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正弦函数y=sinx的图象 性质


1.3.1 正弦函数的图象和性质 一. 教学内容: 二. 教学目的 1、掌握用几何法绘制正弦函数 y ? sin x, x ? R 的图象的方法;掌握用五点法画正弦函数 的简图的方法及意义; 2、掌握正弦函数 y ? sin x, x ? R 的性质及应用;

? x x 3 、 掌 握 正 弦 型 函 数 y ? A s i n ( ? ? ) , ? 的R 象 ( 特 别 是 用 五 点 法 画 函 数 图 y ? A s i n ( ? ? ) , ? 的图象) ? x x R 、性质及应用。
三. 教学重点、难点 重点: 1、用五点法画函数 y ? Asin(?x ? ?), x ? R 的简图; 2、函数 y ? Asin(?x ? ?), x ? R 的性质及应用; 3、函数 y ? sin x, x ? R 与 y ? Asin(?x ? ?), x ? R 的图象的关系。 难点: 1、正弦函数 y ? sin x, x ? R 的周期性和单调性的理解; 2、函数 y ? sin x, x ? R 与 y ? Asin(?x ? ?), x ? R 的图象的关系。 四. 知识分析

1、正弦函数图象的几何作法
采用弧度制, x、y 均为实数,步骤如下: (1)在 x 轴上任取一点 O1 ,以 Ol 为圆心作单位圆; (2)从这个圆与 x 轴交点 A 起把圆分成 12 等份;

? ? (3)过圆上各点作 x 轴的垂线,可得对应于 0、 6 、 3 、 ? 、 2? 的正弦线; (4)相应的再把 x 轴上从原点 O 开始,把这 0~ 2? 这段分成 12 等份;
(5)把角的正弦线平移,使正弦线的起点与 x 轴上对应的点重合; (6)用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来。

2、五点法作图
描点法在要求不太高的情况下,可用五点法作出, y ? sin x, x ?[0, 2?] 的图象上有五

? 3? (0, 0), ( ,1), (?, 0), ( , ?1), (2?, 0) 2 2 点起决定作用,它们是 。描出这五点后,其图象的形状

基本上就确定了。 因此,在精确度要求不太高时,我们常常先描出这五个点,然后用平滑的曲线将它们连 接起来,就得到在相应区间内正弦函数的简图,这种方法叫做五点法。 注意: (1)描点法所取的各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值,不易描出对应点的精确位 置,因此作出的图象不够精确。 (2)几何法作图较为精确,但画图时较繁。 (3)五点法是我们画三角函数图象的基本方法,要切实掌握好,与五点法作图有关的 问题曾出现在历届高考试题中。 (4) 作图象时, 函数自变量要用弧度制, 这样自变量与函数值均为实数, 因此在 x 轴、 y 轴上可以统一单位,作出的图象正规,便于应用。 ( 5 ) 如 果 函 数 表 达 式 不 是 y ? sin x , 则 那 五 点 就 可 能 不 是

? 3? (0, 0), ( ,1), (?, 0), ( , ?1), 2 2 (2?, 0)
如:用“五点法”作函数 y ? 1 ? sin x, x ?[0, 2?] 的简图,所用的五个关键点列表就是:

? y ? sin(2x ? ) 3 的简图,开始的一段图象所用的五个关键点列 而用“五点法”作函数
表就是: x

?

? 6

? 2x ? 3
y

0 0

? 12 ? 2
1

10

? 3
π 0

8

7? 12 3? 2
-1

5? 6
2π 0

6

3、正弦曲线
下面是正弦函数 y ? sin x, x ? R 的图象的一部分:
2 4

-15

-10

-5

5

10

15

-2

4、正弦函数的值域

-4

从正弦线可以看出:正弦线的长度小于或等于单位圆半径的长度; 从正弦曲线也可以看出:正弦曲线分布在 y = 1 和 y=-1 之间,说明|sinx|≤1,即正 弦函数的值域是[-1 , 1 ] 。 注意:这里所说的正弦函数的值域是[-l,1],是指整个正弦曲线或一个周期内的正弦曲 线 。 如 果 定 义 域 不 为 全 体 实 数 , 那 么 正 弦 函 数 的 值 域 就 可 能 不 是 [ - 1,1 ] 如 。
-6 -8

