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【优化方案】2014届高考数学9.3 直线与平面垂直、平面与平面垂直(A、B) 课时闯关(含答案解析)


一、选择题 1.(2011· 高考浙江卷)下列命题中错误的是( ) A.如果平面 α⊥平面 β,那么平面 α 内一定存在直线平行于平面 β B.如果平面 α 不垂直于平面 β,那么平面 α 内一定不存在直线垂直于平面 β C.如果平面 α⊥平面 γ,平面 β⊥平面 γ,α∩β=l,那么 l⊥平面 γ D.如果平面 α⊥平面 β,那么平面 α 内所有直线都垂直于平面 β 解析:选 D.两个平面 α,β 垂直时,设交线为 l,则在平面 α 内与 l 平行的直线都平行 于平面 β,故 A 正确;如果平面 α 内存在直线垂直于平面 β,那么由面面垂直的判定定理知 α⊥β,故 B 正确;两个平面都与第三个平面垂直时,易证交线与第三个平面垂直,故 C 正 确;两个平面 α,β 垂直时,平面 α 内与交线平行的直线与 β 平行,故 D 错误. 2.(2012· 高考安徽卷)设平面 α 与平面 β 相交于直线 m,直线 a 在平面 α 内,直线 b 在 平面 β 内,且 b⊥m,则“α⊥β”是“a⊥b”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选 A.若 α⊥β,因为 α∩β=m,b?β,b⊥m,则根据两个平面垂直的性质定理可 得 b⊥α,又因为 a?α,所以 a⊥b; 反过来,当 a∥m 时,因为 b⊥m,一定有 b⊥a,但不能保证 b⊥α,所以不能推出 α⊥β. 3.已知 α、β 表示两个互相垂直的平面,a,b 表示一对异面直线,则 a⊥b 的一个充分 条件是( ) A.a∥α,b⊥β B.a∥α,b∥β C.a⊥α,b∥β D.a⊥α,b⊥β 解析:选 D.对于 A,若 a∥α,b⊥β,则直线 a,b 不一定垂直,不合题意;对于 B,若 a∥α,b∥β,则直线 a,b 不一定垂直,不合题意;对于 C,若 a⊥α,b∥β,则直线 a,b 不一定垂直,不合题意;对于 D,若 a⊥α,b⊥β,则 a⊥b.故选 D. 4.(2011· 高考大纲全国卷)已知直二面角 α- β,点 A∈α,AC⊥l,C 为垂足,点 B∈β, lBD⊥l,D 为垂足.若 AB=2,AC=BD=1,则 CD=( ) A.2 B. 3 C. 2 D.1

解析:选 C.如图,连接 BC,在直二面角 α- β 中, lAC⊥l,∴AC⊥β,∴AC⊥BC. ∴△ABC 为直角三角形, ∴BC= 22-12= 3. 在 Rt△BCD 中,BC= 3,BD=1, ∴CD= ? 3?2-1= 2. 5. 如图: 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中点 P 在侧面 BCC1B1 及其边界上运动, 并且总保持 AP⊥BD1,则动点 P 的轨迹是( )

A.线段 B1C

B.线段 BC1 C.BB1 中点与 CC1 中点连成的线段 D.BC 中点与 B1C1 中点连成的线段

解析:选 A.设 P1,P2 为 P 的轨迹上两点,则 AP1⊥BD1,因 A、P1、P2 不共线,∴A、 P1、P2 确定一个平面 α,与平面 B1C 交于直线 P1P2,且知 BD1⊥平面 α,∴P1P2⊥BD1,又 在平面 BCC1B1 内有且只有 B1C 与点 A 确定的平面与 BD1 垂直,∴P 点的轨迹为线段 B1C. 二、填空题 6.从平面外一点向平面引一条垂线和三条斜线,如果这些斜线与平面成等角,有如下 命题: ①斜足连线能构成正三角形; ②斜足连线不能构成直角三角形; ③垂足是斜足连线所构成三角形的外心; ④垂足是斜足连线所构成的三角形的内心. 其中正确命题的序号是______. 解析:由斜线段、垂线段、射影构成的三角形全等,且垂足是斜足连线构成三角形的外 心,故①、③正确. 答案:①③

7.如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,底面各边都相等,M 是 PC 上的一动点,当点 M 满足______时,平面 MBD⊥平面 PCD.(注:只要填写一个你认为正确 的即可) 解析: 由三垂线定理可知 BD⊥PC, DM⊥PC 时(或 BM⊥PC)时, 当 即有 PC⊥平面 BMD, 所以平面 MBD⊥平面 PCD. 答案:DM⊥PC 8.α、β 是两个不同的平面,m、n 是平面 α 及 β 之外的两条不同直线.给出四个论断: ①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α. 以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题 ________. 解析:如图,由 α⊥β,n⊥β,m⊥α,得 m⊥n.

