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2016高考数学二轮复习 专题8 选修专题 第一讲 几何证明选讲 理


专题八 第一讲

选修专题 几何证明选讲

1.平行线等分线段定理. 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等, 即若 l1∥l2∥l3,l 分别交直线 l1,l2,l3 于 A1,A2,A3,l′分别交直线 l1,l2,l3 于 B1,B2, B3,A1A2=A2A3,则 B1B2=B2B3. 推论 1:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边,即在△ABC 中,若 AD=DB,DE∥BC,则 AE=EC. 推论 2:经过梯形一腰的中点且与底边平行的直线平分另一腰,即在梯形 ABCD 中,AD ∥BC,AE=EB,EF∥AD,则 DF=FC.

2.平行线分线段成比例定理. 三条平行线截任意两条直线,所截出的对应线段成比例,即若 l1∥l2∥l3,l 分别交直 AB DE 线 l1,l2,l3 于 A,B,C,l′分别交直线 l1,l2,l3 于 D,E,F,则 = . BC EF 推论: 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线), 所得的对应线段成比例, AD AE 即在△ABC,DE∥BC,则 = . DB EC

1

3.相似三角形的定义. 对应角相等, 对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形, 解题时常常把对应点写在对 应的位置上. 4.相似三角形的判定方法. (1)两对对应角相等的两个三角形相似;(2)三边对应成比例的两个三角形相似;(3)两 边对应成比例,并且夹角相等的两个三角形相似. 5.相似三角形的性质. (1)相似三角形对应边上的高的比、对应中线的比、对应角平分线的比和它们周长的比 都等于相似比(对应边的比);(2)相似三角形的面积比等于相似比(对应边的比)的平方. 6.射影定理. 直角三角形中, 每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项; 斜边上 的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项. 在 Rt△ABC 中, ∠ABC=90°, BD⊥AC 于 D, 则 BD =AD· CD, AB =AD·AC, BC =CD·CA.
2 2 2

7.与圆有关的角的概念. (1)圆心角:顶点在圆心,两边和圆相交的角叫做圆心角.如图 1 中的∠AOB. (2)圆周角:顶点在圆上,两边和圆相交的角叫做圆周角.如图 2 中的∠DEF. (3)弦切角:顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫做弦切角.如图 3 中 的∠MPN.

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8.与圆有关的角的性质. (1)圆周角定理:圆上的一条弧所对的圆周角大小等于它所对的圆心角的一半.如图 4, 1 ∠ACB= ∠AOB. 2 (2)圆心角定理:圆心角的度数等于它所对的弧的度数. 推论 1:同弧或等弧所对的圆周角相等,同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧也相等. 推论 2: 半圆(或直径)所对的圆周角是直角, 圆周角为 90°时所对的弦是直径. 如图 5, ∠DEF=90°. (3)弦切角定理:弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角. 如图 6,∠MPN=∠PQM.

9.圆的切线的判定和性质. (1)圆的切线的定义: 与圆只有一个公共点的直线叫做圆的切线, 这个公共点叫做切点. (2)圆的切线的判定:①若圆心到直线的距离等于半径,则该直线是圆的切线;②经过 直径的一端,并且垂直 于这条直径的直线是圆的切线. (3)圆的切线的性质:①圆的切线垂直于经过切点的半径;②经过圆心且垂直于切线的 直线必经过切点;③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 10.与圆有关的比例线段. (1)相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段的积相等.如图 7,PA·PB =PC·PD.
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(2)割线定理:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段 长的积相等.如图 8,PA·PB=PC·PD. (3)切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆的交点的两 条线段长的比例中项.如图 9,PA =PC·PD. (4)切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连 线平分两条切线的夹角.如图 10,PA=PC,∠APO=∠CPO.
2