? ?? y ? sin x, x ? ?0, ? ? 2 ? ,则值域就是[0,1], 因而在确定正弦函数的值域时,要特别注意其

-10

定义域。

5、周期函数的定义
一般地,对于函数 y=f ( x ) ,如果存在一个不为零的常数 T ,使得当 x 取定义域内 的每一个值时, f(x+T)=f(x)都成立,那么就把函数 y = f(x)叫做周期函数,不为零的常数 T 叫做这个函数的周期。 注意:( 1)定义应对定义域中的每一个 x 值来说,只有个别的 x 值或只差个别的 x 值 满足 f(x+T)=f(x)或不满足都不能说 T 是 f(x)的周期。

? ? ? sin( ? ) ? sin 4 2 4 例如: ? ? ? sin( ? ) ? sin 3 2 3 但是 ? ? ? sin(x ? ) ? sin x 2 就是说, 2 不能对 x 的定义域内的每一个值都有 , 因此 2 不是 sinx
的周期 。 (2)从等式 f(x+T)=f(x)来看,应强调的是与自变量 x 本身相加的常数才是周期,如

T T f[2(x ? )] 2 = f( 2x ) ,则 2 f (2x + T) = f (2x) , T 不是 f(2x)的周期,而应写成 f(2 x + T)=
是 f ( 2x)的周期。 (3)对于周期函数来说,如果所有的周期中存在着一个最小的正数,就称它为最小正 周期,今后提到的三角函数的周期,如未特别指明,一般都是指它的最小正周期。 (4)并不是所有周期函数都存在最小正周期.例知,常数函数 f ( x ) = C ( C 为常数) , x ∈R ,当 x 为定义域内的任何值时,函数值都是 C ,即对于函数 f( x)的定义域内的每 一个值 x ,都有 f ( x + T ) = C ,因此 f (x)是周期函数,由于 T 可以是任意不为零的常 数,而正数集合中没有最小者,所以 f (x)没有最小正周期。

?1( x是有理数 ) D( x) ? ? ?0( x是无理数 ) 再如函数
设 r 是任意一个有理数,那么当 x 是有理数时, x + r 也是有理数,当 x 为无理数 时, x + r 也是无理数,就是说 D ( x )与 D ( x + r )或者等于 1 或者等于 O ,因此在两种 情况下,都有 D ( x + r ) = D ( x ) ,所以 D ( x )是周期函数, r 是 D ( x )的周期,由于 r 可以是任一有理数,而正有理数集合中没有最小者,所以 D (x)没有最小正周期。 (5) ( x + T )=f ( x ) ”是定义域内的恒等式,即对定义域内的每一个值都成立, T “f 是非零常数,周期 T 是使函数值重复出现的自变量 x 的增加值。 (6)周期函数的周期不只一个,若 T 是周期,则 kT ( k∈N* )一定也是周期。 (7)在周期函数 y =f(x)中,T 是周期,若 x 是定义域内的一个值,则 x + kT 也 一定属于定义域,因此周期函数的定义域一定是无限集。

6、正弦函数的周期性
(1)从正弦线的变化规律可以看出,正弦函数是周期函数, 2k?(k ? Z且k ? 0) 是它 的周期,最小正周期是 2π 。 (2)正弦函数的周期也可由诱导公式 sin ( x + 2kπ )=sinx ( k∈Z)得到。

7、正弦函数的奇偶性
正弦函数 y = sinx ( x∈R )是奇函数。 (1)由诱导公式 sin(-x ) =-sinx 可知上述结论成立, (2)反映在图象上,正弦曲线关于原点 O 对称; (3)正弦曲线是中心对称图形,其所有的对称中心为( kπ , 0 ) 。正弦曲线也是轴对

称图形,其所有的对称轴方程为 注意: 正弦曲线的对称轴一定是经过正弦曲线的最高点或最低点, 此时正弦值为最大值 或最小值。

x ? k? ?

