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2017高三数学(理)一轮复习课件: 三角恒等变换


4.6

三角恒等变换

第四章

4.6

三角恒等变换
知识梳理 双击自测 核心考点

考纲要求

-2-

考纲要求:能运用两角和与差及二倍角的三角函数公式进行简单的 恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但不要求记 忆).

第四章

4.6

三角恒等变换
知识梳理 双击自测 核心考点

考纲要求

-3-

1.公式的常见变形 (1)tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β) tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β) .
1-cos2 ; 2 1+cos2 cos2α= ; 2 1 sin αcos α= sin 2α. 2 (3)1+cos α=2cos2 ; 2 1-cos α=2sin2 ; 2 2 1+sin α= sin + cos ; 2 2 2 1-sin α= sin -cos . 2 2

;

(2)sin2α=

第四章

4.6

三角恒等变换
知识梳理 双击自测 核心考点

考纲要求

-4-

2.辅助角公式

asin x+bcos x= 2 + 2 sin(x+φ). 其中 sin φ=
2 +
2

,cos φ=



2 +

2

.

第四章

4.6

三角恒等变换
知识梳理 双击自测 核心考点

考纲要求

-5-

1 2 3 4 5

1.下列结论正确的打“ ”,错误的打 “×”. (1)y=3sin x+4cos x 的最大值是 7. ( × ) (2)当 α 是第一象限角时,sin = (3)对任意角 α,tan2 =
2 1-cos .( × 2 2 1-cos 都成立. ( × ) 1+cos

)

(4)半角的正余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来 的. ( ) (5)公式 asin x+bcos x= 2 + 2 sin(x+φ)中 φ 的取值与 a,b 的 值无关. ( × )

第四章

4.6

三角恒等变换
知识梳理 双击自测 核心考点

考纲要求

-6-

1 2 3 4 5

2.(2015贵州适应性考试)已知θ∈(0,π),且 sin - = ,则tan 4 10 2θ=( )
4 A. 3 3 B. 4 24 C. 7 24 D.7

π

2

关闭

因为 sin

π 4

- =
7

2 2

(cos θ-sin θ)= ,所以 cos θ-sin θ= .
π 4

2

1 5

又 θ∈(0,π),则 θ∈ 0,
25

,2θ∈ 0,
24 7

10 π 2

,两边平方得 sin 2θ= ,
25
关闭

24

所以 cos 2θ= ,tan 2θ= ,故选 C. C
解析

答案

第四章

4.6

三角恒等变换
知识梳理 双击自测 核心考点

考纲要求

-7-

1 2 3 4 5

(

3.函数 f(x)=sin2x+ 3sin x cos x 在区间 , 上的最大值是 4 2 ) A.1 B.
1+ 3 2

π π

C.

3 2

D.1+ 3

关闭

f(x)=

1-cos2 2 π π 4 2

+
1

3 2

sin 2x=sin 2π 6 π 5π 3

π 6

+ .
2
关闭

1

又 x∈ ,

,∴2x- ∈
3

,

6

,

C f(x)max=1+ = .故选 C. ∴ 2 2
解析 答案

第四章

4.6

三角恒等变换
知识梳理 双击自测 核心考点

考纲要求

-8-

1 2 3 4 5

(

4.如果 α∈ ,π ,且 sin α= ,那么 sin + +cos + 等于 2 5 4 4 )
4 2 A. 5 4 2 B.5 3 2 C. 5 3 2 D.5

π

4

π

π

关闭

由已知,得 cos α=- , 则 sin +
D
解析 答案
π 4 5

3

+cos +

π 4

= 2sin + +
4

π

π 4

= 2cos α=-

3 5

2.

关闭

第四章

4.6

三角恒等变换
知识梳理 双击自测 核心考点

考纲要求

-9-

1 2 3 4 5

5.已知sin α+cos α=

3 3

,则sin 2α=

.

