右扩展,得到

y ? 2 s i n (2x ? ? ) 3 , x ?R 的简图(图略)。

? , 7? 可见在一个周期内,函数在[ 12 12 ]上递减,又因函数的周期为 ? ,所以函数

?k? ? ? ,k? ? 7? ](k ?Z)

的递减区间为

12

12

。同理,增区间为

[k? ? 5 ?,k? ? ? ](k ?Z)

12

12



? 点评:五点法作图,要抓住要害,即抓住五个关键点,使函数式中的?x ? ? 取 0、 2 、

3? ? 、 2 、 2? ,然后求出相应的 x,y 值。
例 7. 如图是函数 y ? Asin(?x ? ?) 的图象,确定 A、? 、? 的值。

解析:显然 A=2

T ? 5? ? (? ? ) ? ?

6

6

?? ? 2? ? 2? ? 2 T?

? y ? 2 s i n2(x ? ?)

?

x??

解法 1:由图知当

6 时,y=0

2x ? ? ? 2 ? (? ? ) ? ? ? 0 ?? ? ?

故有

6



3

?

y ? 2 sin(2x ? )

?所求函数解析式为

3

?

解法 2:由图象可知将 y ? 2 sin 2x 的图象向左移 6

y ? 2 sin 2(x ? ? ) y ? 2 sin(2x ? ? )

即得

6 ,即

3

?? ? ? 3
点评:求函数 y ? Asin(?x ? ?) 的解析式难点在于确定初相? ,一般可利用图象变换
关系和特殊值法。

【模拟试题】

1、已知

f

(sin

x)

?

x

,且

x

?[0,

? 2

]
,则

f

(

1 2

)

的值等于

sin 1 A. 2

1 B. 2

?? C. 6

? D. 6

y ? sin x (a ? 0)

2、函数

a

的定义域为

A. R

B. [-1,1]

?1,1 C. [ 3 3 ]

D. [-3,3]

sin x ? 1

3、在[0, 2? ]上,满足

2 的 x 取值范围是

[0, ? ]

A.

6

? [



5?

]

B. 6 6

[? , 2? ] C. 6 3

[5? ,? ] D. 6

4、如图所示,函数

y

?

cos x|tan x| ( 0

?

x

?

3? 2



x

?

? 2

)的图象是

5、若

x

?[

? 6

,

?] 3

,则函数

f

(x)

?

2

cos2

x

?

sin

x

?1

的值域是

A. ??1,2?

B. ??2,0?

C.

? ??

1 2

(

3

?1),

9 8

? ??

D.

? ??

1 2

(

3 ?1),1???

6、已知函数 y

?

Asin(?x ? ?) 在同一周期内,当 x

?

? 12 时, y最大

?

2 ,当 x

?

7? 12

时,

y最小 ? ?2 ,那么函数的解析式为( )

y ? 2 sin(2x ? ? )

A.

3

y ? 2 sin(2x ? ? )

B.

6

y ? 2 sin(2x ? ? )

C.

6

7、下列命题正确的是

y ? 2 sin(2x ? ? )

D.

3

?

A. y ? sin x 的图象向右平移 2 得 y ? ?cos x 的图象

?

B. y ? sin x 的图象向右平移 2 得 y ? cos x 的图象

C. 当? ? 0 时, y ? sin x 向左平移 |?|个单位可得 y ? sin(x ? ?) 的图象

D.

y

?

sin(2x

?

? 3

)

的图象由

y

?

sin

2x

的图象向左平移

? 3

个单位得到

8、函数

y

?

3

sin(2x

?

? 3

)

的图象,可由函数

y

?

sin

x

的图象经过下述_________变换而

得到

?

1

A. 向右平移 3 个单位,横坐标缩小到原来的 2 ,纵坐标扩大到原来的 3 倍

?

1

B. 向左平移 3 个单位,横坐标缩小到原来的 2 ,纵坐标扩大到原来的 3 倍

?

1

C. 向右平移 6 个单位,横坐标扩大到原来的 2 倍,纵坐标缩小到原来的 3

?

1

1

D. 向左平移 6 个单位,横坐标缩小到原来的 2 ,纵坐标缩小到原来的 3

sin x ? 2m ? 1

9、若

3m ? 2 ,且 x ?R ,则 m 的取值范围是___________

y ? 3 sin( 1 x ? ? )

10、函数

2 4 的最小正周期是_________

振幅是_________,当 x ? _________时, ymax ? __________

当 x ? ___________时, ymin ? __________

y ? sin(2x ? 5? )

11、函数

2 的图象的对称轴方程为____________

12、若函数

y

?

a

?

b sin

x

的最大值为

3 2

,最小值为

?

1 2

,求函数

y

?

?4a

sin

bx

的最值

和最小正周期。

y ? sin(4x ? ?)

13、求函数

6 的振幅、周期、相位和单调区间。

14、如图为某三角函数图象的一段:

(1)用正弦函数写出其解析式;(2)求与这个函数关于直线 x ? 2? 对称的函数解析式。

y 3

0? 3

13? 3
x

-3

【试题答案】
1~8:DABCDAAB

m ? ?3, 或m ? ? 1

9、

5

4?, 3, 4k? ? 3? (k ? Z), 3, 4k? ? ? (k ? Z), ? 3

10、

2

2

x ? k? (k ? Z) 11、 2

? ??

a? |

b

|?

3 2

? 12、由题意,得:???a ?

|

b

|?

?

1 2

,解得

a

?

1 2

,|

b

|?

1
,所以

y

?

?4a

sin

bx

的最大值是

2,

最小值是-2,最小正周期 T=2π

?

4x ? ?

[ k? ? ? , k? ? ? ](k ? Z)

13、振幅是 1,周期是 2 ,相位是 6 ,单调增区间是 2 6 2 12

,单

[ k? ? ? , k? ? ?](k ? Z) 调减区间是 2 12 2 3

y ? 3sin(1 x ? ?)

y ? ?3sin(1 x ? ?)

14、(1)

2 6 (2)

26


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