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高中数学教学设计


等比数列的前 n 项和 ( 第一课时)
一. 教材分析。
(1)教材的地位与作用:《等比数列的前 n 项和》选自《普通高中课程标准数学教科书·数学 (5),是数列这一章中的一个重要内容,它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用,如储蓄、分期 付款的有关计算等等,而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思 想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。 (2)从知识的体系来看: “等比数列的前 n 项和”是“等差数列及其前 n 项和”与“等比数列” 内容的延续、不仅加深对函数思想的理解,也为以后学数列的求和,数学归纳法等做好铺垫。

二.学情分析。
(1)学生的已有的知识结构:掌握了等差数列的概念,等差数列的通项公式和求和公式与方法,等 比数列的概念与通项公式。 (2)教学对象:高二理科班的学生,学习兴趣比较浓,表现欲较强, 逻辑思维能力也初步形成,具 有一定的分析问题和解决问题的能力,但由于年龄的原因,思维尽管活跃、敏捷,却缺乏冷静、深 刻,因而片面、不够严谨。 (3)从学生的认知角度来看:学生很容易把本节内容与等差数列前 n 项和从公式的形成、特点等方 面进行类比,这是积极因素,应因势利导。不利因素是:本节公式的推导与等差数列前 n 项和公式 的推导有着本质的不同,这对学生的思维是一个突破,另外,对于 q = 1 这一特殊情况,学生往往 容易忽视,尤其是在后面使用的过程中容易出错。

三.教学目标。
根据教学大纲的要求、本节教材的特点和本班学生的认知规律,本节课的教学目标确定为: (1)知识技能目标————理解并掌握等比数列前 n 项和公式的推导过程、公式的特点,在此 基础上,并能初步应用公式解决与之有关的问题。 (2)过程与方法目标————通过对公式推导方法的探索与发现,向学生渗透特殊到一般、类 比与转化、分类讨论等数学思想,培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的

能力. (3)情感,态度与价值观————培养学生勇于探索、敢于创新的精神,从探索中获得成功的 体验,感受数学的奇异美、结构的对称美、形式的 简洁美。

四.重点,难点分析。
教学重点:公式的推导、公式的特点和公式的运用。 教学难点:公式的推导方法及公式应用中 q 与 1 的关系。

五.教法与学法分析.
培养学生学会学习、 学会探究是全面发展学生能力的重要前提, 是高中新课程改革的主要任务。 如何培养学生学会学习、学会探究呢?建构主义认为: “知识不是被动吸收的,而是由认知主体主动 建构的。 ”这个观点从教学的角度来理解就是:知识不是通过教师传授得到的,而是学生在一定的情 境中,运用已有的学习经验,并通过与他人(在教师指导和学习伙伴的帮助下)协作,主动建构而 获得的,建构主义教学模式强调以学生为中心,视学生为认知的主体,教师只对学生的意义建构起 帮助和促进作用。因此,本节课采用了启发式和探究式相结合的教学方法,让老师的主导性和学生 的主体性有机结合,使学生能够愉快地自觉学习,通过学生自己观察、分析、探索等步骤,自己发 现解决问题的方法,比较论证后得到一般性结论,形成完整的数学模型,再运用所得理论和方法去 解决问题。一句话: 还课堂以生命力,还学生以活力。

六.课堂设计
(一)创设情境,提出问题。(时间设定:3 分钟) [利用投影展示] 在古印度,有个名叫西萨的人,发明了国际象棋,当时的印度国王大为赞赏, 对他说:我可以满足你的任何要求。西萨说:请给我棋盘的 64 个方格上,第一格放 1 粒小麦,第二 格放 2 粒,第三格放 4 粒,往后每一格都是前一格的两倍,直至第 64 格。国王令宫廷数学家计算, 结果出来后,国王大吃一惊。为什么呢? [设计这个情境目的是在引入课题的同时激发学生的兴趣,调动学习的积极性.故事内容紧扣本节 课的主题与重点]

提出问题 1:同学们,你们知道西萨要的是多少粒小麦吗?
2 3 63 引导学生写出麦粒总数 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2