关闭

∵sin α+cos α= 3 ,
2 3

3

∴(sin α+cos α)2= 3.
2

1

∴ - 2sin αcos α=-3,即 sin 2α=- 3.
解析 答案

2

关闭

第四章

4.6

三角恒等变换
知识梳理 双击自测 核心考点

考纲要求

-10-

1 2 3 4 5

自测点评 1.求三角函数式的最值,常常通过三角恒等变换化简成只含有一 种三角函数的代数式,这化简过程中往往用到公式asin x+bcos

x= 2 + 2 sin(x+φ),其中 sin φ=



2 +2

,cos φ=




2 +2

.

2.倍角的形式是多样的,比如:2α是α的倍角,α是 的倍角,4θ是2θ 2 的倍角,45°是22.5°的倍角等. 3.三角变换的过程主要是减元的过程,主要思路是把异角、异次、 异名化为同角、同次、同名.

第四章
考点1 考点2 考点3

4.6

三角恒等变换
知识梳理 易错易混 双击自测 核心考点

考纲要求 知识方法

-11-

考点1三角函数式的化简、求值

例 1(1)化简:

(1+sin+cos) sin2 -cos2 2+2cos





(0<θ<π)=

.

关闭

原式 =


2sin cos +2co s 2

2

2

2 2

sin -cos

2

2

4co s 2 si n 2 -co s 2
cos 2 2 2

=cos ·
2

=

-cos · cos
cos 2

2

.
关闭

因为 0<θ<π,所以 0< < .
-cos θ 所以 cos >0,所以原式=-cos θ.
2 2 2

π

解析

答案

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三角恒等变换
知识梳理 易错易混 双击自测 核心考点

考纲要求 知识方法

-12-

(2)化简:

2 π+ 2tan π sin 4 4

2cos4 -2cos2+1 2

=

.

关闭

原式=
1 2

1 2 π π 2 2sin - co s - 4 4 π cos - 4

-2si n 2 co s 2 +

=

1 (1-si n 2 2 ) 2 π π 2sin - cos - 4 4

=

1 co s 2 2 2 π sin -2 2

= cos 2x.
2
关闭

1

cos 2x
解析 答案

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4.6

三角恒等变换
知识梳理 易错易混 双击自测 核心考点

考纲要求 知识方法

-13-

1 (3)已知 sin α= +cos 2
1

α,且 α∈
1 2

π 0, 2

cos2 ,则 sin -π 4

的值为

.

解析 : (方法一 )∵sin α= +cos α,

∴sin α-cos α= 2,
π

∴ 2sin - 4 = 2,∴sin - 4 =
又 α∈ 0,
π

1

π

2 4

.

∴cos - 4 =
cos2 sin π 4

2 π

,∴α- ∈ - ,
4 14 4

π

π π 4 4

,
π π 2 14 4 7

,
π

∴cos 2α=-sin 2 - 4 =-2sin - 4 cos - 4 =-2× 4 × ∴
=
7 4 2 4

=- .
4

=-

14 2

.

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考点1 考点2 考点3

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三角恒等变换
知识梳理 易错易混 双击自测 核心考点

考纲要求 知识方法

-14-

(方法二 )∵sin α= +cos α,

1 2

∴sin α-cos α= 2, ∴2sin αcos α= 4, ∵α∈ 0, 2 ,
π 3

1

∴(sin α-cos α)2=1- 2sin αcos α=4,

1

∴sin α+cos α= sin2 + cos2 + 2sincos = 1 + 4 = ∴
cos2 sin
π 4

3

7 2

,

=

(cos +sin )(cos -sin )
2 (sin -cos ) 2

=- 2(sin α+ cos α)=-

14 2

.

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考点1 考点2 考点3

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三角恒等变换
知识梳理 易错易混 双击自测 核心考点

考纲要求 知识方法

-15-

思考:三角函数式化简、求值的基本思路是什么?化简的一般标 准是怎样的? 解题心得:1.三角化简、求值的一般思路:异名三角函数化为同名 三角函数,异角化为同角,异次化为同次,切化弦,特殊值与特殊角的 三角函数互化. 2.三角化简的标准:三角函数名称尽量少,次数尽量低,最好不含 分母,能求值的尽量求值. 3.化简、求值的主要技巧: (1)寻求角与角之间的关系,化非特殊角为特殊角; (2)正确灵活地运用公式,通过三角变换消去或约去一些非特殊角 的三角函数值.