? ,x?Z 2 。

8、正弦函数的单调性

? 由正弦曲线可以看出:当 x 由 2 增大到 2 时,曲线逐渐上升,sinx 由-1 增大到 1; ? 3 ? 当 x 由 2 增大到 2 时,曲线逐渐下降,sinx 由 1 减小到-1。
?
由正弦函数的周期性知道:

?

? ? 2 k?, ? 2 k? 2 正弦函数 y ? sin x 在每一个闭区间[ 2 ] k ? Z )上都从-1 增 ( ? 3? ? 2 k?, ? 2 k? 2 大到 1,是增函数;在每一个闭区间[ 2 ] k ? Z )上,都从 1 减小到 (
-1,是减函数。也就是说正弦函数 y ? sin x 的单调区间是: [

?

?

?

?
2

? 2 k?,

?
2

? 2 k?

]及

?
[2

? 2 k?,

3? ? 2 k? 2 ] k ?Z ) (

9、函数图象的左右平移变换
如在同一坐标系下,作出函数 与 y ? sin x 图象之间的关系。 解析:函数 间上的简图。 设

y ? sin( x ?

?

3 和

)

y ? sin( x ?

?

) 4 的简图,并指出它们

y ? sin( x ?

?

) 3 的周期为 2? ,我们来作这个函数在长度为一个周期的闭区

3 ? 3 ? ? 2? 7? 5? 、?、 ?、 2? ? 、 、 、 、 2 6 3 6 3 。所对应的五点 当 Z 取 0、 2 时,x 取 3 ? ? 5? y ? sin( x ? ) x ?[ ? , ] 3 , 3 3 图象上起关键作用的点。 是函数
,那么 , 列表:

x?

?
3

?Z

sin( x ?

?
3

) ? sin Z

x?Z?

?

x

?

?
3 0
0

?

x?

?
3

?

6

?

2? 3

sin( x ?

?
3

2 )
1 0

7? 6 3? 2 -1

5? 3 2?
0

类似地,对于函数

y ? sin( x ?

?

) 4 ,可列出下表:

x

? ?
4 4
0

x?

?

3? 4
?

5? 4

sin( x ?

?
4

2 )
0 1 0

7? 4 3? 2
-1

9? 4 2?
0

描点作图(如下)

利用这类函数的周期性, 可把所得到的简图向左、 右扩展, 得出 及

y ? sin( x ?

?

) 3 ,x ?R

y ? sin( x ?

?

) 4 , x ?R 的简图(图略) 。

由图可以看出,

y ? sin( x ?

?

) 3 的图象可以看作是把 y ? sin x 的图象上所有的点向左

? ? y ? sin( x ? ) 4 的图象可以看作是把 y ? sin x 的图象上所有 平行移动 3 个单位而得到的, ? 的点向右平行移动 4 个单位得到的。 注意:一般地,函数 y ? sin( x ? ? )(? ? 0) 的图象,可以看作是把 y ? sin x 的图象上
所有的点向左(当 ? ? 0 时)或向右(当 ? ? 0 时)平行移动 |? | 个单位而得到的。 推广到一般有: 将函数 y ? f ( x) 的图象沿 x 轴方向平移 | a| 个单位后得到函数 y ? f ( x ? a)(a ? 0) 的 图象。当 a>0 时向左平移,当 a<0 时向右平移。

10、函数图象的横向伸缩变换 1 y ? sin x 2 的简图,并指出它们与 y ? sin x 图象间的关系。 如作函数 y ? sin 2 x 及

2? ?? 2 ,我们来作 x ?[0,? ] 时函数的简图。 ? 3? 、?、 、 2? 2 设 2x ? Z ,那么 sin 2x ? sin Z ,当 Z 取 0、 2 时,所对应的五点是 Z ? x? y ? sin Z,Z ?[0,2? ] 图象上起关键作用的五点,这里 2 ,所以当 x 取 0、 4 、 函数 ? 3? 、 、? 2 4 时,所对应的五点是函数 y ? sin 2 x,x ?[0,? ] 的图象上起关键作用的五
解析:函数 y ? sin 2 x 的周期

T?