11.圆内接四边形. (1)圆内接四边形的判定:①如果一个四边形的对角互补,那么这个四边形的四个顶点 在同一个圆上; ②如果四边形的一个外角等于它的内对角, 那么这个四边形的四个顶点在同 一个圆上. (2)圆内接四边形的性质:①圆内接四边形的对角互补;②圆内接四边形的外角等于与 它相邻的内角的对角. 12.直线与圆的位置关系. (1)直线与圆的位置关系有三种:相交、相切、相离. ①相交——直线与圆有两个公共点; ②相切——直线与圆有一个公共点; ③相离——直线与圆没有公共点. (2)判定直线与圆的位置关系的方法:直线与圆的位置决定于圆心到直线的距离 d 和圆 的半径 r 之间的大小关系. ①直线与圆相交?d<r; ②直线与圆相切?d=r; ③直线与圆相离?d>r. 判定直线与圆的位置关系时, 先看: 看看题目中有没有告诉我们直线和圆有几个公共点;
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再算:算算圆心到直线的距离 d 和圆的半径为 r 之间的大小关系;后断:然后根据上述关系 作出判断. 13.圆与圆的位置关系. (1)平面内两圆的位置关系有五种:外离、外切、相交、内切、内含. (2)判定两个圆的位置关系的方法:设两圆的圆心距为 d,两圆的半径分别为 R 和 r,则 ①两圆外离?d>R+r,有 4 条公切线; ②两圆外切?d=R+r,有 3 条公切线; ③两圆相交?R-r<d<R+r(R>r),有 2 条公切线; ④两圆内切?d=R-r(R>r),有 1 条公切线; ⑤两圆内含?d<R-r(R>r),没有公切线. 14.常用的辅助线的作法. 出现切线就连接切点和圆心的半径为辅助线,求弦长就作弦心距解直角三角形.

1.如下图所示,DE 是△ABC 的中位线,FG 为梯形 BCED 的中位线,若 DE=4,则 FG 等 于(A)

A.6 B.8 C.10 D.12 2.如下图所示,在△ABC 中,∠BAC=90°,D 是 BC 的中点,AE⊥AD 交 CB 的延长线于 E,则下列结论正确的是(C)

5

A.△AED∽△ACB B.△AEB∽△ACD C.△BAE∽△ACE D.△AEC∽△DAC 3.直线 MN 切⊙O 于点 C,AB 是⊙O 的直径且∠CAB=53°,则∠BOC=106°,∠ACB= 90°,∠ACM=37°,∠BCN=53°.

4.如图,△ABC 为圆的内接三角形,BD 为圆的弦且 BD∥AC,过点 A 做圆的切线与 DB 8 的延长线交于点 E,AD 与 BC 交于点 F.若 AB=AC,AE=6,BD=5,则线段 CF 的长为 . 3 解析:由切割线定理,可知 AE =EB·ED=EB(EB+BD),即 6 =EB(EB+5),所以 EB=4, 由 AE 为圆的切线, AB=AC, 可得∠EAB=∠ACB=∠ABC.所以 AE∥BC.又 AC∥BD, 则 AC∥BE, 可得四边形 AEBC 是平行四边形.所以 AC = AB = EB = 4 , BC = AE = 6. 由 BD∥AC,可得 AC CF 4 CF 8 △AFC∽△DFB,则 = ,即 = ,所以 CF= . BD FB 5 6-CF 3
2 2

一、选择题 1.△ABC 的三边长分别为 2, 6,2,△A′B′C′的两边长分别为 1 和 3 ,如果
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△ABC∽△A′B′C′,那么△A′B′C′的第三边长为(A) A. 2 B. 2 2 C. 6 2 D. 3 3 2 6 2 = ,则△A′B′C′的第三边长为 = 2. 1 3 2

解析:∵△ABC∽△A′B′C′,则

2.点 E 是平行四边形 ABCD 的边 BC 延长线上的一点,AE 与 CD 相交于点 G,则图中的相 似三角形共有(C)

A.2 对

B.3 对

C.4 对

D.5 对

3.如图所示,菱形 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,M,N 分别是边 AB,AD 的中点, 连接 OM,ON,MN.则下列叙述正确的是(C)

A.△AOM 和△AON 都是等边三角形 B.四边形 MBON 和四边形 MODN 都是菱形 C.四边形 AMON 和四边形 ABCD 是相似形 D.四边形 MBCO 和四边形 OCDN 都是等腰梯形 4.如图,AB 是半圆 O 的直径,C,D 是半圆上的两点,半圆 O 的切线 PC 交 AB 的延长线 于点 P,∠PCB=25°,则∠ADC 为(B)