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考点1 考点2 考点3

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三角恒等变换
知识梳理 易错易混 cos2 -sin2 双击自测 核心考点

考纲要求 知识方法

-16-

对点训练 1 (1)化简:
(2)化简:
1 tan 2 tan2

π π 2tan 4 - cos2 4-

= .

.

· 1 + tan· tan
co s 2 -si n 2

2

=
cos2 cos2

关闭

原式 =2sin (2)
1 tan
2

co s 2 -si n 2
π · co s 2 - 4

π - 4 π cos - 4

=

2sin

π - 4

cos

π - 4

=

cos2
π -2 2 2 cos 2

sin

=

=1.

-tan =

2

· 1 + tan· tan · .

sin 2 2 cos sin cos 2 2 cos 2cos 2 2 2 (1)1 sin (2) cos cos sin sin 2

·

2 cos 2

sin

co s 2 -si n 2

2 2 sin 2 cos cos +sin sin 2 2 cos cos 2

=

cos

-

sin

· 1+

=

·

=

关闭

解析

答案

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考点1 考点2 考点3

4.6

三角恒等变换
知识梳理 易错易混 双击自测 核心考点

考纲要求 知识方法

-17-

考点2三角函数式的求值(多维探究) 类型一 给角求值问题 例2化简:sin 50°(1+ 3 tan 10°)= . 思考:解决“给角求值”问题的一般思路是什么?

关闭

sin 50°(1+ 3tan 10°)=sin 50°·1 + 3· =sin 50° · =sin 50° ·
1 =
2 cos10 °+ 3sin10 °
1 cos10 2

sin10 °

cos10 °

cos10 ° 3 °+ sin10 °
2

cos10 ° 2sin50 °· cos50 ° sin100 ° cos10 °

=

cos10 °

=

cos10 ° cos10 °

关闭

=1.
解析 答案

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考点1 考点2 考点3

4.6

三角恒等变换
知识梳理 易错易混 双击自测 核心考点

考纲要求 知识方法

-18-

类型二 给值求角问题

例 3(1)已知 cos α= 7,cos(α- β)=14,且 0<β<α< 2,则 β=

1

13

π

.

关闭

∵0<β<α< 2 ,∴0<α-β< 2 ,sin α=
又 cos(α- β)= ,
14 13

π

π

4 3 7

.

∴sin(α-β)= 1-cos2 (-) =
= ×
π

3 3 14

.

∴cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)
1 7 13 14

+
π 2

4 3 7

×

3 3 π 3 14

= .
2

1

关闭

又 0<β< ,∴β= . 3
解析 答案

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4.6

三角恒等变换
知识梳理 易错易混 双击自测 核心考点

考纲要求 知识方法

-19-

1 (2)已知 α,β∈(0,π),且 tan(α- β)= ,tan 2

1 β=- ,则 2α-β= 7
1 1

.
关闭

tan ( - ) +tan 1 ? 思考:解决“给值求角 ”问题的一般思路是什么 2 7 ∵tan α=tan [(α-β)+β]= = 1 1 = >0, 1-tan ( - )tan
1 3

1+ ×

∴0<α< 2 .
又 tan 2α=
π 2tan 1-ta n 2

π

2 7

3

=

2× 1-

1 2 3

= >0,
4
3 1 + 4 7 3 1 1- × 4 7

3

∴0<2α< 2 , ∴tan(2α- β)=1+tan2 tan = ∵ 3π tan 4

tan2 -tan π 2

=1.
3π 4
关闭

β=- <0,∴ <β<π,-π<2α-β<0,∴2α- β=- .
7

1

解析

答案

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三角恒等变换
知识梳理 易错易混 双击自测 核心考点

考纲要求 知识方法

-20-

类型三 给值求值问题

例 4(1)(2015 甘肃天水一模)已知 cos
π x+cos 3 2 3 A.- π 3

π 6

3 =- ,则 3

cos
关闭

=(
3

)
2 3 B.± 3

∵cos - 6 =- 3 ,
= cos x+ sin x
2 3 3

C.-1
π π

D.±1

∴cos x+ cos - 3 =cos x+cos x cos 3 +sin x sin 3
= 3
3 2 2

π

cos + sin
π 6 2

1

= 3cos -

= 3× -

3 3
关闭

C 1.故选 C. =-

解析

答案

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4.6

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考纲要求 知识方法

-21-

(2)若 tan A.2 10

1 α+ tan

=

B.