点。 列表:

x 2x
sin 2x

0 0 0

? ?
4 2
1
?

?
2

0

3? ? 4 3? 2? 2 -1 0

1 y ? sin x 2 的周期 函数
列表:

T?

2? ? 4? 1 2 ,我们来作 x ?[0,4? ] 时函数的简图。
?

x 1 x 2 1 sin x 2
描点作图,如图:

0 0 0

?
2
1

2? ?

3? 3? 2

4? 2?

0

-1

0

利用这类函数的周期性, 我们可以把上面的简图向左、 右扩展, 得出 y ? sin 2 x ,x ?R

1 y ? sin x 2 , x ?R 的简图(图略) 及 。 x0 从上图可以看出,在函数 y ? sin 2 x 的图象上横坐标为 2 ( x 0 ? R )的点的纵坐标同 x ? ? x ? sin(2 ? 0 ) ? sin ? 1 y ? sin x 上横坐标为 x0 的点的纵坐标相同(例如,当 0 2 时, 2 2 ,

sin x 0 ? sin

?
2

?1

) 。因此, y ? sin 2 x 的图象可以看作是把 y ? sin x 的图象上所有点的横

1 坐标缩短到原来的 2 倍(纵坐标不变)而得到的。 1 y ? sin x 2 的图象可以看作是把 y ? sin x 的图象上所有点的横坐标伸长到原 类似地,
来的 2 倍(纵坐标不变)而得到的。 注意:一般地,函数 y ? sin ?x(? ? 0且? ? 1) 的图象,可以看作是把 y ? sin x 的图

1
象上所有点的横坐标缩短(当 ? ? 1 时)或伸长(当 0 ? ? ? 1 时)到原来的 ? 倍(纵坐标 不变)而得到的。 推广到一般有: 函数 y ? f (?x)(? ? 0,? ? 1) 的图象, 可以看作是把函数 y ? f ( x) 的图象上的点的

1
横坐标缩短(当 ? ? 1 )或伸长(当 0 ? ? ? 1 )到原来的 ? 倍(纵坐标不变)而得到。

11、函数图象的纵向伸缩变换
如 在 同 一 坐 标 系 中 作 出 y ? 2 si nx 及

y?

1 sin x 2 的简图,并指出它们的图象与

y ? sin x 的关系。
解析:函数 y ? 2 sin x 及 的简图。 列表:

y?

1 sin x 2 的周期 T ? 2? ,我们先来作 x ?[0,2? ] 时函数
?
2
1 2

x sinx 2sinx 1 sin x 2
描点作图,如图:

0 0 0 0

?

0 0 0

1 2

3? 2 -1 -2 1 ? 2

2?

0 0 0

利用这类函数的周期性,我们可以把上图的简图向左、向右扩展,得到

y ? 2sin x,x ? R 及

y?

1 sin x,x ? R 2 的简图(图略) 。

从上图可以看出,对于同一个 x 值, y ? 2 sin x 的图象上点的纵坐标等于 y ? sin x 的 图象上点的纵坐标的两倍(横坐标不变) ,从而 y ? 2sin x,x ? R 的值域为[-2,2] ,最 大值为 2,最小值为-2。

