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七年级数学下学期期中试卷(含解析) 北师大版3


2015-2016 学年甘肃省白银市育才学校七年级(下)期中数学试卷
一、认真选一选(本大题共 10 个小题,每小题 3 分,共 30 分) : 1.在下列运算中,计算正确的是( ) 2 3 6 8 2 4 2 2 4 3 2 6 A. (a ) =a B.a ÷a =a C.a +a =a D.a ?a =a 2.下列关系式中,正确的是( ) 2 2 2 2 A. (a+b) =a ﹣2ab+b B. (a﹣b) =a2﹣b2 C. (a+b)2=a2+b2 D. (a+b) (a﹣b)=a2﹣b2 3.汽车开始行驶时,油箱内有油 40 升,如果每小时耗油 5 升,则油箱内余油量 Q(升)与 行驶时间 t(时)的关系用图象表示应为图中的( )

A.

B.

C.

D.

4.若∠α 与∠β 同旁内角,且∠α =50°时,则∠β 的度数为( ) A.50° B.130° C.50°或 130° D.无法确定 5.在同一平面内,两直线的位置关系必是( ) A.相交 B.平行 C.相交或平行 D.垂直 6.弹簧挂上物体后会伸长,测得一弹簧的长度 y (cm)与所挂的物体的质量 x(kg)之间 有下面的关系,下列说法不正确的是( ) x/kg 0 1 2 3 4 5 y/cm 20 20.5 21 21.5 22 22.5 A.弹簧不挂重物时的长度为 0cm B.x 与 y 都是变量,且 x 是自变量,y 是因变量 C.物体质量每增加 1 kg,弹簧长度 y 增加 0.5cm D.所挂物体质量为 7 kg 时,弹簧长度为 23.5cm 7.如图,下列条件中,能判定 DE∥AC 的是( )

A.∠EDC=∠EFC B.∠AFE=∠ACD C.∠3=∠4 D.∠1=∠2 8.把一块直尺与一块三角板如图放置,若∠1=40°,则∠2 的度数为(



1

A.125° B.120° C.140° D.130° 2 2 9.已知 ab=﹣5,a﹣b=6,则 a +b =( ) A.13 B.19 C.26 D.37 10.如图①,在边长为 a 的正方形中挖掉一个边长为 b 的小正方形(a>b) ,把余下的部分 剪拼成一个矩形 (如图②) , 通过计算两个图形的面积, 验证了一个等式, 则这个等式是 ( )

A. (a+2b) (a﹣b)=a2+ab﹣2b2 B.a2﹣b2=(a+b) (a﹣b) 2 2 2 2 2 2 C. (a﹣b) =a ﹣2ab+b D. (a+b) =a +2ab+b 二、仔细填一填: (每小题 3 分,共 30 分) 11.已知变量 y 与 x 的关系式是 ,则当 x=2 时,y=______.

12.若一个角的补角等于它的余角 4 倍,则这个角的度数是______度. 2 13.若 4y ﹣my+25 是一个完全平方式,则 m=______. 14.据统计,人每只手大约携带 256000000 个细菌,则每个人两只手携带的细菌数量用科学 记数法表示为______个. 15.若∠1+∠2=180°,∠2+∠3=180°,则∠1=∠3.理由是______. 16.计算(x2+nx+3) (x2﹣3x)的结果不含 x2 的项,那么 n=______. 17.2m=3.2n=4,则 23m﹣2n=______. 18.如图所示,直线 a∥b,直线 c 与直线 a,b 分别相交于点 A,点 B,AM⊥b,垂足为点 M, 若∠2=23°,则∠1=______.

19.已知 x +y ﹣4x+6y+13=0,则代数式 x+y 的值为______. 20.正方形的边长为 5,若边长增加 x,则面积增加 y,y 与 x 的关系式为______. 三、解答题(本题共 23 分) 21.计算

2

2

2

(1)x2﹣(x+2) (x﹣2) (2) (﹣1)2016+(﹣ )﹣2﹣(3,14﹣π )0 (3) (6x y) ?(﹣4xy )÷(﹣12x y) 2 (4)运用乘法公式计算:112 ﹣113×111. 22.化简求值: (2x+y)2﹣(2x﹣y) (x+y)﹣2(x﹣2y) (x+2y) ,其中 ,y=﹣2.
3 2 3 2

四.尺规作图 23.如图,一块大的三角板 ABC,D 是 AB 上一点,现要求过点 D 割出一块小的三角板 ADE, 使∠ADE=∠ABC, (1)尺规作出∠ADE. (不写作法,保留作图痕迹,要写结论) (2)判断 BC 与 DE 是否平行,如果是,请证明.

