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wwwsbc00com:基本初等函数指数对数与幂函数早练专题练习(二)含答案人教版高中数学新高考指导

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高中数学专题复习
《基本初等函数指数函数对数函数与幂函数》单 元过关检测
经典荟萃,匠心巨制!独家原创,欢迎下载! 注意事项:
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上

第 I 卷(选择题)

请点击修改第 I 卷的文字说明

评卷人 得分

一、选择题

1.(2 020 天津理 ) 函 数 f ( x) = 2x +x3 ? 2在区间 (0,1)内的 零点个 数 是( )

A.0

B.1

C.2

D.3

2.已知函数 f(x)=|lgx|.若 0<a<b,且 f(a)=f(b),则 a+2b 的取值范围是

3.设 a>1, 且 m ? loga (a2 ?1), n ? loga (a ?1), p ? loga (2a) ,则 m, n, p 的大 小关系


A. n>m>p 安徽文 8)

B. m>p>n

C. m>n>p

D. p>m>n(2020

4.根据统计,一名工作组装第 4 件某产品所用的时间(单位:分钟)为

(A,C 为常数)。已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟,组 装第 A 件产品用时 15 分钟,那么 C 和 A 的值分别是( )

(A)75,25 理)

(B)75,16

(C)60,25

(D)60,16(2020 北京

5 . 若 x1 满 足 2 x + 2x = 5 , x2 满 足 2 x + 2 log2 ( x - 1 ) = 5 , x1 + x2 =

(A) 5

(B)3

2

(C) 7 (D)4(2020 辽宁卷理) 2

【 解 析 】 由 题 意 2x1 ? 2x1 ? 5



2x2 ? 2 log2 x( 2? 1?) 5 ②

所 以 2x1 ? 5? 2x1 , x1 ? log2 (5 ? 2x1)

即 2 x1 ? 2log2 (5 ? 2x1) 令 2x1=7-2t,代入上式得 7-2t=2log2(2t-2)=2+2log2(t-1) ∴5-2t=2log2(t-1)与②式比较得 t=x2 于是 2x1=7-2x2

6.设函数

?x2 f (x) ? ?

? 4x ? 6, x ? 0 则不等 式

f (x)

?

f (1) 的解集是(



?x ? 6, x ? 0

A (?3,1) ? (3,??) B (?3,1) ? (2,??)

C (?1,1) ? (3,??) D (??,?3) ? (1,3)

7 .函数 y ? ln(x ? 1) 的定义域 为 ?x2 ? 3x ? 4

A. (?4, ?1)

B. (?4,1)

C . (?1, 1)

D . (?1,1]

(2020 江西卷理)

8 . 对 一 切 实 数 x , 若 二 次 函 数 f (x) ? ax2 ? bx ? c(a ? b) 的 值 恒 为 非 负 数 , 则

M ? a ?b?c 的最小值是 b?a

()

(A) 3

(B)2

(C) 1 2

(D) 1 3

9.函数 y=f(x)是偶函数,当 x>0 时,f(x)=x+ 4 ,且当 x∈[-3,-1]时,n≤f(x) x

≤m,则 m-n 的最小值为(

)A,1/3

B,2/3

C,1

D,4/3 (郑州质

检)

1 0 . 设 奇 函 数 f (x) 在 (0,? ?) 上 为 增 函 数 , 且 f (1) ? 0 , 则 不 等 式 f (x) ? f (?x) ? 0 的解集为( )
x

A. (?1,0) (1,? ?)

B. (??,?1) (0,1)

C. (??,?1) (1,? ?)

D. (?1,0) (0,1) (2 02 0 全国 1 理)

D . 由 奇 函 数 f (x) 可 知 f ( x?) ?f ( ?x) 2?f 0(x,) 而 f ( 1?) ,0 则

x

x

f (? 1?)? f ?( 1,)当 x0? 0 时 , f ( x)? 0? f (1;) 当 x ? 0 时 , f ( x) ? 0? f (? 1,)

又 f (x) 在 (0,? ?) 上 为 增 函 数 , 则 奇 函 数 f (x) 在 (??, 0) 上 为 增 函 数 ,

0 ? x ? 1或, ? ?1x ? 0

第 II 卷(非选择题)
请点击修改第 II 卷的文字说明

评卷人 得分

二、填空题

11 . 对 于 函 数 y ? f (x) , 若 存 在 区 间 [a,b] , 当 x ?[ a, b]时 的 值 域 为 [ka, kb] (k ? 0) ,

则 称 y ? f (x) 为 k 倍 值 函 数 . 若 f ( x)? l nx? x是 k 倍 值 函 数 , 则 实 数 k 的 取 值 范 围



1 2 . 已 知 幂.函.数. y

?

f (x) 的图象 过点 (2, 1 ) ,则 4

f

(1) ? 3

____



1 3 .函数 f ( x) ? log1 (? x2 ? 3x ? 2的) 单调递 增区 间为



3

14 . 已 知

f (x) ? a ? 1 3x ?1









,



f (x) 的 值 域 为

(? ?,? 1)(1,+?) . 22

15.函 数 y ? ln( 2? x ))的定义域 是 ▲ 。

1 6 . 函数 y ? x2 ? 8 ln x的单调 递减区 间为 ▲ .