1 sin x 2 类似地, 的图象,可以看作是把 y ? sin x 的图象上所有点的纵坐标缩短到 1 1 1 1 y ? sin x,x ? R ? , 2 2] 原来的 2 倍(横坐标不变)而得到的,从而 的值域是[ 2 ,最 1 1 ? 大值为 2 ,最小值为 2 。 注意:对于函数 y ? A sin x (A>0 且 A≠1)的图象,可以看作是把 y ? sin x 的图象 y?
上所有点的纵坐标伸长(当 A>1 时)或缩短(当 0<A<1 时)到原来的 A 倍(横坐标不变) 而得到的, y ? A sin x,x ? R 的值域为[-A,A] ,最大值为 A,最小值为-A。 推广到一般有: 函数 y ? Af ( x ) (A>0 且 A≠1)的图象,可以看作是把函数 y ? f ( x) 图象上的点的 纵坐标伸长(当 A>1)或缩短(当 0<A<1)到原来的 A 倍(横坐标不变)而得到。

12、函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的图象 作函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的图象主要有以下两种方法:
(1)用“五点法”作图 用“五点法”作 y ? A sin(?x ? ? ) 的简图,主要是通过变量代换,设 z ? ?x ? ? ,由

? 3 ? z 取 0, 2 , ? , 2 , 2? 来求出相应的 x,通过列表,计算得出五点坐标,描点后得出
图象。 (2)由函数 y ? sin x 的图象通过变换得到 y ? A sin(?x ? ? ) 的图象,有两种主要途 径: “先平移后伸缩”与“先伸缩后平移” 。 法一:先平移后伸缩

y ? s i n ?向左(? ?0) 或向右(? ?0)? y ? s i nx ? ? ) x ?????? ? (
平移|? |个单位

?? ? ?????? ? y ? sin(?x ? ? )
纵坐标不变

1 横坐标变为原来的 倍

???????? y ? A sin(?x ? ? ) ?
纵坐标变为原来的A倍 横坐标不变

法二:先伸缩后平移
?? y ? s i n ? ?????? ? x
纵坐标不变 1 横坐标变为原来的 倍

y ? s i n x ? ?????? ? y ? s i n?x ? ? ) ? ? (
平移|? |个单位

向左 (? ?0) 或向右 (? ?0)

?

?纵坐标变为原来的A倍? y ? A sin(?x ? ? ) ?????? ?
横坐标不变

? | 可以看出,前者平移 |? | 个单位,后者平移 ? 个单位。原因在于相位变换和周期变换
|
都是针对变量 x 而言的。 因此在用这样的变换法作图象时一定要注意平移的先后顺序, 否则 必然会出现错误。

当函数 y ? A sin(?x ? ? ) (A>0, ? ? 0 , x ?[0, ? ?) )表示一个振动量时,A 就 表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离, 通常把它叫做这个振动的振幅; 往复振动一次

? ,它叫做振动的周期;单位时间内往复振动的次数 叫做振动的频率; ?x ? ? 叫做相位, ? 叫做初相(即当 x=0 时的相位) 。
所需要的时间

T?

2?

f ?

1 ? ? T 2? ,它

【典型例题】
例 1. 作出函数 y ? 1 ? cos x 的图象 分析:首先将函数的解析式变形,化为最简形式,然后作出函数的图象。
2 2 解析: y ? 1 ? cos x 化为 y ?|sin x|

?sin x(2k? ? x ? 2k? ? ? ) y?? ?? sin x(2k? ? ? ? x ? 2k? ? 2? ) ( k ? Z ) 即
其图象如图:

点评:画 y ?|sin x| 的图象可分为两步完成,第一步先画出 y ? sin x,x ?[0,? ] 和

y ? ? sin x , x ?(?,2? ) 的图象,第二步将得到的图象向左、右平移,即可得到完整的
曲线。 例 2. 求下列函数的周期

1 y ? sin x 2 (1)

x ? y ? 2 sin( ? ) 3 6 (2)

