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关于均值不等式的历史注记


年第



中学 教研

数学

数学 史话 二 数学 史 话 二 数 学 史活 二 敬学 史话 二 狱学史 话 二 傲学史话 二 掀学 史话 二 掀学 史话 二 欣学史话 二 数 学史 话 二 数学 史 话 二 数学 史话 二 欺学史话 二 狱李史 话
教 研 吸 中 学 中
?
?

胜 研 胶 中 学 中
?

关 于 均 值 不 等 式 的 历 史
汪晓 勤
华 东 师 范 大 学数 学 系

注 记

数学史 话 二 数学史 话 二 数学史话 二 放学史话 二 数学史话 二 数学 史话 二 数学 史话 二 掀学史 话二 欺举史 话 二 数学史话 二 欲学 史话 二 盈攀 史话 二 欺学史活 二 丘学 史话

对 于今 天 的 数 学 学 习 者 来 说 阅 读古 代数 学文
,

于 是得

,



因此

献似 乎 已 经没 有什 么 意义 学 习 平 面 几 何 不 必 拿欧
几里 得
,

,

护 尸



,



世纪 《 几何 原 本 》 当课 本 学 球

,

从 上述 证明过 程 中 我们也 得到 了下 面的 命题

, ,

体积 不 必 去 弄 懂 阿 基 米 德 儿 分 不 必 去 啃 牛顿
, ,







,



,

,

,

,

为正 数
,

,




,

,

论球与 圆柱 》 中冗 长 的 数十 个命 题 学 习微 积

,

构 成等 差 数列
,

,

,

。,

构 成等 比数 列 则
, ,

高深 的

《 自然哲学之 数 学 原理 》学 习 数 论 不 必去 钻 研 高 斯

,
,

命题
差 数列
,




,

是 两 条 已 知 线段



,



的《 算 术研究 》 学 习 函 数
,

之间 插人两 个算术 中项 则 护
, ,





,

。,

构成 等

定 义 不必 参 考欧 拉
, ,



的 无穷


分析引论 》 但 是 对 于 那 些 从 事数 学 教 育 的人 们来 说 无 论 如何 都 不 能 因为这 些历 史 文献 是 过去 的数 学 而认 为 它 们 了 无价值 事 实 上 历 史 是 一 个 宝 藏
,

事 实上 矿
底 凡
伴叉



另 一 方 面 早在公元前

世 纪 数 学 家希 波克 拉

,



,

,

在 寻 求 三 大几 何 难题之 一

其 中蕴 涵着取之 不尽 的思 想 养 料 挖 掘 这些 养 料 服 务 于今 天 的 数 学教学 乃 是 数 学教 育 取 向 的数学 史
研究 的 目标之一
,

,

方问题 的解法 时 即 发 现下 面的



倍立

命题
中项 和


若在 两线段

,



之间插人 两 个几何
,

。,

,

构成等 比数列

则护





本 文考察 的 是历史 文献 中 的均 值 不 等 式 这 是
,

一个 中学 生耳 熟能 详 的不 等 式 但 它 的历 史 却 鲜为

,

从 命题



,

我 们 可 以 得 到下 面 的 是两 条 已 知 线 段
,

人知 尽 管 古代 毕 达 哥 拉 斯 学 派 研 究 过 十种 比例 中
项 但 并 没 有 去关 注它 们 之 间 的 大 小关 系 古 代世 界 最 杰 出 的数 学 家阿 基 米 德在 《 论球 与 圆柱 》 中 在证
,

