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专题03++函数性质灵活应用-名师揭秘2019年高考数学(理)命题热点全覆盖(教师版)

专题 03 函数性质灵活应用
一.陷阱描述 1.概念类陷阱,包括直接用两个特值就证明函数的单调性、单调区间的开闭、单调区间使用“ ”符号等 几点内容,要深刻理解这几 个概念的内涵。

(1)利用两个特值证明单调性。函数单调性是指在函数定义域的某个区间上任意取两个值 且





则函数 是增函数;若

则函数 是减函数。

(2)单调区间的开闭。求函数的单调区间时,如果在端点处有定义为闭,如果在端点处没有定义为开。 (3)单调区间使用“ ”符号。函数的单调区间有多个时,不能用“ ”符号,只能用“和”“,”连接。 分类讨论陷阱,含参数的讨论问题。在处理含参数函数单调性问题时,讨论时要做到不重不漏。 隐含条件陷阱,求函数的单调区间必须在函数的定义域范围内讨论。 等价转化陷阱,分段函数的连接点。在处理分段函数单调性时,注意连接点函数值。 迷惑性陷阱,函数的主变元问题。给出含 和其它字母的不等式中,如果已知其它字母的范围求的范围时, 往往是把那个字母作为自变量。 2.定义域限制陷阱 3.特殊的函数值问题 4.利用性质解决抽象函数问题 5.函数的单调性、奇偶性周期性的联合应用 6.函数性质与导数综合 7.数形结合求参数 8.恒成立求参数 9 .单调性求参数,区间的开闭(概念类) 10. 分段函数的连接点(等价转化) 11.主变元问题(迷惑性)
二.陷阱例题分析及训练

(一)函数图象问题

例 1.函数 f(x)=lnx- x2 的图像大致是( )

A.

B.

【答案】B

C.

D.

【点评】由解析式确定函数图象的判断技巧:(1)由函数的定义域,判断图象左右的位置,由函数的值域, 判断图象的上下位置;(2)由函数的单调性,判断图象的变化趋势;(3)由函数的奇偶性,判断图象的对 称性;(4)由函数的周期性,判断图象的循环往复. 练习 1.【湖南省长沙市一中 2019 届高三高考模拟】如图,有一直角墙角、两边的长度足够长,若 P 处有一 棵树与两墙的距离分别是 4m 和 am(0<a<12),不考虑树的粗细.先用 16m 长的篱笆,借助墙角围成一个矩
形花圃 ABCD,设此矩形花圃的最大面积为 u,若将这棵树围在矩形花圃内,则函数 u=f(a)(单位: m2 )
的图象大致是( )

A.

B.

C.

D.

【答案】C

【解析】设 AD 长为 x ,则 CD 长为16 ? x ,又因为要将 P 点围在矩形 ABCD 内,∴ a ? x ?12 ,

则矩形 ABCD 的面积为 x?16 ? x? ,当 0 ? a ? 8 时,当且仅当 x ? 8 时, u ? 64 ,当 8 ? a ?12 时,



,分段画出函数图形可得其形状与 C 接近,故选 C.

点评:本题主要考查了函数在实际生活中的应用,解决本题的关键是将面积的表达式求出来,结合自变量

的取值范围,分类讨论后求出面积的解析式;求矩形 ABCD 面积的表达式,又要注意 P 点在长方形 ABCD
内,所以要注意分析自变量的取值范围,并以自变量的限制条件为分类标准进行分类讨论.判断函数的图 象即可.

练习 2.若函数

的图像如图所示,则实数 的值可能为( )

A.

B.

C.

D.

【答案】B

点评:本题在求解时,充分利用题设中提供的函数的图像信息,没有直接运用所学知识分析求解,而是巧

妙借助单项选择题的问题特征,独出心裁的运用了答案排除法使得问题的求解简捷、巧妙而获解。

2. 特殊函数值(概念类)

例 2.【衡水 2019 模拟试题】已知函数 是定义在 上的奇函数,且

是偶函数,若

,则

的值为

A.

B.

C.

D.