五、解答题(本题共 30 分) 24.如图,已知 CF⊥AB 于 F,ED⊥AB 于 D,∠1=∠2,求证:FG∥BC.

25. 小明同学骑自行车去郊外春游, 如图为表示他离家的距离 y (千米) 与所用的时间 x (时) 之间关系的函数图象. (1)根据图象回答:小明到达离家最远的地方需几小时?此时离家多远? (2)求小明出发 2.5 小时离家多远? (3)求小明出发多长时间距家 10 千米.

3

26. (1) .如图 1,小明和小亮在研究一个数学问题:已知 AB∥CD,AB 和 CD 都不经过点 P, 探索∠P 与∠A,∠C 的数量关系.

小明是这样证明的:过点 P 作 PQ∥AB ∴∠APQ=∠A(______) ∵PQ∥AB,AB∥CD. ∴PQ∥CD(______) ∴∠CPQ=∠C ∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C 即∠APC=∠A+∠C 小亮是这样证明的:过点作 PQ∥AB∥CD. ∴∠APQ=∠A,∠CPQ=∠C ∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C 即∠APC=∠A+∠C 请在上面证明过程的过程的横线上,填写依据;两人的证明过程中,完全正确的是______. (2)应用: 在图 2 中,若∠A=120°,∠C=140°,则∠APC 的度数为______; (3)拓展: 在图 3 中,探索∠APC 与∠A,∠C 的数量关系,并说明理由.

4

2015-2016 学年甘肃省白银市育才学校七年级(下)期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、认真选一选(本大题共 10 个小题,每小题 3 分,共 30 分) : 1.在下列运算中,计算正确的是( ) 2 3 6 8 2 4 2 2 4 A. (a ) =a B.a ÷a =a C.a +a =a D.a3?a2=a6 【考点】同底数幂的除法;合并同类项;同底数幂的乘法;幂的乘方与积的乘方. 【分析】 根据同底数幂的乘法、 同底数幂的除法、 幂的乘方与积的乘方的运算法则求解即可. 2 3 6 【解答】解:A、 (a ) =a ,本选项正确; B、a8÷a2=a6≠a4,本选项错误; C、a2+a2=2a2≠a4,本选项错误; 3 2 5 6 D、a ?a =a ≠a ,本选项错误. 故选 A. 2.下列关系式中,正确的是( ) 2 2 2 2 A. (a+b) =a ﹣2ab+b B. (a﹣b) =a2﹣b2 2 2 2 2 2 C. (a+b) =a +b D. (a+b) (a﹣b)=a ﹣b 【考点】完全平方公式;平方差公式. 【分析】分别根据完全平方公式与平方差公式进行解答即可. 2 2 2 【解答】解:∵(a+b) =a +2ab+b ,∴A、C 错误; ∵(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2,∴B 错误; 2 2 ∵(a+b) (a﹣b)=a ﹣b ,∴D 正确. 故选 D. 3.汽车开始行驶时,油箱内有油 40 升,如果每小时耗油 5 升,则油箱内余油量 Q(升)与 行驶时间 t(时)的关系用图象表示应为图中的( )

A.

B.

C.

D.

【考点】函数的图象. 【分析】根据最初剩余油量为 40,剩余油量只会减少的特点,逐一判断. 【解答】解:油箱内有油 40 升,那么余油量最初应是 40,排除 A、B; 随着时间的增多,余油量就随之减少,排除 C. 正确的为 D.