A.105° B.115° C.120° D.125°

7

5.如图,AB 是⊙O 的直径,EF 切⊙O 于 C,AD⊥EF 于 D,AD=2,AB=6,则 AC 的长为 (C)

A.2 B.3 C.2 3

D.4

6.如图,直线 BC 切⊙O 于点 A,则图中的弦切角共有(D)

A.1 个

B.2 个

C.3 个

D.4 个

二、填空题 7.如图所示,已知在△ABC 中,∠C=90°,正方形 DEFC 内接于△ABC,DE∥AC,EF∥ BC,AC=1,BC=2,则 AF∶FC=1∶2.

AD 2 2 8.如图,在△ABC 中,已知 DE∥BC,△ADE 的面积是 a ,梯形 DBCE 的面积是 8a ,则 AB 1 = . 3 解析:∵S 梯形 DBCE=8S△ADE,∴S△ABC=9S△ADE,∴S△ADE∶S△ABC=1∶9.∵DE∥BC,∴△ADE∽△ S△ADE ?AD?2 1 AD 1 ABC.∴ =? ? = .∴ = . S△ABC ?AB? 9 AB 3

8

9.如图所示,已知△ABC 内接于圆 O,点 D 在 OC 的延长线上,AD 是圆的切线,若∠B =30°,AC=2,则 OD 的长为 4. 解析:连接 OA,则∠COA=2∠CBA=60°.又 OC=OA,故△COA 为正三角形,所以 OA= 2.又因为 AD 是⊙O 的切线,即 OA⊥AD,所 OD=2OA=4. 10.如图所示,PT 切⊙O 于点 T,PA 交⊙O 于 A,B 两点且与直径 CT 交于点 D,CD=2, AD=3,BD=6,则 PB=15.

三、解答题 11.如图,AB 是圆 O 的直径,C,D 是圆 O 上位于 AB 异侧的两点.证明:∠OCB=∠D.

证明:因为 B,C 是圆 O 上的两点,所以 OB=OC. 故∠OCB=∠B. 因为 C,D 是圆 O 上位于 AB 异侧的两点, 故∠B,∠D 为同弧所对的两个圆周角,
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所以∠B=∠D.因此∠OCB=∠D. 12.如图,AB 是圆 O 的一条直径,C,D 是圆 O 上不同于 A,B 的两点,过点 B 作圆 O 的切线与 AD 的延长线相交于点 M,AD 与 BC 相交于 N 点,BN=BM.求证: (1)∠NBD=∠DBM; (2)AM 是∠BAC 的角平分线.

证明:(1)∵AB 是圆 O 的直径,∴∠ADB=90°. 而 BN=BM,∴△BNM 为等腰三角形. ∴BD 为∠NBM 的角平分线,即∠NBD=∠DBM. (2)BM 是圆 O 的切线, ∠DBM=∠DAB? ∠DBC=∠DAC?? ∠DAB=∠DAC? AM 是∠CAB 的角平分线. ∠DBC=∠DBM? ?

?

13.已知点 C 在圆 O 直径 BE 的延长线上,CA 切圆 O 于 A 点,∠ACB 的角平分线分别交 AE,AB 于点 F,D. (1)求∠ADF 的度数; AC (2)若 AB=AC,求 的值. BC

解析:(1)∵AC 为圆 O 的切线, ∴∠B=∠EAC. 又 DC 是∠ACB 的平分线, ∴∠ACD=∠DCB. ∴∠B+∠DCB=∠EAC+∠ACD,即∠ADF=∠AFD.

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又 BE 为圆 O 的直径,∴∠BAE=90°. 1 ∴∠ADF= (180°-∠BAE)=45°. 2 (2)∵∠B=∠EAC,∠ACB=∠ECA, ∴△EAC∽△ABC,又∵AB=BC,∴∠B=∠ACB, ∴∠B=∠ACB=∠EAC, 由∠BAE=90°及三角形内角和知∠B=30°, AC 3 ∴在 Rt△ABE 中, =tan ∠B= . BA 3

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