【答案】D

【解析】 函数 是定义在 内的奇函数,

是偶函数,

,且

的周期为

故选

练习 1.已知函数

是单调函数,且

A.0 【答案】D

() B.6

C.12

对 x? R 恒成立,则
D.18

【解析】:∵函数
唯一的常数 c ,使得

是单调函数,且 ,即

对 x ? R 恒成立,∴存在
,则 f ?c? ? 14 ,即

,得 ,故选 D.
3.定义域陷阱
例 3.【福建 2019 模拟】已知函数

,解得 c ? 3,则
在区间?2, 4? 上是增函数,则实数 a 的取值范围是( )

A. 【答案】B

B. (1, ??) C. ( 1 ,1) D. (0, 1)

4

8

【解析】令

,且 a ? 1) ,当 a ?1时,由 g ? x? 在?2, 4? 上单调递增,根据对数函数的

?

?g ?2? ? 0

定义域、复合函数的单调性及二次函数的单调性可得

? ?

g

?

4?

?

0

,解得

a

?

1

,当

0

?

a

?

1时,由

g

?

x

?



? ?

1

?2

? 2a

?

?g ?2? ? 0

?

2,

4?

上单调递减,可得

? ?

g

?

4

?

?

0

,解得

a

??

,综上可得

a

?

1

,故选

B.

? ?

1

?4

? 2a

考点:1、对数函数的定义域、复合函数的单调性及二次函数的单调性;2、不等式的解法.

【方法】本题主要考查对数函数的定义域、复合函数的单调性及二次函数的单调性、不等式的解法,属于 难题.复合函数的单调性的判断可以综合考查两个函数的单调性,因此也是命题的热点,判断复合函数单调 性要注意把握两点:一是要同时考虑两个函数的的定义域;二是同时考虑两个函数的单调性,正确理解“同
增异减”的含义(增增 ? 增,减减 ? 增,增减 ? 减,减增 ? 减).
练习 1.【河南省名校联盟 2019 届高三年级 11 月调研】已知定义在 R 上的函数 f(x)的图象关于 y 轴对称, 且函数 f(x)在(-∞,0]上单调递减,则不等式 f(x)<f(2x-1)的解集为

A.(-∞, )∪(1,+∞) B.(-∞,-1)∪(- ,+∞)

C.( ,1) 【答案】A

D.(-1,- )

【分析】函数图像关于 轴对称,故函数在

上递增,由此得到

不等式.

【解析】依题意,函数 是偶函数,且 在

上单调递增,

,两边平方后可解得这个



,故选 A.

【点评】本小题主要考查函数的对称性,考查函数的单调性以及绝对值不等式的解法,属于中档题.

4.利用性质解决抽象函数问题

例 4.【2019 山东模拟】给出下列说法:

①集合

与集合

是相等集合;

②若函数 f (x) 的定义域为[0,2],则函数 f (2x) 的定义域为[0,4];

③函数

y

?

1 x2

的单调减区间是



④不存在实数 m ,使

为奇函数;

⑤若

,且 f (1) ? 2 ,则

.

其中正确说法的序号是( )

A.①②③

B.②③④

C.①③⑤

D.①④⑤

【答案】D

【解析】①中 A 集合与 B 集合都表示所有奇数组成的集合,是相等集合.②中若函数 f (x) 定义域为[0,2], 由

2x ?[0,2] 得 x ?[0,1] 即 函 数 f (2x) 的 定 义 域 为 [0,1] , 故 错 误 . ③ 函 数 y ? 1 的 单 调 减 区 间 是 x2

故错误.④函数

的定义域为 R,若函数为奇函数,则

矛盾,所以对任意实数 m,函数

不会是奇函数,故④错误.⑤若



所以

练习 1.已知定义在区间

上的函数

(1)求 的值;

(2)证明: 为单调增函数;

满足

,故正确.选 D.

,且当 时,

.

(3)若

,求 在

上的最值.

【答案】(1)f(1)=0.(2)见解析(3)最小值为﹣2,最大值为 3.

【解析】(1)利用赋值法进行求

的值;

(2)根据函数的单调性的定义判断



上的单调性,并证明.

(3)根据函数单调性的性质,并利用赋值法可得函数的最值.

试题解析:(1)∵函数 f(x)满足 f(x1?x2)=f(x1)+f(x2),

令 x1=x2=1,则 f(1)=f(1)+f(1),解得 f(1)=0.