5

故选 D. 4.若∠α 与∠β 同旁内角,且∠α =50°时,则∠β 的度数为( ) A.50° B.130° C.50°或 130° D.无法确定 【考点】同位角、内错角、同旁内角. 【分析】两直线平行,同旁内角互补;不平行时无法确定同旁内角的大小关系. 【解答】解:虽然 α 和 β 是同旁内角,但缺少两直线平行的前提,所以无法确定 β 的度 数. 故选:D. 5.在同一平面内,两直线的位置关系必是( ) A.相交 B.平行 C.相交或平行 D.垂直 【考点】平行线;相交线. 【分析】利用同一个平面内,两条直线的位置关系解答,同一平面内两条直线的位置关系有 两种:平行、相交. 【解答】解:在同一个平面内,两条直线只有两种位置关系,即平行或相交. 故选:C. 6.弹簧挂上物体后会伸长,测得一弹簧的长度 y (cm)与所挂的物体的质量 x(kg)之间 有下面的关系,下列说法不正确的是( ) x/kg 0 1 2 3 4 5 y/cm 20 20.5 21 21.5 22 22.5 A.弹簧不挂重物时的长度为 0cm B.x 与 y 都是变量,且 x 是自变量,y 是因变量 C.物体质量每增加 1 kg,弹簧长度 y 增加 0.5cm D.所挂物体质量为 7 kg 时,弹簧长度为 23.5cm 【考点】常量与变量. 【分析】根据自变量、因变量的含义,以及弹簧的长度 y (cm)与所挂的物体的质量 x(kg) 之间的关系逐一判断即可. 【解答】解:∵弹簧不挂重物时的长度为 20cm, ∴选项 A 不正确; ∵x 与 y 都是变量,且 x 是自变量,y 是因变量, ∴选项 B 正确; ∵20.5﹣20=0.5(cm) ,21﹣20.5=0.5(cm) ,21.5﹣21=0.5(cm) ,22﹣21.5=0.5(cm) ,22.5 ﹣22=0.5(cm) , ∴物体质量每增加 1 kg,弹簧长度 y 增加 0.5cm, ∴选项 C 正确; ∵22.5+0.5×(7﹣5) =22.5+1 =23.5(cm) ∴所挂物体质量为 7kg 时,弹簧长度为 23.5cm,

6

∴选项 D 正确. 故选:A. 7.如图,下列条件中,能判定 DE∥AC 的是( )

A.∠EDC=∠EFC B.∠AFE=∠ACD C.∠3=∠4 D.∠1=∠2 【考点】平行线的判定. 【分析】可以从直线 DE、AC 的截线所组成的“三线八角”图形入手进行判断. 【解答】 解: ∠EDC=∠EFC 不是两直线被第三条直线所截得到的, 因而不能判定两直线平行; ∠AFE=∠ACD, ∠1=∠2 是 EF 和 BC 被 AC 所截得到的同位角和内错角, 因而可以判定 EF∥BC, 但不能判定 DE∥AC; ∠3=∠4 这两个角是 AC 与 DE 被 EC 所截得到的内错角,可以判定 DE∥AC. 故选 C. 8.把一块直尺与一块三角板如图放置,若∠1=40°,则∠2 的度数为( )

A.125° B.120° C.140° D.130° 【考点】平行线的性质;直角三角形的性质. 【分析】根据矩形性质得出 EF∥GH,推出∠FCD=∠2,代入∠FCD=∠1+∠A 求出即可.

【解答】解:

∵EF∥GH, ∴∠FCD=∠2, ∵∠FCD=∠1+∠A,∠1=40°,∠A=90°, ∴∠2=∠FCD=130°, 故选 D. 9.已知 ab=﹣5,a﹣b=6,则 a +b =( ) A.13 B.19 C.26 D.37 【考点】完全平方公式. 【分析】利用完全公式得到 a2+b2=(a+b)2﹣2ab,然后把 ab=5,a﹣b=6 代入计算即可.
2 2

7

【解答】解:a2+b2=(a+b)2﹣2ab =62﹣2×5 =26. 故选 C. 10.如图①,在边长为 a 的正方形中挖掉一个边长为 b 的小正方形(a>b) ,把余下的部分 剪拼成一个矩形 (如图②) , 通过计算两个图形的面积, 验证了一个等式, 则这个等式是 ( )

A. (a+2b) (a﹣b)=a +ab﹣2b B.a ﹣b =(a+b) (a﹣b) 2 2 2 2 2 2 C. (a﹣b) =a ﹣2ab+b D. (a+b) =a +2ab+b 【考点】平方差公式的几何背景. 【分析】根据图①中阴影部分的面积和图②的面积,可以列出等式,从而可以解答本题. 【解答】解:由题意可得, 2 2 图①中阴影部分的面积是:a ﹣b , 图②中矩形的面积是: (a+b) (a﹣b) , 2 2 ∴a ﹣b =(a+b) (a﹣b) , 故选 B. 二、仔细填一填: (每小题 3 分,共 30 分) 11.已知变量 y 与 x 的关系式是 ,则当 x=2 时,y= ﹣4 .

