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山西省太原市2012年高三年级第一次模拟考试--数学理


太原市 2012 年高三年级模拟考试(一)

数 学 试 题(理)
第I卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。 1.在复平面内,复数 A.第一象限

i 的共轭复数对应的点位于 1? i
B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限





2.下列函数中,既是偶函数又在 (0, ??) 内单调递减的函数是 A. y ? x2 B. y ?| x | ?1 C. y ? ? lg | x | ) D. y ? 2| x|





3.若右边表示的程序框图输出的 S 是 126,则条件①可以是( A. n ? 5 B. n ? 6 C. n ? 7 D. n ? 8 4.甲乙两人各加工一个零件,若加工为一等品的概率分别是 相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为 A.

2 3 和 ,两个零件是否加工为一等品 3 4
( D. )

1 2

B.

1 4

C.

1 6

5 12
( )

5.已知数列 {an } 为等差数列, Sn 是它的前 n 项和。若 a1 ? 2, S3 ? 12, 则S4 = A.10 B.16 C.20 6.右图是某个三棱锥的三视图,其中正视图是等边三角形, 侧视图是直角三角形,俯视图是等腰直角三角形,则该 三棱锥的体积等于 ( ) A. D.24

6 12 6 4

B.

3 3 2 3 3

C.

D.

x2 y 2 7.已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) ,过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于 M,N 两 a b
点,O 为坐标原点,若 OM ? ON ,则双曲线的离心率为 A. ( D. )

?1 ? 3 2

B.

1? 3 2
1

C.

1? 5 2

?1 ? 5 2

8.已知 ( x ?
2

1 n ) 的展开式的各项系数和为 32,则展开式中 x 的系数为 x
D.10





A.5 B.40 C.20 9.从如图所示的正方形 OABC 区域内任取一个点 M(x,y), 则点 M 取自阴影部分的概率是 ( )

1 3 1 C. 4
A.

1 2 1 D. 6
B.

10.已知非零向量 a, b, c 满足 a ? b ? c ? 0 ,向量 a 与 b 的夹角为 120? ,且|b|=2|a|,则向量 a 与 c 的夹角为 A. 60? ( B. 90? )

C. 120? D. 150? 4? 4? ) 上单调递增,在 ( , 2? ) 上单调递减,则 ? = 11.已知函数 f ( x) ? sin(? x ? )(? ? 0) 在 (0, 3 6 3

?

( A.



1 2

B.1

C.

3 2

D.

4 3
( )

12.已知函数 f ( x) ? ? A.2

? x ? 1, x ? 0 则函数 y ? f [ f ( x) ? 1] 的零点个数是 log 2 x, x ? 0. ?
B.3 C.4 D.5

第 II 卷(非选择题,共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作答。第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求作答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。

?x ? y ? 2 ? 13.若实数 x,y 满足不等式组 ? 2 x ? y ? 4 ,则 z ? 2 x ? 3 y 的最小值是 ?x ? y ? 0 ?



14.一个正方体的各顶点均在同一个球的球面上,若该球的体积为 4 3? ,则该正方体的表面积 是 。
2

15.倾斜角为 60? 的直线 l 经过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点,且与抛物线相交于 A,B 两点(点 A 在 x 轴上方),则

| AF | = | BF |



16.在 ?ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a ? b ? c ? 10, cos C ? 积的最大值是 。

7 , 则?ABC 面 8

2

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,记 ?BAC ? x, ?ABC 的面积为 S,且 AB ? AC ? 8, 4 ? S ? 4 3 。 (1)求实数 x 的取值范围; (2)求函数 f ( x) ? 3sin 2x ? cos 2x 的最大值和最小值。

??? ??? ? ?

18.(本小题满分 12 分) 为增强市民的节能环保意识,某市面向全市征召义务宣传志愿者,从符合条件的 500 名志愿者 中随机抽取 100 名志愿者的年龄情况如下表所示: (1)频率分布表中的①、②处应填什么数据?并在答题卡中补全频率分布直方图(如图),再 根据频率分布直方图估计这 500 名志愿者中年龄在 ?30,35? 岁的人数; (2)在抽出的 100 名志愿者中按年龄采用分层抽样法抽取 20 人参加中心广场的宣传活动,再 从这 20 人中选取 2 名志愿者担任主要负责人,记这 2 名志愿者中“年龄低于 30 岁”的人数为 X,求 X 的分布列及数学期望。

3

19.(本小题满分 12 分) 如图,矩形 ABCD 所在的平面与平面 AEB 垂直,且 ?BAE ? 120?, AE ? AB ? 4, AD ? 2, F、 G、H 分别为 BE、AE、BC 的中点。 (1)求证:DE//平面 FGH; (2)若点 P 在线段 GF 上,且二面角 D—BP—A 的大小为

? ,试确定点 P 的位置。 4

20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 E :

3 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,其右焦点为(1,0),点 P (1, ) 在椭圆 E 上。 2 2 a b

(1)求椭圆 E 的方程; (2)过椭圆 E 的左顶点 A 作两条互相垂直的直线分别与椭圆 E 交于(不同于点 A 的)M,N 两点,试判断直线 MN 与 x 轴的交点是否为定点,若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由。

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2 ln x ? k ( x ? )( k ? R ) 。 (1)当 k ? ?1 时,求函数 y ? f ( x) 的单调区间; (2)如果对所有的 x ? 0 且 x ? 1 都有

1 x

1 f ( x) ? 0 成立,求实数 k 的取值范围。 x ?1
2

4

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请把 答题卡上所选题目后的方框涂黑。 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,直线 AB 经过⊙O 上一点 C,且 OA=OB,CA=CB,⊙O 交直线 OB 于 E、D,连结 EC, CD。 (1)求证:直线 AB 是⊙O 的切线; (2)若 tan ?CED ?

1 , ⊙O 的半径为 3,求 OA 的长。 2

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知曲线 C1 : x2 ? y 2 ? 1 , 以平面直角坐标系 xOy 的原点 O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线 l : ? (2cos ? ? sin ? ) ? 6. (1)将曲线 C1 上的所有点的横坐标和纵坐标分别伸长为原来的 3 倍和 2 倍后得到曲线 C2, 试写出直线 l 的直角坐标方程和曲线 C2 的参数方程; (2)在曲线 C2 上求一点 P,使点 P 到直线 l 的距离最大,并求出此最大值。

24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| 2 x ? a | ?2a. (1)若不等式 f ( x) ? 6 的解集为 {x | ?6 ? x ? 4} ,求实数 a 的值; (2)在(I)的条件下,若不等式 f ( x) ? (k ?1) x ? 5 的解集非空,求实数 k 的取值范围。
2

5


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