2 10

10 π π ,α∈ , 3 4 2

,则 sin
3 2 10

C.

π 2 + 4 7 2 D. 10

的值为(

)

关闭

由 tan α+
1

1

∴sin cos = ∵α∈
π π 4 2

tan 10 3

=

10 3

,得

sin cos

+
3 5

cos sin

=

10 3

,

,∴sin 2α= .
π 2

,

,∴2α∈
4 π

,π ,
π π 2 3 4 5 5 2
关闭

∴cos 2α=- 5.

∴ A sin 2 + =sin 2αcos +cos 2αsin = × 4 4 4 2

-

=- .
10

解析

答案

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4.6

三角恒等变换
知识梳理 易错易混 双击自测 核心考点

考纲要求 知识方法

-22-

思考:解决“给值求值”问题的关键是什么?“给角求值”问题与“给 值求值”问题有什么联系? 解题心得:1.“给角求值”:一般所给出的角都是非特殊角,从表面上 来看是很难的,但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系,解题 时,要利用观察得到的关系,结合公式转化为特殊角并且消除非特 殊角的三角函数而得解. 2.解“给值求角”问题的一般思路是:先求角的某种三角函数的值; 然后根据已知条件确定角的范围;最后根据角的范围写出所求的角. 在求角的某种三角函数值时,选函数的原则是:(1)已知正切函数值, 选正切函数;(2)已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数.若角的范 π 围是 0, ,选正、余弦皆可;若角的范围是(0,π),选余弦较好;若角 2 π π 的范围为 - , ,选正弦较好. 2 2

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考纲要求 知识方法

-23-

3.求解“给值求值”问题的关键在于“变角”,使其角相同或具有某 种关系;“给值求角”问题实质是转化为“给值求值”,先求角的某一函 数值,再求角的范围,确定角.

第四章
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4.6

三角恒等变换
知识梳理 易错易混 双击自测 核心考点

考纲要求 知识方法

-24-

3 1 对点训练2 (1)(2015河北衡水中学二调) ? cos10° sin170 ° =( ) A.4 B.2 C.-2 D.-4

关闭

3 cos10 °

?

1 sin170 °

=

3 cos10 °

?

1

sin10 °

=

3sin10 °-cos10 ° sin10 °cos10 °

=

2sin (10°-30°)
1 sin20 ° 2
关闭

=1
D2

-2sin20 ° sin20 °

=-4.
解析

答案

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三角恒等变换
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考纲要求 知识方法

-25-

(2)已知函数 f(x)=tan 2 + ,若 α∈ 0, ,且 f =2cos 2α,则 4 4 2 α= .
关闭

π

π



由f

2

=2cos 2α,得 tan +
sin +cos cos -sin π
2

π 4

=2cos 2α,

sin + cos

π 4 π + 4

=2(cos2α-sin2α),

整理得

=2(cos α+sin α)(cos α-sin α).
1 1

∵α∈ 0, 4 ,∴sin α+cos α≠0.
由 α∈ 0,
π

∴(cos α-sin α) = 2,即 sin 2α=2.
π 4

,得 2α∈ 0,
π

π 2

,

∴2α= 6 ,即 α=12.
12

π

关闭

解析

答案

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考纲要求 知识方法

-26-

(3)若 cos

2 α= ,且 α∈(0,π),则 3

cos +sin 的值为 2 2

.