2

2

2

2

【考点】函数值. 【分析】将 x=2 代入 y 与 x 的关系式中求解即可. 【解答】解:将 x=2 代入 可得:y=3×2﹣ ×4=6﹣10=﹣4. 故答案为:﹣4. 12.若一个角的补角等于它的余角 4 倍,则这个角的度数是 60 度. 【考点】余角和补角. 【分析】等量关系为:这个角的补角=它的余角×4. 【解答】解:设这个角为 x 度,则:180﹣x=4(90﹣x) . 解得:x=60. 故这个角的度数为 60 度. 13.若 4y2﹣my+25 是一个完全平方式,则 m= ±20 . 【考点】完全平方式. 【分析】根据 a2+2ab+b2 和 a2﹣2ab+b2 都是完全平方式得出﹣my=±2?2y?5,求出即可. ,

8

【解答】解:∵4y2﹣my+25 是一个完全平方式, ∴(2y)2±2?2y?5+52, 即﹣my=±2?2y?5, ∴m=±20, 故答案为:±20. 14.据统计,人每只手大约携带 256000000 个细菌,则每个人两只手携带的细菌数量用科学 记数法表示为 5.12×108 个. 【考点】科学记数法—表示较大的数. ﹣n 【分析】用科学记数法表示较大的数时,一般形式为 a×10 ,其中 1≤|a|<10,n 为整数, 据此判断即可. 【解答】解:256000000×2=512000000(个) , 8 512000000=5.12×10 . 8 故答案为:5.12×10 . 15.若∠1+∠2=180°,∠2+∠3=180°,则∠1=∠3.理由是 同角的补角相等 . 【考点】余角和补角. 【分析】根据补角的性质:等(同)角的补角相等.即可求解 【解答】解:若∠1+∠2=180°,∠2+∠3=180°,则∠1=∠3.理由是同角的补角相等. 故答案为:同角的补角相等. 16.计算(x2+nx+3) (x2﹣3x)的结果不含 x2 的项,那么 n= 1 . 【考点】多项式乘多项式. 【分析】根据多项式的运算法则把括号展开,再合并同类项;找到含有 x 的二次项并让其系 数为 0,即可求出 n 的值. 【解答】解:原式=x4﹣3x3+nx3﹣3nx2+3x2﹣9x =x4+(﹣3+n)x3+(﹣3n+3)x2﹣9x, ∵乘积中不含 x2 的项, ∴﹣3n+3=0, ∴n=1. 故答案为:1.

17.2m=3.2n=4,则 23m﹣2n=



【考点】同底数幂的除法;幂的乘方与积的乘方. 【分析】 直接利用同底数幂的除法运算法则将原式变形, 进而结合幂的乘方运算法则求出答 案. 【解答】解:∵2m=3,2n=4, 则2
3m﹣2n

=(2 ) ÷(2 ) =27÷16= .

m

3

n

2



故答案为:

9

18.如图所示,直线 a∥b,直线 c 与直线 a,b 分别相交于点 A,点 B,AM⊥b,垂足为点 M, 若∠2=23°,则∠1= 67° .

【考点】平行线的性质. 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠3,再根据两直线平行,同位角相等解答. 【解答】解:∵AM⊥b, ∴∠3=90°﹣∠2=90°﹣23°=67°, ∵直线 a∥b, ∴∠1=∠3=67°. 故答案为:67°.