(2)证明:(2)设 x1,x2∈(0,+∞),且 x1>x2,则 >1,

∴f( )>0,

∴f(x1)﹣f(x2)=f(x2? )﹣f(x2)=f(x2)+f( )﹣f(x2)=f( )>0,

即 f(x1)>f(x2), ∴f(x)在(0,+∞)上的是增函数. (3)∵f(x)在(0,+∞)上的是增函数.



,则 f( )+f( )=f( )=﹣2,

即 f( ?5)=f(1)=f( )+f(5)=0, 即 f(5)=1,

则 f(5)+f(5)=f(25)=2, f(5)+f(25)=f(125)=3,

即 f(x)在

上的最小值为﹣2,最大值为 3.

【点睛】本题主要考查函数单调性的定义和性质,以及抽象函数的求值,其中利用赋值法是解决抽象函数 的基本方法,而利用函数的单调性的定义 和单调性的应用是解决本题的关键.

练习 2.已知函数 f(x) 是定义在 R 上的不恒为零的函数,且对于任意实数 x ,y 满足:

为等差数列;④数列 {b n } 为等比数列。

以上命题正确的是



【答案】②③④

,考查下列结论:① f(1)=1;② f(x) 为奇函数;③数列{an}

【解析】①因为对定义域内任意 x , y , f(x) 满足

,∴令 x ? y ? 1,得 (f 1)? 0 ,

故①错误;②令 x ? y ? ?1,得 (f ?1)? 0;令 y ? ?1,有

,代入 (f ?1)? 0得

? ? f 2n
,故 (f x)是(? ?,? ?)上的奇函数.故②正确;③若 an= 2n (n ? N*) ,则

故数列{an} 为等差数列,故③正确;④∵ (f 2)? 2 ,
,则

为常数,
,∴当 x ? y 时,


,…,则

,若

,则

为:②③④.

为常数,则数列?bn? 为等比数列, 故④正确,故答案

【方法点晴】本题主要考查抽象函数的应用,抽象函数是指没有给出函数的具体解析式,只给出了一些体

现函数特征的式子的一类函数.由于抽象函数表现形式的抽象性,使得这类问题成为函数内容的难点之

一.①尽可能把抽象函数与我们数学的具体模型联系起来,如

,它的原型就是

y ? kx ;②可通过赋特殊值法使问题得以解决,在该题中结合等比数列和等差数列的定义,结合抽象函数

的关系进行推导是解决本题的关键.
5.函数的单调性、奇偶性周期性的联合应用

例 5. 已知函数 f ? x? 的定义域为 R 的奇函数,当 x??0,1? 时, f ? x? ? x3 ,且 ?x ? R ,





()

A. ? 1 B. 1 C. 0 D. 1

8

8

【答案】B

【解析】∵ f ? x? 的定义域为 R 的奇函数,∴

,即



把 x 换成 x-2,可得:

,又





,故函数周期为 T=4

,又



,当 x??0,1? 时, f ? x? ? x3 ,



1

8

【防陷阱措施】抽象函数的周期性:(1)若

(2)若

,则 f ? x? 函数周期为

,则函数 f ? x? 周期为 T;

(3)若

,则函数的周期为 2a ;

(4)若

,则函数的周期为 2a .

练习 1. 已知偶函数 f ? x? 与奇函数 g ? x? 的定义域都是 ??2, 2? ,它们在?0, 2?上的图象如图所示,则使关于

x 的不等式

成立的 x 的取值范围为( )

A.

B.

C.

D.

【答案】C

【解析】如图所示:当 0 ? x ?1时, f ? x? ? 0 , g ? x? ? 0 ,

;当1? x ? 2 时, f ? x? ? 0 ,

g?x? ? 0,

,故当 x ? 0 时,其解集为 ?1, 2? ,∵ y ? f ?x ? 是偶函数, y ? g ? x? 是奇函

数,∴ f ? x?? g ? x? 是奇函数,由奇函数的对称性可得:当 x ? 0 时,其解集为 ??1,0? ,综上:不等式

的解集是

,故选 C.