关闭

∵α∈(0,π),∴ 2 ∈ 0, 2 ,∴cos 2 >0,sin 2 >0, ∴cos 2 =
1+cos 2



π





= +

1+ 2 6 6

2 3

=

30

6 30 + ∴cos 2 +sin 2 6

=

30 6

=

6 30+ 6 6

,sin =
2



1-cos 2

=

1-

2 3

2

=

6 6

,
关闭

.
解析

答案

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考纲要求 知识方法

-27-

考点3三角变换在图像与性质中的应用 π 例5(2015天津,理15)已知函数f(x)=sin2x-sin2 - ,x∈R. 6 (1)求f(x)的最小正周期; π π (2)求f(x)在区间 3 , 4 上的最大值和最小值. 关闭 π 思考:解决三角变换在三角函数图像与性质中的应用的基本思路 1-cos 2 1-cos2 1 1 3 3 解 :(1)由已知 ,有 f(x)= ? = cos2 + sin2 ? 2 2 2 2 2 是什么? 1 3 1 1 π cos 2x= sin 2x- cos 2x= sin 2- .
2 4 4 2

所以 ,f(x)的最小正周期 T= =π. (2)因为 f(x)在区间 - ,数 ,f π 3 π 3 π 6 2



6

上是减函数 ,在区间 - ,
3

π π

=- ,f 4 1 2

1

π 6

=- ,f
2

1

π 4

=

4

.所以 ,f(x)在区间 - ,

6 4 π π 3 4

上是增函
3 4

上的最大值为 ,

最小值为- .
答案

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考点1 考点2 考点3

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三角恒等变换
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考纲要求 知识方法

-28-

思考:解决三角变换在三角函数图像与性质中的应用的基本思路 是什么? 解题心得:解决三角变换在三角函数图像与性质中的应用的基本 思路是:通过变换把函数化为y=Asin(ωx+φ)的形式再研究其性质, 解题时注意观察角、名、结构等特征,注意利用整体思想解决相关 问题.

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考纲要求 知识方法

-29-

1 π sin + 2 2

对点训练 3 已知函数 f(x)=2sin 2xsin φ+ cos2x cos φ(0<φ<π),其图象过点
π 1 , 6 2

1

.

1 (2)将函数 y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标 2 π 不变,得到函数 y=g(x)的图象,求函数 g(x)在 0, 上的最大值和最小 4

(1)求 φ 的值;

值.

解 :(1)∵f(x)= sin 2x sin φ+ cos2x cos φ- sin 2xcos φ 1 = (sin 2x sin φ+cos 2x cos φ) = cos(2x-φ),
2 2 1

1 2

1 2

π 1 2 2

+ (0<φ<π),
1 2

∴f(x)=2sin 2x sin φ+

1

1+cos2 2

cos φ- cos φ= sin 2xsin φ+ cos
2

1

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考点1 考点2 考点3

4.6

三角恒等变换
知识梳理 易错易混 双击自测 核心考点

考纲要求 知识方法

-30-

又函数图象过点
1 1 π

π 1 6 2

,

,
π 3

∴2 = 2cos 2 × 6 - ,即 cos
又 0<φ<π,∴φ= . (2)由 (1)知 f(x)= cos 21 2 2 3 1 π 3 π

- =1,

,将函数 y=f(x)的图象上各点的横坐

标缩短到原来的 ,纵坐标不变 ,得到函数 y=g(x)的图象 ,可知 g(x)=f(2x)= cos 42 1 π 3

,

因为 x∈ 0,
π 3 1 2

π 4

,所以 4x∈[0,π],
π 2π 3 π 3 π 4

因此 4x- ∈ - , 故 - ≤cos 43

,
1 2 1 4

≤1. 上的最大值和最小值分别为 和 - .

所以 y=g(x)在 0,

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考点1 考点2 考点3

4.6

三角恒等变换
知识梳理 易错易混 双击自测 核心考点

考纲要求 知识方法

-31-

1.三角恒等变换主要有以下四变: (1)变角:目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角,其方法通常 是“配凑”. (2)变名:通过变换函数名称达到减少函数种类的目的,其手法通 常有切化弦、正、余弦互化等. (3)变幂:通过“升幂与降幂”,把三角函数式的各项变成同次,目的 是有利于应用公式. (4)变式:根据式子的结构特征进行变形,使其更贴近某个公式或 某个期待的目标,其方法通常有:常值代换、逆用或变用公式、通 分约分、分解与组合、配方与平方等.

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考点1 考点2 考点3

4.6

三角恒等变换
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考纲要求 知识方法

-32-

三角变换的应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合,通 过变换把函数化为最简形式y=Asin(ωx+φ)再研究性质,解题时注意 观察角、名、结构等特征,注意利用整体思想解决相关问题.


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