19.已知 x2+y2﹣4x+6y+13=0,则代数式 x+y 的值为 ﹣1 . 【考点】配方法的应用;非负数的性质:偶次方. 【分析】先将 x2+y2+4x﹣6y+13=0 整理成平方和的形式,再根据非负数的性质可求出 x、y 的值,进而可求出 x+y 的值. 【解答】解:由题意得: (x﹣2)2+(y+3)2=0,由非负数的性质得 x=2,y=﹣3. 则 x+y=﹣1, 故答案为:﹣1. 20.正方形的边长为 5,若边长增加 x,则面积增加 y,y 与 x 的关系式为 y=x2+10x . 【考点】函数关系式. 【分析】增加的面积=新正方形的面积﹣边长为 5 的正方形的面积,即可得出结果. 【解答】解:y=(5+x)2﹣52=x2+10x; 故答案为:y=x2+10x. 三、解答题(本题共 23 分) 21.计算 (1)x2﹣(x+2) (x﹣2)

10

(2) (﹣1)

2016

+(﹣ ) ﹣(3,14﹣π )

﹣2

0

(3) (6x3y)2?(﹣4xy3)÷(﹣12x2y) 2 (4)运用乘法公式计算:112 ﹣113×111. 【考点】整式的混合运算;零指数幂;负整数指数幂. 【分析】 (1)直接将(x+2) (x﹣2)利用平方差公式进行计算,再合并同类项; (2)先算平方,要注意(﹣1)2016=1, (﹣ )﹣2=(﹣2)2=4,分别计算后再相加; (3)先利用积的乘方计算(6x y) =36x y ,再将单项式进行乘除混合运算; (4)把 113 化为 112+1,把 111 化为 112﹣1,组成平方差公式,使计算简单. 【解答】解: (1)x2﹣(x+2) (x﹣2) , 2 2 =x ﹣x +4, =4;
3 2 6 2

(2) (﹣1)2016+(﹣ )﹣2﹣(3,14﹣π )0, =1+(﹣2)2﹣1, =1+4﹣1, =4; (3) (6x y) ?(﹣4xy )÷(﹣12x y) , 6 2 3 2 =36x y ?4xy ÷12x y, 6+1﹣2 2+3﹣1 =12x y , 5 4 =12x y ; (4)运用乘法公式计算:1122﹣113×111, =1122﹣, =1122﹣1122+1, =1.
3 2 3 2

22.化简求值: (2x+y) ﹣(2x﹣y) (x+y)﹣2(x﹣2y) (x+2y) ,其中 【考点】整式的混合运算—化简求值.

2

,y=﹣2.

【分析】本题涉及整式的化简求值,先将括号里的整数相乘,再加减,将 x= ,y=﹣2 代入 化简后的分式,计算即可. 【解答】解:原式=4x2+4xy+y2﹣(2x2+xy﹣y2)﹣2(x2﹣4y2) =3xy+10y2; 将其中 ,y=﹣2 代入,原式=3×(﹣2)× +10×(﹣2) =37.
2

四.尺规作图 23.如图,一块大的三角板 ABC,D 是 AB 上一点,现要求过点 D 割出一块小的三角板 ADE, 使∠ADE=∠ABC,

11

(1)尺规作出∠ADE. (不写作法,保留作图痕迹,要写结论) (2)判断 BC 与 DE 是否平行,如果是,请证明.

【考点】作图—基本作图;平行线的判定. 【分析】 (1)利用基本作图作∠ADE=∠ABC,交 AC 于点 E; (2)根据平行线的判断方法进行判断. 【解答】解: (1)如图,∠ADE 为所作;

(2)BC∥DE.理由如下: ∵∠ADE=∠ABC, ∴BC∥DE. 五、解答题(本题共 30 分) 24.如图,已知 CF⊥AB 于 F,ED⊥AB 于 D,∠1=∠2,求证:FG∥BC.

【考点】平行线的判定与性质. 【分析】根据在同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行可知 DE∥FC,故∠1=∠ECF= ∠2.根据内错角相等两直线平行可知,FG∥BC. 【解答】证明:∵CF⊥AB,ED⊥AB, ∴DE∥FC(垂直于同一条直线的两条直线互相平行) , ∴∠1=∠BCF(两直线平行,同位角相等) ; 又∵∠2=∠1(已知) , ∴∠BCF=∠2(等量代换) , ∴FG∥BC(内错角相等,两直线平行) . 25. 小明同学骑自行车去郊外春游, 如图为表示他离家的距离 y (千米) 与所用的时间 x (时) 之间关系的函数图象. (1)根据图象回答:小明到达离家最远的地方需几小时?此时离家多远? (2)求小明出发 2.5 小时离家多远?