(二)师生互动,探究问题[5 分钟] 提出问题 2:1+ 2 + 22 + 23 + ?????? +263究竟等于多少呢? 有学生会说:用计算器来求(老师当然肯定这种做法,但学生很快发现比较难求。 ) 提出问题 3:同学们,我们来分析一下这个和式有什么特征?(学生会发现,后一项都是前一项的 2 倍) 提出问题 4:如果我们把每一项都乘以 2,就变成了它的后一项,那么我们若在此等式两边同以 2, 得到另一式: [[利用投影展示]

...S64 ? 1 ? 2 ? 22 ? 23 ? ? ? 263.........(1) 2S64 ? 2 ? 22 ? 23 ? 24 ? ? ? 2 64 .......(2)
比较(1)(2)两式,你有什么发现?(学生经过比较发现:(1)、(2)两式有许多相同的项) 提出问题 5:将两式相减,相同的项就消去了,得到什么呢?。(学生会发现: S64 ? 264 ?1 [这五个问题的设计意图:层层深入,剖析了错位相减法中减的妙用,使学生容易接受为什么要错 位相减,经过繁难的计算之苦后,突然发现上述解法,也让学生感受到这种方法的神奇] 这时,老师向同学们介绍错位相减法,并 提出问题 6:同学们反思一下我们错位相减法求此题的过程,为什 么(1)式两边要同乘以 2 呢? [这个问题的设计意图:让学生对错位相减法有一个深刻的认识,也为探究等比数列求和公式的推导 做好铺垫] (三)类比联想,解决问题。[时间设定:10 分钟] 提出问题 7: 设等比数列?an ?的首项为a1,公比为q,求它的前项和Sn
即 Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a n

学生开展合作学习,讨论交流,老师巡视课堂,发现有典型解法的,叫同

学板书在黑板上。 [设计意图:从特殊到一般,从模仿到创新,有利于学生的知识迁移和能力提高,让学生在探索过程 中,充分感受到成功的情感体验]

(四)分析比较,开拓思维。[时间设定:5 分钟] 将不同的的方法进行分析评价。根据学生的认识状况,可能有如下几种方法: 等比数列 {a },公比为 q ,它的前 n 项和
n

错位相减法 1:

S n ? a1?a1 q ?a1q 2 ??? a1q n?2 ? a1q n?1

qSn ?

n?1 n a1 q ?a1q 2 ???a1q n?2 ?a1q ?a1q

?(1 ? q)Sn ? a1 ? a1qn
等比数列 {an },公比为 q ,它的前 n 项和

??

错位相减法 2

S n ? a1? a2 ? a3 ??? an ?1 ? an

qSn ?

a2 ? a3 ??? an ?1 ? an ? an q

? (1 ? q)Sn ? a1 ? an q
?? 等比数列 {an },公比为 q ,它的前 n 项和

提出公比 q

Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ??? an?1 ? an
Sn ? a1 ? a1q ? a1q2 ? ?? a1qn?2 ? a1q n?1
? a1 ? q(a1 ? a1q ? ?? a1q n?3 ? a1q n?2 )
? a1 ? q (S ? a qn?1 ) n 1

?(1 ? q)Sn ? a1 ? a1qn
累加法

an } 等比数列 {? ,公比为 q ,它的前 n 项和 ? S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ?? ? an?1 ? an
? a2 ? a1 q a3 ? a2 q a4 ? a 3 q

?

an ? an ?1 q

?

?a 2 ? a3 ? ? ? an ? q (a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ?1 ) ? S n ? a1 ? q ( S n ? an )

? (1 ? q ) S n ? a1 ? an q

??

可能也有同学会想到由等比定理得

Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? ? a a2 a3 ? ?? ? n ? q a1 a2 an ?1 a2 ? a3 ? ? ? an ?q a1 ? a2 ? ? ? an ?1 Sn ? a1 ?q Sn ? an



? (1 ? q) S n ? a1 ? an q ??