分析: 该例的两个函数都是复合函数, 我们可以通过变量替换将它们归结为基本三角函 数去处理。

1 1 x sin x ? sin m 2 ,则 2 解析: (1)如果令 是周期函数,且周期为 2? 1 1 ? s i n ( x ? 2? ) ? s i n x 2 2 1 1 sin[ ( x ? 4? )] ? sin x 2 2 即 1 ?s i n x 2 的周期是 4? x ? x ? ? 2 sin( ? ? 2? ) ? 2 sin( ? ) 3 6 3 6 (2) 1 ? x ? 2 sin[ ( x ? 6? ) ? ] ? 2 sin( ? ) 3 6 3 6 即 m?

x ? ?2s i n ( ? ) 3 6 的周期是 6? 。
点评:由上例我们可以看到函数周期的变换仅与自变量 x 的系数有关。一般地,函数

y ? A sin(?x ? ? ) 或 y ? A cos(?x ? ? ) (其中 A、 ?、? 为常数,A≠0,x∈R)的周期 2? T? |? | 。
例 3. 比较下列各组数的大小。 (1)sin194°和 cos160°; (2)

sin

7 5 cos 4和 3;

(3) 分析:先化为同名函数,然后利用单调性来比较函数值的大小。 解析: (1) sin 194 ? sin(180 ? 14 ) ? ? sin 14
? ? ? ?

sin(sin

3? 3? ) sin(cos ) 8 和 8

c o 160? ? c o s180? ? 20? ) ? ? c o s ? ? ? s i n ? s ( 20 70 ? ? ? ? ? ? ? 0 ? 14 ? 70 ? 90 ,? sin 14 ? sin 70 ? ? 从而 ? sin 14 ? ? sin 70 ? ? 即 sin 194 ? cos160 5 ? 5 ? cos ? sin( ? ) 3 2 3 (2) ? 7 ? 5 3 ? ? ? ? ? 又2 4 2 3 2 ? 3 , ? y ? s i n 在[ 2 x 2 ]上是减函数 7 ? 5 5 ?s i n ? s i n ( ? ) ? c o s 4 2 3 3 7 5 sin ? cos 4 3 即 3? ? ? cos ? sin 8 8 (3) 3? 3? ? ? 0 ? cos ? sin ?1? 8 8 2 ? 而 y ? sin x 在(0, 2 )内递增 3? 3? ? s i n ( c o s) ? s i n ( s i n) 8 8
点评: (1)比较同名的三角函数值的大小,首先把三角函数转化为同一单调区间上的同名三 角函数,利用单调性,由自变量的大小确定函数值的大小。 (2)比较不同名的三角函数的大小时,应先化为同名三角函数,然后再进行比较。 例 4. 求下列函数的最大值和最小值

1 y ? 1 ? sin x 2 (1)
(2)

y ? 3 ? 2 sin( 2 x ? y ? 2 sin(2 x ?

?
3

)

?

3 6 6 (3) 分析:可利用 sinx 与 cosx 的值域求解,求解过程中要注意自变量的取值范围。

)( ?

?

?x?

?

)

? 1 ?1 ? sin x ? 0 ?? 2 ? 解析: (1) ??1 ? sin x ? 1
? ?1 ? sin x ? 1

?当 sin x ? ?1 时,
当 sin x ? 1 时,

y max ?

6 2

y min ?

2 2

2 ? ?1 ? sin(2 x ? ) ? 1 3 (2)

?当


sin( 2 x ?

?
3

) ?1

时, y max ? 5 ;

sin(2 x ?

?
3

) ? ?1

时, y min ? 1 。

(3)

??

?
6

?x?

?

6,

? 0 ? 2x ?

?
3

?

2? 3

? 0 ? sin( 2 x ?

?
3

) ?1
时, y max ? 2 ;

?当

sin( 2 x ?

?
3

) ?1

3 当 时, y min ? 0 。 点评:求三角函数的值域或最大值、最小值问题主要得利用 sinx 与 cosx 的有界性,以 及复合函数的有关性质。
例 5. 用两种方法将函数 y ? sin x 的图象变换为函数 分析 1: 解法 1:

sin( 2 x ?