12

(3)求小明出发多长时间距家 10 千米.

【考点】一次函数的应用. 【分析】 (1)根据分段函数的图象上点的坐标的意义可知:小明到达离家最远的地方需 3 小时;此时,他离家 30 千米; (2)因为 C(2,15) 、D(3,30)在直线上,运用待定系数法求出解析式后,把 x=2.5 代 入解析式即可; (3)分别利用待定系数法求得过 E、F 两点的直线解析式, 以及 A、 B 两点的直线解析式. 分 别令 y=10,求解 x. 【解答】解: (1)由图象可知小明到达离家最远的地方需 3 小时; 此时他离家 30 千米; (2)设直线 CD 的解析式为 y=k1x+b1,由 C(2,15) 、D(3,30) , 代入得: ,

解得:



故直线 CD 的解析式为:y=15x﹣15, (2≤x≤3) 当 x=2.5 时,y=22.5. 答:出发两个半小时,小明离家 22.5 千米; (3)设过 E、F 两点的直线解析式为 y=k2x+b2, 由 E(4,30) 、F(6,0) ,代入得 ,

解得:



故直线 EF 的解析式为:y=﹣15x+90, (4≤x≤6) 过 A、B 两点的直线解析式为 y=k3x, ∵B(1,15) , ∴y=15x(0≤x≤1) 分别令 y=10,则 10=﹣15x+90,10=15x,

13

解得:x=

,x= , 小时或 小时距家 10 千米.

答:小明出发

26. (1) .如图 1,小明和小亮在研究一个数学问题:已知 AB∥CD,AB 和 CD 都不经过点 P, 探索∠P 与∠A,∠C 的数量关系.

小明是这样证明的:过点 P 作 PQ∥AB ∴∠APQ=∠A( 两直线平行,内错角相等, ) ∵PQ∥AB,AB∥CD. ∴PQ∥CD( 平行于同一条直线的两条直线互相平行 ) ∴∠CPQ=∠C ∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C 即∠APC=∠A+∠C 小亮是这样证明的:过点作 PQ∥AB∥CD. ∴∠APQ=∠A,∠CPQ=∠C ∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C 即∠APC=∠A+∠C 请在上面证明过程的过程的横线上, 填写依据; 两人的证明过程中, 完全正确的是 小明 . (2)应用: 在图 2 中,若∠A=120°,∠C=140°,则∠APC 的度数为 100° ; (3)拓展: 在图 3 中,探索∠APC 与∠A,∠C 的数量关系,并说明理由. 【考点】平行线的判定与性质. 【分析】 (1)过点 P 作 PQ∥AB,根据平行线的性质得出∠APQ=∠A,∠C=∠CPQ,即可得出 答案; (2)根据平行线的性质得出∠A+∠APQ=180°,∠C+∠CPQ=180°,求出∠APQ 和∠CPQ,即 可得出答案; (3)根据平行线的性质得出∠C=∠POB,根据三角形外角性质得出∠APC=∠POB﹣∠A,代入 求出即可. 【解答】解: (1)如图 1,过点 P 作 PQ∥AB,

∴∠APQ=∠A(两直线平行,内错角相等) ,

14

∵PQ∥AB,AB∥CD, ∴PQ∥CD(平行于同一直线的两直线平行) , ∴∠CPQ=∠C, ∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C, 即∠APC=∠A+∠C; 故答案为:两直线平行,内错角相等,平行于同一条直线的两条直线互相平行,小明; (2)如图 2,过 P 作 PQ∥AB, ∵AB∥CD, ∴PQ∥AB∥CD, ∴∠A+∠APQ=180°,∠C+∠CPQ=180°, ∵∠A=120°,∠C=140°, ∴∠APQ=60°,∠CPQ=40°, ∴∠APC=∠APQ+∠CPQ=100°, 故答案为:100°; (3)∠APC=∠C﹣∠A, 理由是:如图 3,∵AB∥CD, ∴∠C=∠POB, ∵∠APC=∠POB﹣∠A, ∴∠APC=∠C﹣∠A.

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