【设计意图:共享学习成果,开拓了思维,感受数学的奇异美】 (五) .归纳提炼,构建新知。[时间设定:3 分钟]
提出问题 8:由 (1- q)sn = a1 - a1q 得 sn = 1? q ? 1 时是什么数列?此时 Sn ? ?
n

a1 - a1q n 对不对?这里的 q 能不能等于 1?等比数列中的公比能不能为 1- q

【设计意图: 通过反问精讲, 一方面使学生加深对知识的认识, 完善知识结构, 增强思维的严谨性】 提出问题 9: 等比数列的前n项和公式怎样?
? a1 (1 ? q n ) ? a1 ? an q ,q ?1 ,q ?1 ? ? ? Sn ? ? 1 ? q 学生归纳出 Sn ? ? 1 ? q ? na , q ? 1 ? ? na1 , q ? 1 ? 1



【设计意图:向学生渗透分类讨论数学思想,加深对公式特征的了解】 (六)层层深入,掌握新知。[时间设定:15 分钟]

基础练习1已知?a n ? 是等比数列,公比为q 2 1 (1)若a1 = ,q= ,则Sn ? 3 3 (2).则a1 ? 2, q ? 1, 则Sn ?
练习2 判断是非 (1).1-2+4-8+16-? + ? -2?
n

1? (1 ? 2n ) ? 1 ? (?2)

1? (1 ? 2n ) 1? 2 a(1 ? a8 ) (3).a ? a 2 ? a 3 ? ? ? a8 ? 1? a (2).1 ? 2 ? 2 2 ?23 ? ? ? 2n ?

【设计意图:通过两道简单题来剖析公式中的基本量.进行正反两方面的“短、浅、快” 练习.通

过总结、辨析和反思,强化公式的结构特征. 】
例1 已知数列?an ?是等比数列,完成下表

题号

a1

q 1/2 2/3 -2

n 8

an

Sn

(1) 1/2 (2) 27 (3)

8 -96 -63

【设计意图:渗透方程思想.通过公式的正用和逆用进一步提高学生运用知识的能力.掌握公式中”知 三求二”的题型】 练习 3:求等比数列 1 ,1 ,1 , 1 , ??? 前 8 项和; 2 4 8 16 63 变式 1、等比数列 1 ,1 ,1 , 1 , ??? 前多少项的和是 ; 64 2 4 8 16 变式 2、等比数列 1 ,1 ,1 , 1 , ??? 求第 5 项到第 10 项的和; 2 4 8 16

a 变式 3、等比数列 a,

2

, a3 , ??? an ,? 求前 2n 项中所有偶数项的和。

(先由学生独立求解,然后抽学生板演,教师巡视、指导,讲评学生完成情况,寻找学生中的闪光 点,给予热情表扬。) 【设计意图:变式训练,深化认识,增加思维的梯度的同时,提高学生的模式识别能力,渗透转化思 想】 . 练习 4 有一位大学生毕业后到一家私营企业去工作,试用期过后,老板对这位大学生很欣赏, 有意留下他,就让这位大学生提出待遇方面的要求,这位学生提出了两种方案让老板选择,其一: 工作一年,月薪五千元;其二:工作一年,第一个月的工资为 20 元,以后每个月的工资是上月工资 的 2 倍,此时,老板不假思索就选择了第二种方案,于是他们之间就订了一个劳动待遇合同。请你 分析一下,老板的选择是否正确? 【设计意图:让学生进一步认识到数学来源于生活并应用于生活,生活中处处有数学. 】 (七)总结归纳,加深理解。[时间设定:2 分钟]
(1)等比数列的求和公式是什么?应用时要注意什么? (2)用什么方法可以推导了等比数列的求和公式?

【设计意图:形成知识模块,从知识的归纳延伸到思想方法的提炼,优化学生的认知结构】 (八)课后作业,巩固提高。[时间设定:1 分钟] 必做:(1)P66 练习 1

研究性作业:请上网查阅“芝诺悖论” 选做:求和: 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? 4 ? 24 ? ? ? n ? 2n 【设计意图:为了使所有学生巩固所学知识,布置了“必做题” ; “选做题”又为学有余力者留有自 由发展的空间,布置了“探究题”以利于学生开展研究性学习,拓展学生的视野. 】

七、教学反思:
本节课立足课本,着力挖掘,设计合理,层次分明。充分体现以学生发展为本,培养学生的观 察、概括和探究能力,遵循学生的认知规律,体现理论联系实际、循序渐进和因材施教的教学原则, 通过问题情境的创设,激发兴趣,使学生在问题解决的探索过程中,由学会走向会学,由被动答题 走向主动探究。在教学思想上既注重知识形成过程的教学,还特别突出学生学习方法的指导,探究 能力的训练,引导学生发现数学的美,体验求知的乐趣。


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