?

)?0

y ? sin( 2 x ?

?

) 3 的图象。

x ? 2 x ? 2( x ?

?
6

) ? 2x ?
1

?
3

2 y ? sin x ? ??????? ? 纵坐标不变

横坐标缩短到原来的

y ?sinx 2

向左平移 个单位 6 ???????

?

y ? s i n2 x ? [(

?
6

)] ? sin(2 x ?

?
3

)

分析 2:

x? x?

?
3

? 2x ?
?

?
3

3 解法 2: y ? sin x ???????

向左平移 个单位

y ? s i nx ? (

?

3 ? y ? s i n2 x ? ) ( 3

2 ) ? ??????? ? 纵坐标不变

横坐标缩短到原来的

1

点评:在解法 1 中,先伸缩,后平移;在解法 2 中,先平移,后伸缩,表面上看来,两

? ? 种变换方法中的平移是不同的(即 6 和 3 ) ,但由于平移时平移的对象已有所变化,所以得
到的结果是一致的。

3 的图象,并指出函数的单调区间。 例 6. 用五点法作出函数 分析:按五点作图法的要求找出五个点来,然后作图。 解析: (1)列表
列表时

y ? 2 sin( 2 x ?

?

)

2x ?

? ? 3? 3 取值为 0、 2 、 ? 、 2 、 2? ,再求出相应的 x 值和 y 值。
x

?

?
6
0 0

?
12

?
?

2x ?
y

?
3

?

3

2
2 0

7? 12 3? 2
-2

5? 6 2?
0

(2)描点 (3)用平滑的曲线顺次连结各点所得图象如图所示:

利用这类函数的周期性,我们可以把上面所得到的简图向左、右扩展,得到

) 3 , x ?R 的简图(图略) 。 ? 7 , ? 12 ]上递减,又因函数的周期为 ? ,所以函数 可见在一个周期内,函数在[ 12 ? 7? ? k? ? ,k? ? ]( k ? Z ) 12 12 的 递 减 区 间 为 。 同 理 , 增 区 间 为 5 ? [ k? ? ?,k? ? ]( k ? Z ) 12 12 。

y ? 2 sin( 2 x ?

?

? 点评:五点法作图,要抓住要害,即抓住五个关键点,使函数式中的 ?x ? ? 取 0、 2 、

3? ? 、 2 、 2? ,然后求出相应的 x,y 值。
例 7. 如图是函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的图象,确定 A、 ? 、 ? 的值。

解析:显然 A=2

5 ? ? ? (? ) ? ? 6 6 2? 2? ?? ? ? ?2 T ? ? y ? 2 s i n2 x ? ? ) ( T?
解法 1:由图知当

x??

?
6 时,y=0

2 x ? ? ? 2 ? (? ) ? ? ? 0 ? ? ? 6 3 故有 ,

?

?

?所求函数解析式为

y ? 2 sin( 2 x ?

?
3

)

?
解法 2:由图象可知将 y ? 2 sin 2 x 的图象向左移 6 即得

y ? 2 sin 2( x ?

?

6 ,即

)

y ? 2 sin( 2 x ?

?
3

)

?? ?

?
3

点评:求函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的解析式难点在于确定初相 ? ,一般可利用图象变换 关系和特殊值法。

【模拟试题】

? 1 x ?[0, ] f( ) 2 ,则 2 的值等于 1、已知 f (sin x ) ? x ,且 1 1 ? ? sin ? 2 6 A. B. 2 C. D. 6 x y ? sin (a ? 0) a 2、函数 的定义域为
A. R B. [-1,1] D. [-3,3]

1 1 ? , 3] C. [ 3

1 2 的 x 取值范围是 3、在[0, 2? ]上,满足 ? ? 5? [ 0, ] [ , ] 6 6 A. B. 6 ? 2? 5? [ , ] [ ,? ] 3 C. 6 D. 6 3? ? 0? x? x? y ? cos x|tan x| ( 2 且 2 )的图象是 4、如图所示,函数 sin x ?