命题





,



,

之 间分别插 入两 个算术 中项 。 和


和 两 个几 何 中项

,

,

则 事 实上 因 护
,

,

,




,












又考


明球 体 积 公式时 利用 了下 面 的结 果

,

虑等差 数 列
,

‘,

,

,

由命 题



命题
差 数列
,




,

是 两 条 已 知线段



, ,



,





厂故
个 中项 的情 形
,

,

之间插 人两 个算术 中 项 和 则护




,



构成 等
,

不 难将 上述 命题 推 广到

命题
列 勺

,


,


,

,

,



,

为 正 项 递减等差 数
,


,

但阿 基 米 德本人 并没 有给 出 上 述结 果的 证 明
世 纪 数学 家 欧 多 修斯 在对 《 论 球 与圆 柱 》
。 。
,


,

,



,

为 正 项 递减 等 比 数 列 则



,



,

,



,

,

所作 的注 中给 出如 下 的 证 明 设

一 。

命题 可 用 欧 多 修斯 的方 法 来证 明



满足


,

命题 之间 插 人




,

是 两条 已 知 线 段
, ,

,

在 则 少

,

。 一

一 一


个 算术 中项
, ,




,

,

,


。 。



,




“ 一 。



又因



,


,


,

,,

,

其中 ‘









,




,

,

,


,

,

‘,

为等 比 数 列 则 由命 题
,

,



,





,

,

,

,



,

中学教 研 数 学
于是


年第

,


,

”十



丫’
’,





,

,

两 个 质点

作 直线 运 动

,

作 匀速 运 动 而
,



,

,

作 加 速 运 动 且 具有 这样 的 性质 随 着 时 间的 变 化
,
,

位 移按 照 等 比数 列变 化 每经 过 一个 相 等 的时 间间


命题




隔 位 移都增 加到 前 一 个 位 移 相 同 的 倍 数 易 见 其
,

使
,
,

是 两 条 已 知线段
,
, ,


,


, ,

,

质点

质点

之 间分别插 人

个算术 中 项

,
,




,

个几
,

何中项
,

,

,




” 十







,





Z b . . ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ . . 净
t;
, + 了 t,

a


卫 亡



后万

卜~ ~

l+ t , t 2



事实上 反 复应 用 命题
,

,

我们 有














,







,

图3 兮

贾 飞



a Z ;

了 飞 石



一 生 占

呈故 a
,
a



2

(





1

:

a

飞1


<

a

Z

:

6

二 a
’ 3

呈1
a 3 ;



:

a ;

一 2

吞<

一 a生

l

:

: s : 运动规 律为 = 0 矿( 。 为 常数 设 在时刻 t, 质点 A 和 B 的 位移 大小 都 是 b 而 在 时 刻 勺 ( 勺 . > t l ) 质点 A 和 B 的 位移大小都是 a (a > b ) 命题
,
, .

q

q

>

) 1

,

,

,

a







2

一 吞= a 飞 ’ : a



号’ 故 a

,

tl 8 的物 理意义是 :若将 〔
,

,

t Z

〕 等分 成 n + 1 段 则 从
, ,

<


a




1

:

a

< a 乙
一 l : a


l 开 始 每 经 过 一 个 相同 的时 间 段 质 点 A 总 时刻 t . : 于 是位 质点 B 的 前 面 对 应 于 , 二 1 的情 形即 为 在

,



l

: b


, <


a , .



1

:

a

,



, b

<



一 1

:

tl+ tZ
两个 时 刻 的 中点

,



, b





蕊故
>

,

a

,



2
,

命题 8 的结论 中的不 等式 即为



。 b > 0 >
,

黔 护和 而
,

n+ l
1
, 2 ,

梦于石乡(

、-

. 事 实 上 这个大 小关 系是 很 直 观的 因为质 点 B
,
,

宁 而
,

>

质点 A 和 B 的 位 移 大 小 分
?



,

是 作加 速运 动 的 所 以 它在 前半段 时 间 的 平均 速 度 小 于 后 半 段 的 平 均速 度 前半 段时 间所 走 过 的 距 离
必 小 于 后 半 段 所走过的距离 即在 时 间 中点 质 点 B . 没 有 到 达 位 移中点
,

n ) ,

显然 当

n二

1

时 上 述 不 等 式 就 是我 们熟 知 的

,

均值 不 等式


:
, b > 0 , a




十 b

>丫 石 石 (a > 0

并b )
,

历史 上的一 些 精 彩 的 思 想 方法 往 往 尘 封 于 古 籍 难 见于 今 天 的 数 学教 材 而这 些 思想 方 法 却 并 没 . 有过时 今 天 仍 可 用 于课 堂 教学 通过对历 史 文 献中
, ,

我 们 常常通 过 作 差 或 借助 几 何 模 型 (如 图 l 和
2 参 阅 文献 【 3」 )来 证 明 这个 不 等 式 但 从 上 面 的研
,

,

究 中我 们 获得 了 一种 新 的证 法





,

均值 不 等式 的 考察 我 们 不 仅知 道 了 一种 6 世纪 数
,

学家给 出的证 明 而 且看 到 了包 含 该 不 等 式 的更 一

,

般的情形及 其 物理 模 型 从 而 对均 值不 等 式 有 了更
,

深刻 的理解 无 可否 认 数学 教育取 向的 数学 史研 究 . 开 阔 了 我们 的 知识视野



,

图1 图2 a 不 妨 设 > b 记等差 中项为 A 等 比 中项 为 G 又 设 x 满 足 丁 A = A :x 则
,


,





献 .

,

,

1

H 份t h

(a
,

一 A

)

:a =

(A

一 x 一 x
,

)

:A

. 一 b > 一

环 O刁 , 匕 f o l on‘ t y b rk :L b v e r P c a u l b i
, T L

.

.



e

A
9

h c r

刀 i 砚妙

N七 w

,

1

9

5

x

,

a 因 > A 故 a一A > A . 于 是得 x > b 从 而 a Z 2= a ab : x < : A :
,

或即 A
2

A

2

汪 晓 勤 林祥 临
,

.

: 中学 数 学 中 的 数 学史 北 京 科

.

学 出版社


, 2 0 0 2

护: G

, A ) G

. 3

另 一 方 面 命题 8 也给 了 我 们 一 个 启 示 设 想 有

.

关 于 五 种 中项 大 小 关 系 的 若 干 . 几 何 解 释 中 学数 学杂 志
汪 晓勤 陈剑飞
, 2 o ( 4 ) 7

,


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