评卷人 得分

三、解答题

17 .已知 函数 f (x) ? ax ? x2 ? x ln a,a ? 1 (1 )求证 函数 f (x) 在 (0, ??) 上单 调递增; (2 )函数 y ?| f ( x)? t |? 1有三个 零点 ,求 t 的值; (3 )对 ?x1, x2 ?[?1,1],| f (x1) ? f (x2 ) |? e ?1恒成立, 求 a 的取值范围 .
18.烟囱向其周围地区散落烟尘而污染环境。已知落在地面某处的烟尘浓度与该 处到烟囱的距离成反比,现有两座烟囱相距 10 ㎞,甲烟囱喷出的烟尘浓度是乙
烟囱的 2 倍,在距甲烟囱 1km 处的烟尘浓度为 2 个单位/ m3 ,现要在甲、乙两烟
囱之间建一所学校,问学校建在何处,烟尘对学校的影响最小?
19.设函数 f (x)是定义在[-1,0)∪(0,1]上的奇函数,当 x∈
[?1,0)时, f (x) ? 2ax ? 1 ,( a 为实 数)(1 )求 当 x∈ (0,1] 时 f ( x) 的解 析式 ; x2
(2 )若 f ( x) 在 区间 (0,1] 上为增函数 ,求 a 的取值 范围;( 3 )求在 (0,1] 上 f ( x )
的最大值。
2 0 . 已 知 f (x) ?| x2 ?1 | ?x2 ? kx. (Ⅰ) 若 k = 2,求 方程 f (x) ? 0的解; (Ⅱ)若 关于 x 的 方程 f (x) ? 0在(0,2) 上有两 个解 x1,x 2,求 k 的取 值范 围, 并 证 明 1 ? 1 ? 4.
x1 x2 命题意图:本题主要考查函数的基本性质、方程与函数的关系等基础知识,以及

综合运用所学知识、分类讨论等思想方法分析和解决问题的能力。满分 15 分。 (I)
【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除

评卷人 得分

一、选择题

1.B
【 解 析 】 解 法 1: 因 为 f ( 0)=1+?0 2?= ,1f (1)=2+23 ? 2=8 , 即 f (0) ? f (1)<0 且 函 数
f (x) 在 (0,1) 内连续 不断 , 故 f (x) 在 (0,1) 内的零点个 数是 1.
8
解 法 2 : 设 y1 =2x , y2 =2 ? x3 , 在 同 一 坐 标 系 中 作 出 两 函 数 的 图 像 如 图 所 示 : 可 知 B
6
正确.
4
2

5 2

5

10

2 . (3,?4?)

3.AB 6

解 析8 : 设 a > 1, ∴

a2 ?1 ? 2a , 2a ? a ?1 ,

m ? loga (a2 ?1), n ? loga (a ?1), p ? loga (2a) , ∴ m, n, p 的 大 小 关 系 为 m > p > n ,
选 B。

4.D

【解析】由条件可知, x ? A时所用时间为常数,所以组装第 4 件产品用时必然

满 足 第 一 个 分 段 函 数 , 即 f (4) ? c ? 30 ? c ? 60 , f ( A) ? 60 ? 15 ? A ? 16 ,

4

A

选D。

5.C

6.A(2020 天津卷文)

【解析】由已知,函数先增后减再增

当 x ? 0, f (x) ? 2 f (1) ? 3 令 f (x) ? 3,

解得 x ? 1, x ? 3 。

当 x ? 0, x ? 6 ? 3, x ? ?3

故 f (x) ? f (1) ? 3 ,解 得 ? 3 ? x ? 1或x ? 3

【考点定位】本试题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的 求解。
7.C

【解析】由

?x ?1? 0

? ??

x2

?

3x

?

4

?

0

?

?x ? ?1 ???4 ? x

? ?1

?1 ?

x

? 1. 故 选

C

8.

9.CF

解析:m,n 分别为 f(x)在[-3,-1]上的最大、最小值,也是[1,3]的最大、最小值, m=f(1)=5,n=f(2)=4,m-n=1,选 C

10.

第 II 卷(非选择题)

请点击修改第 II 卷的文字说明

评卷人 得分

二、填空题

11.∵,∴在上是增函数,∴即是方程的两个不等的正实数根,问题等价于方程 有 两 个 不 等 的 正 根 . 设 , 易 得 , ∴.

解析: ∵

f ?(x) ? 1 ?1 ? 0 , ∴ x

f (x) 在 (0, ??) 上 是 增 函 数 ,



?ln a ? a ? ka, ??ln b ? b ? kb,

即 a,b 是 方 程 ln x ? x ? kx 的 两 个 不 等 的 正 实 数 根 , 问 题 等 价 于 方 程 k ?1 ? ln x 有 两 个 x
不等的正根.