? ? x ?[ , ] 2 6 3 ,则函数 f (x) ? 2cos x ? sin x ?1 的值域是 5、若
A.

??1, 2?

B.

??2,0?

?1 ? ? 2 ( 3 ? 1),1? ? D. ? ? 7? x? x? 12 时, y 最大 ? 2 ,当 12 时, 6、已知函数 y ? A sin(?x ? ? ) 在同一周期内,当 y 最小 ? ?2 ,那么函数的解析式为( )
y ? 2 sin( 2 x ?
A.

9? ?1 ? 2 ( 3 ? 1), 8 ? ? C. ?

?
3

)
B.

y ? 2 sin( 2 x ? y ? 2 sin( 2 x ?
D.

?
6

) )

6 C. 7、下列命题正确的是

y ? 2 sin( 2 x ?

?

)

?
3

? A. y ? sin x 的图象向右平移 2 得 y ? ? cos x 的图象 ? y ? sin x 的图象向右平移 2 得 y ? cos x 的图象 B. C. 当 ? ? 0 时, y ? sin x 向左平移 |? | 个单位可得 y ? sin( x ? ? ) 的图象
y ? sin( 2 x ?
D.

?

3 的图象由 y ? sin 2 x 的图象向左平移 3 个单位得到

)

?

y ? 3 sin( 2 x ?
8、函数 得到

?

) 3 的图象,可由函数 y ? sin x 的图象经过下述_________变换而

? 1 A. 向右平移 3 个单位,横坐标缩小到原来的 2 ,纵坐标扩大到原来的 3 倍 ? 1 B. 向左平移 3 个单位,横坐标缩小到原来的 2 ,纵坐标扩大到原来的 3 倍 ? 1 C. 向右平移 6 个单位,横坐标扩大到原来的 2 倍,纵坐标缩小到原来的 3 ? 1 1 D. 向左平移 6 个单位,横坐标缩小到原来的 2 ,纵坐标缩小到原来的 3 2m ? 1 sin x ? 3m ? 2 ,且 x ?R ,则 m 的取值范围是___________ 9、若 1 ? y ? 3 sin( x ? ) 2 4 的最小正周期是_________ 10、函数
振幅是_________,当 x ? _________时, y max ? __________ 当 x ? ___________时, y min ? __________

5? ) 2 的图象的对称轴方程为____________ 11、函数 3 1 ? 12、若函数 y ? a ? bsin x 的最大值为 2 ,最小值为 2 ,求函数 y ? ?4a sin bx 的最值 y ? sin(2 x ?
和最小正周期。

? y ? sin(4x ? ) 6 的振幅、周期、相位和单调区间。 13、求函数
14、如图为某三角函数图象的一段: (1) 用正弦函数写出其解析式; 求与这个函数关于直线 x ? 2? 对称的函数解析式。 (2)

y 3

13? 3
0

? 3

x

-3

【试题答案】
1~8:DABCDAAB

m ? ?3, 或m ? ?
9、

1 5 3? (k ? Z), 2 3, 4k? ? ? (k ? Z), ? 3 2

4?,
10、

3, 4k? ?

x?
11、

k? (k ? Z) 2

3 ? ? a ? | b |? 2 ? ? 1 ?a ? | b |? ? 1 a ? ,| b |? 1 ? 2 ,解得 2 12、由题意,得: ? ,所以 y ? ?4a sin bx 的最大值是 2,
最小值是-2,最小正周期 T=2π

? ? k? ? k? ? 4x ? [ ? , ? ](k ? Z) 6 ,单调增区间是 2 6 2 12 13、振幅是 1,周期是 2 ,相位是 ,单 k? ? k? ? [ ? , ? ](k ? Z) 3 调减区间是 2 12 2 1 ? 1 ? y ? 3sin( x ? ) y ? ?3sin( x ? ) 2 6 2 6 14、 (1) (2)


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