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有理指数幂及其运算


实数指数幂及运算

教学目标 (1)掌握实数指数幂的拓展过程中的 不变性质。 (2)掌握根式和有理数指数幂的意义 (3)注意指数幂的拓展过程中的底数的 约束条件
教学重点 实数指数幂的运算和底数的限制条件 教学难点 根式的概念及分数指数的概念

一、正整数指数(复习): 1. a (n ? N? ) 的意义 n a ? a ? a?a ??? ? ?
n


n

2. a (n ? N? ) 的运算法则
n

?1?
(2)

a m ? a n ? a m?n ( a m ) n ? a m ?n
m

a (3) ? a m ? n ( m ? n, a ? 0) an (4) ( a ? b) m ? a m ? b m

3.拓展:整数指数幂
取消法则3中m>n的限制,则推广 到整数指数幂.

规定:

a ? 1(a ? 0)
0

a
问题:
n

?n

1 ? n ( a ? 0) a

a (n ? z )中, a的取值 范围是什么?

例1.化简下列各式
(1) ?? ? 3.14 ? (3) (5)
0



? 1? (2) ? ? ? ? 2? (4) (6)

?5

? 2x?

?4

?
?a
4

5 ?2

? ?
10

5 ?2

?

9

a ?3 ? b ?2 ? ? ?3a 2b ?1 ? 9a b
?2 ?3

a 3 ? a ?3 ?? a 3 ? a ?3 ? ? ? a ? 1?? a ? a
?4 ?1

?

练习1

(1)

5x y
1 2

2 ? 3

1 2 1 3 1 ? 6

(2)

1 ?1 5 (? x y )(? x y ) 4 6 ?1 m?m ?2 m
1 ? 2

?m

1 2

练习2

二、分数指数:

1.复习: 问题: x ? a
2

x ?a
3

则x的取值是什么?

2.拓展:
如果存在实数x,使得

x ?a
n

(a ? R, n ? 1, n ? N?, 则x叫做a )

的n次方根
求a的n次方根,叫做把a开n 次方,称作开方运算。

问题:a的n次方根一定存在吗?
如果存在,有几个?
(1)正数a的偶次方根有两个,它们互 为相反数,记为 n n

a, ? a

(2)负数的偶次方根在实数范围内不存 在。 (3)正数的奇次方根是一个正数,负数 的奇次方根是一个负数。都记为 n a 。

说明: (1)正数a的正n次方根,叫做a的 n次算术根。 (2)当
n

有意义时, n a a

叫做根式,n叫做根指数。

3.根式性质:

(1) ( a ) ? ?n ? 1, n ? N? ) (
n n

( a ) ? a(n ? 1, n ? N? )
n n

(2)

a ?? ?a, 当n为正奇数时 ? n n a ?? ? a , 当n为正偶数时 ?
n n

4.分数指数幂(有理指数幂): (1)正分数指数幂:
a ? a (a ? 0)
n 1 n m n

a ? a
n

m

m (a ? 0, n, m ? N ? , 且 为既约分数) n

(2)负分数指数幂:
a
? m n

?

1 a
m n

m (a ? 0, n, m ? N ? , 且 为既约分数) n

思考:
( )a 与a 等价吗? 1
(2)a在什么范围时?
np

2 4

1 2

a

mp

? a (m, n, p ? N ? )
n m

(3)0的任何次方根是0,对吗?

规定:0的正分数次幂是0,0的负分 数次幂没有意义. 5.有理指数幂运算法则:


设a ? 0, b ? 0,对任意有理数? , ?, 有

(1) a ? a ? a (2) (a ) ? a
? ? ?

?

?

? ??

? ?? ? ?

(3) (a ? b) ? a ? b

注意:(1)对于既含有分数指数幂,又含有根式的式子, 一般把根式 统一化成分数指数幂的形式,以便于计算。 如果根式中的根指数不同,也应化成分数指数幂的形式。 (2)对于计算的结果,不强求统一用什么形式来表示, 但结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既含有分 母又含有负指数。

(2)

注意:一般地,进行指数幂运算时,化负指数为正指数, 化根式为分数指数幂,化小数为分数进行运算,便于进 行乘除、乘方、开方运算,以达到化繁为简的目的。

三、无理指数:
如果 2 的任一个有理数不足近似 值记为a n,其相应的有理数过剩近似 值记为b n,那么当n无限增大时,a n,b n 就逼近于一个实数 2,因而5a n ,5bn 也就 逼近于一个实数5 2 。

实数指数幂:

一般的,当a>0, ?为任意实数值时, 实数指数幂a 都是有意义的.
运算法则
?

(1) a ? a ? a (2) (a ) ? a
? ? ?

?

?

? ??

? ?? ? ?

(3) (a ? b) ? a ? b

小结:
1、根式和根式的性质: 2、指数幂的拓展: 3、实数指数幂的运算律: 4、实数指数幂的运算律的应用。


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