设 g(x) ? ln x , 易 得 0 ? k ?1 ? 1 , ∴ (1,1 ? 1) .

x

e

e

12.

13.

14.

15.

16.(0,2)

评卷人 得分

三、解答题

17.

18.设学校建立在离甲烟囱 x km处,则该处甲、乙两烟囱的烟尘浓度分别为

y甲=

2k x

,

y乙

?

k 10 ?

x

, (0

?

x

? 10),

则在该处的烟尘浓度

f (x) ?

y甲 ?

y乙

?

2k x

? k , (0 ? 10 ? x

x ? 10),

由已知 2 ? 2k ,? k ? 1. 所以, 1

f (x) ? 2 ? 1 ? 20 ? x x 10 ? x 10x ? x2

?

1

?

1

?1

30

?

???(20

?

x)

?

200 20 ? x

? ??

30 ? 2 200

30 ? 20 2
.

当且仅当 20 ? x ? 200, 即 x ? 20 ?10 2 时取等号 , 故学校应 建立 在离甲 烟 囱

(20 ? 10 2)km处烟尘对 学校 的影响 最 小 .

1 9 . ( 1 ) 设 x ∈ (0,1] , 则 -x ∈ [?1,0) , 又 f ( x ) 为 奇 函 数 , 则 f ( x) = - f ( -x) =

? [2a(?x) ? 1 ] (?x)2

∴当 x ∈ (0,1] 时 f (x)= 2ax ? 1 x2

(2 )由 于 f (x) 在 (0,1] 上为增函数, 则 f / (x)= 2a ? 2 ? 2(a ? 1 ) ? 0

x3

x3

显然,上式对任意的

x∈

(0,1] 恒成立 ,即

a

?

?

1 x3

对任意的

x∈

(0,1] 恒成立,

可得:a>-1

( 3 ) 当 a > - 1 时 , 由 于 f ( x ) 在 x ∈ (0,1] 上 为 增 函 数 , 则 f ( x ) m a x = f ( 1 ) = 2 a - 1

当 a< - 1 时 由 f / ( x) = 0 得:x= ? 1 (此时 ? 1 ∈ (0,1] ),

3a

3a

且知当 x∈(0, ? 1 )时, f / (x)>0, 当 x∈( ? 1 ,1), f / (x)<0

3a

3a

∴f

(x)max=

f

(

?

1 3a

)=

2 0 . 当 k ? 2时, f (x) ?| x2 ?1 | ?x2 ? 2x ? 0. 分两种情况讨论: ① 当 x2 ?1 ? 1时,即x ? 1或x ? ?1时 , 方 程 化 为 2x 2 ? 2x ?1 ? 0,

解得x ? ?1? 3 .因为0 ? ?1? 3 ? 1,舍去,所以x ? ?1? 3 .

2

2

2

② 当 x2 ?1 ? 0时,即 ?1 ? x ? 1, 方 程 化 为 1 + 2 x = 0 , 解 得 x ? ? 1 , 2

由①②得,

当k ? 2时,方程f (x) ? 0的解是

x ? ?1 ? 3 ,或x ? ? 1 .

2

2

( I I ) 不 妨 设 0 ? x1 ? x2 ? 2 ,

因为

?2 x 2 f (x) ? ?

? kx ?1,

| x |? 1,

?kx ?1,

| x |? 1,

所 以 f (x)在?0,1? 是 单 调 递 函 数 ,

故 f (x) ? 0在?0,1?上 至 多 一 个 解 ,

若x1,

x2

? (1, 2),则x1x2

?

?

1 2

?

0, 故不符合题意,因此,

x1

? ? 0,1? ,

x2

? (1, 2).

由f

( x1 )

?

0, 得k

?

?

1 x1

, 所以k

?

?1;

由f

(x2 )

?

0, 得k

?

1 x2

?

2x2, 所以 ?

7 2

?

k

?

?1.

故当? 7 ? k ? ?1时, f (x) ? 0在(0, 2)上有两个解. 2

方法一:

因为x1 ??0,1?,所以x1

? ? 1 ,而方程2x2 ? kx ?1 ? 0的两根是 ?k ? k

k2 ?8 ; 4

因为x2 ? (1, 2), 所以x2

?

?k ?

k2 ?8 ,
4

则 1 ? 1 ? ?k ?

4

? 1 ( k 2 ? 8 ? k),

x1 x2

k2 ?8 ?k 2

而y ? k 2 ? 8 ? k在(? 7 , ?1)上是减函数,则 k 2 ? 8 ? k ? (? 7)2 ? 8 ? 7 ? 8,

2

2

2

因此 1 ? 1 ? 4. x1 x2

方法二:

因 为 x1 ? ?0,1?,所以kx1 ?1 ? 0 ;



因 为 x2 ? (1,2), 所以2x22 ? kx2 ?1 ? 0 ,



由①②消去 k,得

2x1 x22

?

x1 ?

x2

? 0,即 1 x1

1 ?
x2

? 2 x2又. 因为

x2 ? (1, 2所), 以

1 x1

1 ?
x2

?

4.


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