练习 2. 已知函数 f ? x? 是定义域为 R 的偶函数,且



? ? , c ? f 20.5 ,则( )

A. a ? c ? b B. a ? b ? c C. b ? c ? a D. b ? a ? c

【答案】A

,若 f ? x? 在??1,0? 上是减函数,记

练习 3.已知 f ? x? 是定义在 R 上的偶函数,并且 则 f ?2017.5? 的值为______.
【答案】3

【解析】由

,得

,当 2 ? x ? 3 时,



,所以 f ? x? 是周期为 4

的周期函数.

.

又 f ? x? 是定义在 R 上的偶函数,所以

.

所以

.

6.函数性质与导数综合

例 6.【2018 雅安模拟】已知函数

?x1 ??m ,n?,
A.4 【答案】A

,使得 B. 2 3

,实数 m , n 满足 m? n?0 ,若

成立,则 n ? m 的最大值为( )

C. 4 3

D. 2 5

【解析】

, 则 当 0 ? x ?1 时 , g '?x? ? 0 ; 当 x ?1 时 , g '?x? ? 0 ,



.

,作函数 y ? f ? x? 的图象如图所示,当 f ? x? ? 2 时,方程两根

分别为 ?5 和 ?1,则 n ? m 的最大值为 ?1? ??5? ? 4 .故选 A.

考点:函数的图象和性质. 【方法点晴】本题考查函数导数与单调性.确定方程根的个数问题:可利用数形结合的办法判断交点个数, 如果函数较为复杂,可结 合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.方程的有解问题就是判断 是否存在零点的问题,可参变分离,转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题 的问题,往往可利用参变分离的方法,转化为求函数最值处 理.也可构造新函数然后利用导数来求解.注意 利用数形结合的数学思想方法.

练习 1.若三次函数
A. ???,0? B. ???,1?

在 ???,? ?? 上是减函数,则 m 的取值范围是( )

C. ???,0?
【答案】A

D. ???,1?

【解析】试题分析:因为三次函数

在 ???,? ?? 上是减函数,所以有

,得

故选 A.

考点:利用导数研究函数的单调性.

练习 2.已知函数

,若对任意的

,且 x1 ? x2 时,

,则实数 a 的取值范围为( )

A.

? ?? ?

e2 4

,

e2 4

? ? ?

B.

? ?? ?

e2 2

,

e2 2

? ? ?

C.

? ?? ?

e2 3

,

e2 3

? ? ?

D. ???e2, e2 ??

【答案】B

【解析】由题意得 y ? f ? x? 在 ?1, 2? 上单调递增;当 a ? 0 时, f ? x? 在 ?1, 2? 上单调递增,所以由

;当 a ? 0 时,

,由

,因此 f ?x?

的单调增区间为

? ?? ?

e2 2

,

e2 2

? ? ?

,选 B.

,所以由

;综上实数 a 的取值范围为

练习 3.设函数

为自然对数的底数),定义在 R 上的连续函数 f ? x? 满足:

,且当 x ? 0 时, f '?x? ? x ,若存在

,使得

,则实数 a 的取值范围为( )

A. 【答案】B

B. ???,e ? 2?

C.

? ??

??,

e

?

1 2

? ??

D.

【解析】设

,则

,故函数

是区间 ???,0? 上

的 单调递减函数,又



,则函数

是奇函数,所以函数

是区间 ???, ??? 上的单调递减函数;由题设



可得:

,所以问题转化为

在 ? ??,1?

上有解,即 a ? ex ? 2x 在 ???,1? 上有解,令

,则

,故

在 ???,1? 上答单调递增,则

,应选答案 B。

点睛:解答本题的关键是对题意的理解,求解时先构造函数

,后对其求导,判断其函数

? ? 的单调性,进而将不等式进行等价转化,然后将问题进行等价转化为 a ? ex ? 2x 在 ??,1 上有解,然后运

? 用导数求出函数 a ? ex ? 2x 在 ???,1 上的值域,使得问题获解。
7.数形结合求参数

例 7. 【2019 湖南师大附中模拟】已知函数

的取值范围是



【陷阱提示】把不等式看成是关于 m 的不等式..

在 ?0 ,2? 上是减函数,则实数 a

【防错良方】本题含有两个变量 m, x ,因为对任意的 m?[?1,1] 不等式恒成立,所以主变元是 m ,而不是 x ,

本题及其容易习惯把 x 当主变元,看成是 x 关于的二次不等式,从而我解题带来麻烦.


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