由 m⊥n,n⊥β,m⊥α,得 α⊥β. 答案:②③④?①或①③④?② 三、解答题

9.(2012· 高考大纲全国卷)如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,PA⊥底面 ABCD,AC=2 2,PA=2,E 是 PC 上的一点,PE=2EC. (1)证明:PC⊥平面 BED; (2)设二面角 A-PB-C 为 90° ,求 PD 与平面 PBC 所成角的大小. 解:(1)证明:因为底面 ABCD 为菱形,所以 BD⊥AC.

又 PA⊥底面 ABCD, 所以 PC⊥BD. 如图,设 AC∩BD=F,连接 EF. 因为 AC=2 2,PA=2, PE=2EC,故 PC=2 3, 2 3 EC= ,FC= 2, 3 PC AC 从而 = 6, = 6. FC EC PC AC 因为 = ,∠FCE=∠PCA, FC EC 所以△FCE∽△PCA,∠FEC=∠PAC=90° , 由此知 PC⊥EF. 因为 PC 与平面 BED 内两条相交直线 BD,EF 都垂直,所以 PC⊥平面 BED. (2)在平面 PAB 内过点 A 作 AG⊥PB,G 为垂足. 因为二面角 A- C 为 90° PB,所以平面 PAB⊥平面 PBC. 又平面 PAB∩平面 PBC=PB,故 AG⊥平面 PBC,AG⊥BC. 因为 BC 与平面 PAB 内两条相交直线 PA, 都垂直, BC⊥平面 PAB, AG 故 于是 BC⊥AB, 2 2 所以底面 ABCD 为正方形,AD=2,PD= PA +AD =2 2. 设 D 到平面 PBC 的距离为 d. 因为 AD∥BC,且 AD 平面 PBC,BC?平面 PBC, 故 AD∥平面 PBC,A、D 两点到平面 PBC 的距离相等, 即 d=AG= 2. d 1 设 PD 与平面 PBC 所成的角为 α,则 sin α= = . PD 2 所以 PD 与平面 PBC 所成的角为 30° .

10.(2013· 山东淄博模拟)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别是 AB、BC 的中点. (1)求证:平面 B1MN⊥平面 BB1D1D; (2)在棱 DD1 上是否存在点 P,使得 BD1∥平面 PMN?若存在,确定点 P 的位置;若不 存在,请说明理由.

解:(1)证明:连结 AC,则 AC⊥BD, 又 M、N 分别是 AB、BC 的中点, ∴MN∥AC,∴MN⊥BD, ∵ABCD-A1B1C1D1 是正方体, ∴BB1⊥平面 ABCD, ∵MN?平面 ABCD, ∴BB1⊥MN,∵BD∩BB1=B, ∴MN⊥平面 BB1D1D, ∵MN?平面 B1MN,∴平面 B1MN⊥平面 BB1D1D. (2)在棱 DD1 上存在点 P,使得 BD1∥平面 PMN,并且 DP∶PD1=3∶1,即在线段 D1D 上靠近点 D1 的第一个四等分点处. 设 MN 与 BD 的交点为 Q,连结 PQ、PM、PN, 则平面 BB1D1D∩平面 PMN=PQ, 当 BD1∥平面 PMN 时,根据线面平行的性质定理得 BD1∥PQ,且 DQ∶QB=DP∶PD1 =3∶1. 11.(探究选做)(2011· 高考江西卷)

π 如图,在△ABC 中,∠B= ,AB=BC=2,P 为 AB 边上一动点,PD∥BC 交 AC 于点 2 D,现将△PDA 沿 PD 翻折至△PDA′,使平面 PDA′⊥平面 PBCD; (1)当棱锥 A′-PBCD 的体积最大时, 求 PA 的长; (2)若点 P 为 AB 的中点,E 为 A′C 的中点,求证:A′B⊥DE. 解:(1)令 PA=x(0<x<2),则 A′P=PD=x,BP=2-x. 因为 A′P⊥PD,且平面 A′PD⊥平面 PBCD, 故 A′P⊥平面 PBCD. 1 所以 VA′-PBCD= Sh 3 1 1 = (2-x)· (2+x)x= (4x-x3). 6 6 1 3 令 f(x)= (4x-x ), 6

1 2 由 f′(x)= (4-3x2)=0,得 x= 3(负值舍去). 6 3 2 ? 当 x∈?0,3 3?时,f′(x)>0,f(x)单调递增; ? 2 当 x∈?3 3,2?时,f′(x)<0,f(x)单调递减. ? ? 2 所以当 x= 3时,f(x)取得最大值. 3 2 3 故当 VA′-PBCD 最大时,PA= . 3

(2)证明:设 F 为 A′B 的中点,如图所示,连接 PF,FE, 1 1 则有 EF BC,PD BC. 2 2 所以 EF PD. 所以四边形 EFPD 为平行四边形.所以 DE∥PF. 又 A′P=PB,所以 PF⊥A′B,故 DE⊥A′B.


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